Pi

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π, est une constante mathématique dont la valeur est le rapport entre la circonférence d'un cercle quelconque...



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  • La longueur du cercle, ou périmètre, se calcule avec la formule : P = 2 π R π (qui se lit «pi») est un nombre valant 3, 14 et R est la mesure du ... (source : academie-en-ligne)
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π, est une constante mathématique dont la valeur est le rapport entre la circonférence d'un cercle quelconque et son diamètre, dans une géométrie euclidienne ; c'est aussi la valeur du rapport entre la superficie d'un cercle et le carré de son rayon. Aussi nommé constante d'Archimède, le nombre π est à peu près égal, en écriture décimale, à 3, 141593. De nombreuses formules scientifiques, dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie et évidemment les mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes mathématiques les plus importantes[1].

π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique. C'est aussi un nombre transcendant, ce qui veut dire qu'il n'existe pas de polynôme non nul à cœfficients entiers dont π soit une racine ; la preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann. La détermination d'une valeur approchée suffisamment précise de π et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l'histoire des mathématiques ; la fascination exprimée par certains envers ce nombre l'a même fait entrer dans la culture populaire.

L'usage en ce sens de la lettre grecque π, première lettre de «περίμετρος» — périmètre en grec, n'est apparu qu'au XVIIIème siècle.

Définition et premières propriétés

Définition

Circonférence = π × diamètre

En se plaçant dans la géométrie euclidienne, on définit le plus souvent π comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre[2] :

 \pi = \frac{C}{d}.

Le rapport C/d est constant ; c'est à dire, il ne fluctue pas selon la taille du cercle. A titre d'exemple, si un cercle a le double du diamètre d d'un autre cercle, il aura aussi le double de sa circonférence C, laissant le rapport C/d inchangé.

Il est aussi envisageable de définir π comme le rapport entre la superficie d'un cercle et la superficie d'un carré dont le côté serait le rayon du cercle[3], [4] :

 \pi = \frac{A}{rˆ2}.

Ces définitions sont rendues valables par certaines propriétés de la géométrie euclidienne, comme celle qui décrit que l'ensemble des cercles sont semblables. Cela peut être reconnu comme un problème quand π intervient dans des domaines des mathématiques qui ne sont pas liés à la géométrie. Pour cette raison, les mathématiciens préfèrent fréquemment définir π sans faire référence à la géométrie, mais plutôt en choisissant pour définition l'une de ses propriétés analytiques. D'autres définitions sont données dans le paragraphe Définitions alternatives.

Définitions alternatives

Un choix habituel est de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos (x)  = 0[5]. Une autre définition envisageable est envisageable en considérant les propriétés exp (z+w) =exp (z) exp (w) et exp (0) =1 qui découlent de la définition analytique de l'exponentielle et qui font que l'application est un morphisme de groupes continu du groupe vers le groupe (où est la totalité des complexes de module égal à 1). On démontre tandis que la totalité des nombres réels t tels que exp (it) = 1 est de la forme où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a / 2[6]. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une définition alternative particulièrement voisine en démontrant l'existence d'un morphisme de groupe f continu de vers tel que f (1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu'il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f' (x) = 2iaf (x) . Il définit π comme le réel ainsi trouvé[6].

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à rectifier le cercle soit avec la fonction soit avec la fonction

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :

 {\pi \over 4} =\int_0ˆ1 \sqrt{1-xˆ2}\ dx\,

ce qui revient à calculer l'aire d'un quart de disque.

Ou bien à l'aide du dénombrement, en appelant le nombre de couples d'entiers naturels (k, p) tels que et en définissant :

\frac{\pi}{4}= \lim_{n \mapsto \infty} \frac{\varphi(n)}{nˆ2}

ce qui est une autre méthode de quarrer le quart de cercle.

Irrationalité

π est un nombre irrationnel, ce qui veut dire qu'on ne peut pas écrire π=p/qp et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi mentionne dès le IXe siècle sa croyance selon laquelle π est irrationnel[7]. Moïse Maïmonide fait aussi état de cette idée durant le XIIe siècle. Il faudra cependant attendre le XVIIe siècle pour que Johann Heinrich Lambert prouve ce résultat[8].

