Plus petit commun multiple

En mathématiques et plus exactement en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM, de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres.



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En mathématiques et plus exactement en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM (noté lcm en anglais pour least common multiple), de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. On le note ab[1], ppcm (a, b), ou quelquefois simplement (a, b).

Le PPCM de a et b peut aussi se définir comme un multiple commun de a et de b qui divise l'ensemble des multiples communs de a et de b.

La définition couvre aux entiers relatifs. Sous la seconde forme, il faut alors ajouter qu'il doit être positif. La seconde forme de la définition se généralise en fait à un anneau commutatif quelconque, mais on perd généralement l'existence et l'unicité, on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux factoriels.

Le PPCM peut se définir d'une façon plus générale pour un nombre quelconque d'éléments : par exemple dans les entiers naturels, le PPCM de n entiers est le plus petit entier multiple simultanément de ces n entiers.

Définition

Soient (a,b)\in{\mathbb{Z}}ˆ2.

On vérifie tandis que m_{a,b} \subset \mathbb{N} et m_{a,b} \ne \empty (car |ab|\in m_{a,b})

Par axiome, min (ma, b) existe.

On définit \operatorname{PPCM}(a,b)=\min(m_{a,b}).

Calcul

A l'aide de la décomposition avec les nombres premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient l'ensemble des nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci. On obtient par conséquent une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple : prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :

60=2×2×3×5=2²×3×5

168=2×2×2×3×7=2³×3×7

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a alors PPCM (60, 168) =2³×3×5×7=840

A l'aide du PGCD

Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou PGCD) de a et b,

a \vee b = \dfrac{|a b|}{a\wedge b} qui s'écrit aussi PPCM(a,b) = \dfrac{|a b|}{PGCD(a,b)}

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du PPCM

Exemple : avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD (60, 168)  :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 x 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0.

PGCD (60, 168) = 12. Par conséquent 12 × PPCM (60;168) = 60×168, soit :

PPCM (60;168) = (60 × 168) / 12 = 840.

Notes et références

  1. cette notation, utilisée d'une façon plus générale pour la limite supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert aussi pour la disjonction logique

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