C'est en 1761 que dans son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, ce dernier étudie le développement en fraction continue de tan (x) et montre que, quand x est rationnel, le développement en fraction continue de tan (m/n) est

\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{mˆ2 \mid}{\mid 3n} - \frac{mˆ2 \mid}{\mid 5n} - \frac{mˆ2 \mid}{\mid 7n} + \cdots [9]

Donc, quand x est rationnel, le développement en fraction continue de tan (x) est infini. Or, on sait qu'un développement infini conduit à un nombre irrationnel. Bref, lorsque x est rationnel, tan (x) est irrationnel. Or, tan (π/4) vaut 1, c'est un rationnel. Par contraposée, on peut affirmer que π/4 n'est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d'autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L'une d'entre elles, due à Ivan Niven, est particulièrement beaucoup connue[10], [11]. Une preuve identique avait été trouvée quelques temps jusque là par Mary Cartwright[12].

Transcendance

π est aussi un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de polynôme à cœfficients rationnels dont π soit une racine[13].

C'est au XIXe siècle que ce résultat sera démontré. En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (Théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique, alors ex est transcendant. Or e = -1 par conséquent e n'est pas transcendant. Par contraposée, iπ n'est pas algébrique et π est transcendant.

Une conséquence importante de la transcendance de π est que ce dernier n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel décrit surtout que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de l'ensemble des points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; c'est à dire, il est impossible de construire, seulement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d'un cercle donné[14]. Ce résultat a une importance historique, dans la mesure où le problème de la quadrature du cercle fait partie des problèmes de géométrie élémentaire qui nous vient de l'Antiquité les plus faciles à comprendre.

Représentation décimale

Les 50 premiers chiffres de l'écriture décimale de π sont :

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Voir les liens externes pour plus de décimales.

Tandis qu'à l'heure actuelle, on connaît plus de 1012 décimales de π[15], il est rare d'avoir recours à plus d'une dizaine de chiffres pour les applications élémentaires, comme l'estimation de la circonférence d'un cercle. A titre d'exemple, la représentation décimale de π tronquée à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d'un cercle dont les dimensions sont celles de l'univers observable avec une précision comparable à celle du rayon d'un atome d'hydrogène[16], [17].

Dans la mesure où π est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique et ne prend pas fin. La séquence des décimales de π a toujours fasciné les mathématiciens et les amateurs, et énormément d'efforts au cours des derniers siècles ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés[18]. Malgré les importants travaux d'analyse effectués et les calculs qui ont réussi à déterminer plus de 200 milliards de décimales de π, aucun modèle simple n'a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres[19]. Les chiffres de la représentation décimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent en générer des milliards et qu'on peut installer sur n'importe quel ordinateur personnel.

D'autre part, le développement décimal de π ouvre le champ à d'autres questions, surtout celle de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers, ce qui veut dire qu'on peut trouver dans son développement décimal n'importe quelle séquence de chiffres. À ce jour, il n'existe pas de réponse à ces questions[20].

Approximation de π

On peut trouver une valeur approchée de π de façon empirique, en traçant un grand cercle puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède[21], est de calculer le périmètre Pn d'un polygone régulier à n côtés circonscrit à un cercle de diamètre d. On obtient alors π grâce à la formule

\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n}}{d}.

La meilleure approximation de π envisageable est obtenue en prenant le plus grand nombre de côtés envisageable pour le polygone. Archimède a déterminé la précision de cette approche en comparant le périmètre du polygone circonscrit avec celui d'un polygone régulier avec le même nombre de côtés, mais cette fois-ci inscrit à l'intérieur du cercle. Il a réussi, avec un polygone à 96 côtés, à déterminer que 22371 < p < 227[22].

On peut aussi obtenir des valeurs approchées de π en mettant en œuvre uniquement des méthodes purement mathématiques. La majorité des formules utilisées pour calculer π se basent sur ses propriétés mathématiques et sont complexes à comprendre sans connaissances préalables en trigonométrie et en calcul intégral. Cependant, certaines sont assez simples, comme la formule de Leibniz[23] :

\pi = 4\sumˆ\infty_{k=0} \frac{(-1)ˆk}{2k+1} = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots.\!

Tandis que cette série est facile à écrire ainsi qu'à calculer, il n'apparaît pas évident qu'elle donne bien π. Qui plus est , elle converge si lentement que près de 300 termes sont nécessaires pour calculer π à 2 décimales près[24]. Cependant, il est envisageable de définir une suite identique qui converge vers π bien plus rapidement, en posant

\pi_{0,1} = \frac{4}{1},\ \pi_{0,2} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3},\ \pi_{0,3} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5},\ \pi_{0,4} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}, \cdots\!

et en définissant :

\pi_{i,j} = \frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}{2}\text{ pour tout }i,j\ge 1.

Le calcul de π10, 10 demandera alors un temps comparable à celui requis pour calculer les 150 premiers termes de la série d'origine, mais la précision sera bien meilleure car \pi_{10,10}=31592653\ldots approche π à 9 décimales près.

Histoire

L'histoire ancienne de π, qu'on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l'avancée des mathématiques dans leur ensemble[25]. Certains auteurs divisent l'histoire de π en trois parties : la période antique pendant laquelle π a été étudié géométriquement, l'ère classique, aux alentours du XVIIe siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans notre connaissance du nombre π, et la période des ordinateurs numériques[26].

Antiquité

Il semble que, particulièrement tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du diamètre. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J. -C. et découvertes en 1936[27] présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3+1/8[28].

Approximation de π par Ahmès

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien toujours. On y trouve une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 25681. Dans l'illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L'aire du disque est un peu supérieure à l'aire de l'octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l'aire du disque est alors évaluée à 64 soit l'aire d'un carré de côté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/ (9/2) ², c'est-à-dire 256/81.

Le texte indien Shatapatha Brahmana donne à π une valeur de 339/108 ≈ 3, 139.

C'est chez Archimède (-287, -212), dans son traité De la mesure du cercle[29] qu'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparait dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 12 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 12 du périmètre multiplié par le rayon.

Déroulement des 8 portions

La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés[30]. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Il démontre mais aussi 3 + 10/71 < p < 3 + 1/7[30]. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3, 14185. Archimède s'arrête à 96 côtés car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en principe être poursuivie indéfiniment. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de 3, 1416, qu'il a certainement obtenu grâce à Apollonius de Perga[31][réf.  insuffisante].

Encadrement de Liu Hui

Si les calculs pratiques peuvent se satisfaire de la valeur 3, 14 comme bonne approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec d'avantage de précision. Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et apporte une approximation de π de 3, 1416[32]. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle toujours plus précise de π[33] : π ≈ 355/113 (dont les développement décimaux sont semblables jusqu'à la 6ème décimale, π ≈ 3, 1415926 et 355/113 ≈ 3, 1415929) et montre que 3, 1415926 < p < 3.1415927[34], en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygône de 12 288 côtés. Cette valeur va demeurer la meilleure approximation de π au cours des 900 prochaines années..

IIe millénaire

Jusqu'au IIe millénaire, la précision des approximations de π n'excédait pas les 10 décimales. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d'acquérir de plus amples connaissances sur π. Les séries permettent d'autre part d'approcher π avec le plus de précision qu'on désire, en considérant simplement assez de termes dans la série. À peu près en 1400, Madhava de Sangamagrama trouve une telle série, la première :

{\pi} = 4\sumˆ\infty_{k=0} \frac{(-1)ˆk}{2k+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\!

Cette série, qui est en fait un cas spécifique de

\arctan(x)=x-\frac{xˆ3}{3}+\frac{xˆ5}{5}-\frac{xˆ7}{7}+...=\sum_{k=0}ˆ{\infty}\frac{(-1)ˆ{k} xˆ{2k+1}}{2k+1},

est désormais connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz[35], [36] ou série de Gregory-Leibniz depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle. Malheureusement, la vitesse de convergence de cette série est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : à peu près 4 000 termes sont nécessaires pour arriver à la précision qu'avait atteint Archimède. Cependant, en transformant la série de la façon suivante

\pi = \sqrt{12}\sumˆ\infty_{k=0} \frac{(-3)ˆ{-k}}{2k+1} = \sqrt{12}\sumˆ\infty_{k=0} \frac{(-\frac{1}{3})ˆk}{2k+1} = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3ˆ2}-{1\over7\cdot 3ˆ3}+\cdots\right),

Madhava a été capable de donner une valeur approchée de π de 3, 14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi, qui a réussi à donner 16 décimales.

La première contribution importante venant d'Europe depuis Archimède a été faite par l'allemand Ludolph van Ceulen (1540–1610), qui a utilisé une méthode géométrique pour donner une estimation de π correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu'il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale[37].

Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits illimités pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète :

\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!

trouvée par François Viète en 1593. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis :

\frac{\pi}{2} = \prodˆ\infty_{k=1} \frac{(2k)ˆ2}{(2k)ˆ2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\ = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdots\!

que on doit à John Wallis, qui l'a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de π/6=arcsin 1/2[38] pour calculer 15 décimales de π ; énormément plus tard, il a déclaré : «J'ai honte de vous dire combien de décimales j'ai trouvé grâce à ces calculs, n'ayant aucune autre occupation à l'époque.»[39].

En 1706, John Machin a été le premier à trouver 100 décimales de π, en utilisant la formule

\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!

avec

\arctan \, x = \sumˆ\infty_{k=0} \frac{(-1)ˆk xˆ{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{xˆ3}{3} + \frac{xˆ5}{5} - \frac{xˆ7}{7} + \cdots\!

Les formules de ce type, désormais connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisés pour battre plusieurs records de décimales connues de π, et demeurent actuellement les formules les plus connues pour calculer π grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodigue Johann Dase qui, en 1844, avec une formule de Machin, a calculé 200 décimales de π de tête, à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du XIXe siècle est due à William Shanks, qui a passé 15 ans à calculer 707 décimales de π, quoiqu'à cause d'une erreur, seules les 527 premières étaient correctes. Actuellement, pour éviter de telles erreurs, les calculs sont fréquemment effectués deux fois, avec deux formules différentes. Si les résultats sont les mêmes, il semble que le résultat soit correct.

Les avancées théoriques du XVIIIe siècle ont amené les mathématiciens à s'interroger sur la nature de π, qui ne peut pas être découverte seulement grâce au calcul numérique. Johann Heinrich Lambert a prouvé l'irrationalité de π en 1761 et Adrien-Marie Legendre a prouvé que π² aussi était irrationnel. Quand Leonhard Euler a résolu le fameux problème de Bâle, trouvant la valeur exacte de

 \sumˆ\infty_{k=1} \frac{1}{kˆ2} = \frac{1}{1ˆ2} + \frac{1}{2ˆ2} + \frac{1}{3ˆ2} + \frac{1}{4ˆ2} + \cdots\!

qui est π²/6, il a établi une connexion profonde entre π et les nombres premiers. Legendre et Euler ont l'ensemble des deux pensé que π était un nombre transcendant, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Origine de la notation

C'est au cours du XVIIIe siècle siècle que s'établit l'usage de la lettre grecque «π»[40], première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.

Dès le XVIIe siècle siècle certains mathématiciens utilisent la notation π/δ où π sert à désigner la circonférence et δ le diamètre[41]. Le premier[40] a utiliser simplement π est William Jones dans son ouvrage A New Introduction to Mathematics publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d'utiliser d'autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones[42] dans sa correspondance à partir de 1736. Il l'adopte dans son ouvrage Introductio in analysin illimitétorum publié en 1748, ce qui eut sans doute une grande influence. La notation finit par s'imposer vers la fin du XVIIIe siècle[43].

Ère informatique

Tandis que quelques dizaines de décimales de π sont beaucoup suffisantes pour les calculs pratiques qu'effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre π n'a pas cessé avec l'arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.

En 1949, avec l'ENIAC, John von Neumann a obtenu 2037 décimales de π, suite à un calcul qui a duré 70 heures[44], [45]. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l'étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n'ont pas uniquement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, ainsi qu'aux nouveaux algorithmes utilisés. L'une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du XXe siècle, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir π ; certaines d'entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique[46]. L'une de ces formules est la série suivante :

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)ˆ4 396ˆ{4k}}\!

La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 :

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)ˆ3 (-640320)ˆ{3k}}\!

Cette formule donne 14 nouvelles décimales de π à chaque terme[46]. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l'ont utilisé pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels.

Lemniscate de Bernoulli

Tandis que les séries permettent d'obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l'inconvénient que chaque étape demande le plus souvent un calcul «coûteux». Une grande avancée a eu lieu en 1975 quand Richard Brent et Eugene Salamin ont découvert indépendamment l'algorithme Salamin-Brent, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape[47]. Il s'appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, ce dernier démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M (1, √2) ), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est L=2 \varpi r où r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où \varpi est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c'est-à-dire l'inverse de M (1, √2) alors

\varpi=\pi G

Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l'algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de π va alors avancer conjointement avec celle des décimales de √2[48].

L'algorithme consiste à poser

a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!,

puis à définir les relations de récurrence suivantes

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!
t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})ˆ2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!

et enfin à calculer ces termes jusqu'à ce que an et bn soient assez proches. On a alors une valeur approchée de π donnée par

\pi \approx \frac{(a_n + b_n)ˆ2}{4 t_n}.\!

En utilisant cet algorithme, seuls 25 termes sont nécessaires pour calculer 45 millions de décimales. Un algorithme identique qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein[49]. C'est grâce à ces méthodes qu'en 1999, Yasumasa Kanada et son équipe ont battu le record du nombre de décimales de π qui datait de 1980, en atteignant les 206 158 430 000 chiffres. Fabrice Bellard a annoncé, le 31 décembre 2009, [50] avoir trouvé plus de 2 699 999 990 000 chiffres après la virgule avec son ordinateur personnel, soit 123 milliards de plus que le précédent record. Les calculs ont pris 131 jours[51], [52]. Le précédent record était de 2 576 980 370 000 chiffres, détenu par Daisuke Takahashi et son T2K-Tsukuba System, un superordinateur de l'université de Tsukuba, au nord-est de Tokyo[53].

Il y a peu de temps, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π[54]. La formule,

\pi = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{1}{16ˆk} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),

est remarquable car elle sert à calculer n'importe chiffre de l'écriture de π en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents[54]. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000 chiffre en binaire de π, qui s'est révélé être 0[55].

Si une formule de la forme

\pi = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{1}{bˆ{ck}} \frac{p(k)}{q(k)},

était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à cœfficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l'un des moyens les plus efficaces pour calculer n'importe quel chiffre dans l'écriture de π en base bc sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant seulement du nombre de termes de la série calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir π[56]. En posant q = eπ (constante de Gelfond), on a

\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}ˆ\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{qˆn-1} - \frac{4}{qˆ{2n}-1} + \frac{1}{qˆ{4n}-1}\right)
\frac{\piˆ3}{180} = \sum_{n=1}ˆ\infty \frac{1}{nˆ3} \left(\frac{4}{qˆn-1} - \frac{5}{qˆ{2n}-1} + \frac{1}{qˆ{4n}-1}\right)

mais aussi

\piˆk = \sum_{n=1}ˆ\infty \frac{1}{nˆk} \left(\frac{a}{qˆn-1} + \frac{b}{qˆ{2n}-1} + \frac{c}{qˆ{4n}-1}\right)

k est un nombre impair, et a,  b,  c sont des nombres rationnels.

Utilisation en mathématiques et en sciences

Géométrie

π apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :

Forme géométrique Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire d'un disque de rayon r A = \pi rˆ2 \,\!
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume d'une boule de rayon r V = \frac{4}{3} \pi rˆ3 = \frac{\pi dˆ3}{6} \,\!
Aire surfacique d'une sphère de rayon r A = 4 \pi rˆ2 = \pi dˆ2 \,\!
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r V = \pi rˆ2 h \,\!
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi rˆ2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi rˆ2 h \,\!
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{rˆ2 + hˆ2} + \pi rˆ2 =  \pi r (r + \sqrt{rˆ2 + hˆ2}) \,\!

π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions).

Nombres complexes

La formule d'Euler illustrée dans le plan complexe. Une augmentation de l'angle φ de π radians (180°) donne l'identité d'Euler.

Un nombre complexe z peut s'exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante :

z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)

La naissance fréquente de π en analyse complexe a comme origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d'Euler

eˆ{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!

i est l'unité imaginaire satisfaisant la relation i2 = −1 et e ≈ 2.71828 est la constante de Néper. Cette formule implique que les puissances imaginaires de e décrivent des rotations sur le cercle unité du plan complexe ; ces rotations ont une période de 360°=2π. Surtout, une rotation de 180°=π donne l'identité d'Euler

eˆ{i \pi} = -1.\! et par conséquent eˆ{i \pi} + 1 = 0.\!

Cette formule a été qualifiée de «formule la plus remarquable des mathématiques» par Richard Feynman, car elle réunit en uniquement 7 caractères l'addition, la multiplication, l'exponentiation, l'égalité et les constantes remarquables 0, 1, e, i et π[57].

Suites et séries

De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à l'origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

Méthode d'Archimède

\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right).

Les deux suites définies par, et, n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes et ou encore et, avec identités trigonométriques usuelles :

\begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}

En utilisant les identités trigonométriques, et (x ∈ [0, π]), on peut exprimer s2k+1 et s3.2k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors s'exprimer sous la forme d'une formule où s'emboîtent des racines carrées :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2ˆ{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) (k est le nombre de racines carrées emboitées)

ou encore :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2ˆ{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √ (2+√…) ), conduit au produit illimité suivant (formule de François Viète, 1593).

\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots

Sommes et produits illimités

Fonction zêta de Riemann

Articles détaillés : Problème de Bâle et Fonction zêta de Riemann.
et d'une façon plus générale, Euler indiqua que ζ (2n) est un multiple rationnel de π2n pour un entier positif n.

Suite logistique

Soit (xn) la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre μ = 4 appliquée à un réel x0 choisi dans l'intervalle [0, 1] (c'est-à-dire qu'on définit, pour tout n\geqslant 0, x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)∼). La suite (xn) quitte l'intervalle [0;1] et diverge pour presque l'ensemble des valeurs initiales.

On a  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}ˆ{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\quad pour presque toutes les valeurs initiales x0.

Probabilités et statistiques

En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante π, dont :

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,eˆ{-(x-\mu )ˆ2/(2\sigmaˆ2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + xˆ2)}.

Les deux formules suivantes, tirées de l'analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L'une sert à montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l'autre sert à calculer la densité d'une loi de Gauss.

D'autre part, il existe diverses expériences probabilistes où π intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent par conséquent servir, en effectuant la plupart d'épreuves, à déterminer une approximation de π.

L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu'une aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur L, soit à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est[62], [63], [64], [65] :

p = \frac{2a}{\pi\times  L}

Cette formule est parfois utilisée pour déterminer une valeur approchée de π :

\pi \approx \frac{2na}{xL}.

où n est le nombre d'aiguilles lancées, et x celui d'aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.

Cette méthode présente rapidement ses limites ; quoique le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de π expérimentalement. Pour obtenir uniquement une valeur approchée de 3, 14, il est indispensable d'effectuer des millions de lancers[62], et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. Qui plus est , une très faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de π. A titre d'exemple, une différence de mesure d'un seul atome sur une aiguille de longueur de 10 centimètres va se retrouver dès la neuvième décimale de π. En pratique, les cas où l'aiguille semble toucher précisément la limite entre deux lattes va accroître l'imprécision de l'expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.

Évaluation de π par la méthode de Monte Carlo.

La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre au hasard un point dans un carré de côté 1, la probablité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 étant de π/4 ; ceci peut aisément se comprendre dans la mesure où la superficie de ce quart de cercle est π/4 tandis que la superficie du carré est 1.

Physique

Bien que n'étant pas une constante physique, π apparaît fréquemment dans les équations qui décrivent les principes fondamentaux de l'univers. L'utilisation d'unités telles que les unités de Planck permet quelquefois d'éliminer π des formules. Les quelques relations d'importance qui suivent font toutes intervenir le nombre π.

\Lambda = {{8\pi G} \over {3cˆ2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over cˆ4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 rˆ2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10ˆ{-7}\,\mathrm{N/Aˆ2}\,
\frac{Tˆ2}{aˆ3}={(2\pi)ˆ2 \over G (M+m)}

Propriétés avancées

Approximations numériques

Comme π est transcendant, il n'existe pas d'expression du nombre qui fasse seulement appel à des nombres et des fonctions algébriques[13]. Les formules de calcul de π utilisant l'arithmétique élémentaire impliquent le plus souvent les sommes illimitées. Ces formules permettent d'approximer π avec le moins d'erreur qu'on désire[71], sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de π.

Donc, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de π. Dans de nombreux cas, les approximations 3, 14 ou 22/7 suffisent, quoique les ingénieurs utilisent fréquemment 3, 1416 (5 chiffres significatifs) ou 3, 14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec 3 chiffres significatifs et 7 respectivement, sont obtenus à partir de l'écriture en fraction continue de π.

L'approximation de π en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec seulement 3 ou 4 chiffres au numérateur et au dénominateur, la meilleure approximation suivante étant 103993/33102, qui en exige un nombre bien plus important ; ceci venant de la naissance du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de π[72].

La première approximation numérique de π fut sans doute 3[30]. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d'approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c'est parce qu'il est le rapport entre le périmètre d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.

Fractions continues

La séquence des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de π ne fait apparaître aucun schéma évident[73] :


\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
,

ce qui est une notation équivalente à


\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{3+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{14+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{84+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Cependant, il existe des fractions continues généralisées représentant π dont la structure est régulière[74] :


\pi=\textstyle \frac{4}{1+\textstyle \frac{1ˆ2}{2+\textstyle \frac{3ˆ2}{2+\textstyle \frac{5ˆ2}{2+\textstyle \frac{7ˆ2}{2+\textstyle \frac{9ˆ2}{2+\textstyle \frac{11ˆ2}{2+\cdots}}}}}}}=
3+\textstyle \frac{1ˆ2}{6+\textstyle \frac{3ˆ2}{6+\textstyle \frac{5ˆ2}{6+\textstyle \frac{7ˆ2}{6+\textstyle \frac{9ˆ2}{6+\textstyle \frac{11ˆ2}{6+\cdots}}}}}}=
\textstyle \frac{4}{1+\textstyle \frac{1ˆ2}{3+\textstyle \frac{2ˆ2}{5+\textstyle \frac{3ˆ2}{7+\textstyle \frac{4ˆ2}{9+\textstyle \frac{5ˆ2}{11+\cdots}}}}}}

π/2 peut aussi être écrit sous une forme de fraction continue généralisée, faisant intervenir la suite des inverses des nombres entiers :

\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}

Questions ouvertes

De nombreuses questions se posent toujours : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables ainsi qu'à cœfficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est toujours en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que eπ est transcendant[75] et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et eπ sont algébriquement indépendants.

Comme dit auparavant, on ignore toujours si π est un nombre normal, ou même un nombre univers en base 10.

Culture populaire

Probablement à cause de la simplicité de sa définition, le nombre pi et spécifiquement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique[76]. D'ailleurs, la découverte d'un plus grand nombre de décimales de π fait fréquemment l'objet d'articles dans la presse généraliste, signe que π est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques[77], [78], [79].

Une tradition anglo-saxonne veut qu'on fête l'anniversaire de π dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté «3/14» en notation anglo-saxonne, est par conséquent nommé la journée de pi[80].

π dans l'art

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et , plus exactement, que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides[81]. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que donc, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de π. Faut-il pour tout autant y chercher une intention ? Rien n'est moins sûr[82] puisque la pente des pyramides n'est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui amènent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de π.

Il est en tout cas certain que π soit présent dans la culture artistique moderne. A titre d'exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, pi joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu'il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de pi, positionné par celui qui a créé l'univers. Cette partie de l'histoire a été écartée de l'adaptation cinématographique du roman.

Dans le registre musical, l'auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album Ærial, qui contenait le morceau «π», dont les paroles sont essentiellement composées des décimales de π[83].

Mémorisation de π

Les récentes décennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de décimales de π mémorisées.

La mémorisation d'un nombre record de décimales de π a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. En 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, a réussi à réciter 100 000 décimales de π en 16 heures[84]. Ceci, cependant, n'a pas encore été vérifié par le Livre Guinness des records. Le record de mémorisation de π reconnu par le Guinness des records est de 67 890 chiffres, détenu par Lu Chao, un jeune diplômé chinois[85]. Il lui a fallu 24 heures et 4 minutes pour réciter les 67 890 premières décimales de π sans erreur[86].

Le 17 juin 2009, Andriy Slyusarchuk, un neurochirurgien et professeur ukrainien, a affirmé avoir mémorisé 30 millions de décimales de π, qui ont été imprimées en 20 volumes[87]. Quoiqu'il n'ait pas récité les 30 millions de chiffres qu'il a dit avoir retenu, certains médias prétendent qu'il était en mesure de réciter dix décimales choisies aléatoirement parmi les volumes imprimés.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de π, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de 10 lettres représentant un 0. En voici un exemple[88] :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d'un particulièrement grand nombre de décimales, où il semble plus adequat d'utiliser des méthodes comme la méthode des loci[89], [90].

Notes et références

  1. (en) Howard Whitley Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart & Winston, 1969 
  2. Le nombre Pi. Consulté le 25 février 2010
  3. (en) About Pi, Ask Dr. Math FAQ. Consulté le 29 octobre 2007
  4. (en) Bettina Richmond, «Area of a Circle», 1999, Western Kentucky University. Consulté le 4 novembre 2007
  5. (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976 (ISBN 0-07-054235-X) , p.  183 
  6. Histoire du nombre pi. sur Math93. Consulté le 25 février 2010
  7. (en) Glimpses in the history of a great number : Pi in Arabic mathematics par Mustafa Mawaldi
  8. (en) Johann Heinrich Lambert, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, vol.  XVII, 1761, p.  265-322 
  9. Pour plus de détail voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombre de Pythagore
  10. (en) Ivan Niven, «A simple proof that π is irrational», dans Bulletin of the American Mathematical Society, vol.  53, no 6, 1947, p.  509 [texte intégral (page consultée le 4 novembre 2007) ] 
  11. (en) Helmut Richter, «Pi Is Irrational», 1999, Leibniz Rechenzentrum. Consulté le 4 novembre 2007
  12. (en) Harold Jeffreys, Scientific Inference, Cambridge University Press, 1973 
  13. (en) Steve Mayer, «The Transcendence of π». Consulté le 4 novembre 2007
  14. (en) Squaring the Circle, cut-the-knot. Consulté le 4 novembre 2007
  15. (en) Current publicized world record of pi. Consulté le 14 octobre 2007
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  18. (en) Pi Digits sur MathWorld. Consulté le 22 février 2010
  19. (en) Chad Boutin, «Pi seems a good random number generator - but not always the best», dans Purdue University, 2005 [texte intégral] 
  20. Conférence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple ou compliqué, mardi 3 octobre 2006, cité des sciences, consultable ici
  21. (en) Rick Groleau, «Illimitéte Secrets : Approximating Pi», 2003, NOVA. Consulté le 4 novembre 2007
  22. (en) Petr Beckmann, A History of Pi, Barnes & Noble Publishing, 1989 (ISBN 0880294183)  
  23. (en) Pierre Eymard, The Number π, American Mathematical Society, février 2004 (ISBN 0821832468) , p.  53 
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  25. (en) Petr Beckmann, A History of π, St. Martin's Griffin, 1976 (ISBN 0-312-38185-9)  
  26. (en) Archimedes'constant π. Consulté le 4 novembre 2007
  27. Tablettes de Suse - voir par exemple ici
  28. Otto Neugebauer, the exact sciences in antiquity, p 47
  29. Voir une traduction du texte original
  30. (en) J. J. O'Connor, «A history of Pi», 2001. Consulté le 30 octobre 2007
  31. C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
  32. Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions], p.  144-147
  33. (en) Selon sa biographie sur le site de Mac Tutor, dans son texte Zhui shu.
  34. C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202.
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  37. (en) Charles Hutton, Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms... , London : Rivington, 1811, p.  13 
  38. Pi chronology sur history. mcs. st-andrews. ac. uk. Consulté le 25 février 2010
  39. Citation originale : «I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time. »
  40. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions], volume 2, p.  8-13 nos 395 - 398, accessible en ligne
  41. non exclusivement, et de plus à des variantes près pour noter le rapport, voir Cajori, ouvrage cité
  42. rien n'indique si c'est sous l'influence de ce dernier ou de son propre chef, cf. Cajori
  43. On la trouve par exemple dans Les Élements de géométrie de Legendre, un ouvrage plutôt conçu pour un public scolaire, paru en 1794, cf. Cajori
  44. "An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11–15. (January, 1950)
  45. "Statistical Treatment of Values of First 2, 000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109–111, avril 1950
  46. (en) The constant π : Ramanujan type formulas. Consulté le 4 novembre 2007
  47. (en) Richard Brent, Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation, Analytic Computational Complexity, New York, 1975, p.  151-176 
  48. La recherche, no 392, Décembre 2005, L'indispensable nombre π
  49. (en) Jonathan M. Borwein, Pi : A Source Book, Springer, 2004 (ISBN 0387205713)  
  50. Site de Fabrice Bellard – Annonce du record
  51. (en) Fabrice Bellard, Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer [pdf], 6 janvier 2010, 11 p.
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  57. (en) Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics : Volume I, juin 1970, p. 10 p. , «Chapter 22 : Algebra» 
  58. attribuée fréquemment à Leibniz, mais découverte certainement antérieurement par Gregory, voir (en) Pi_through_the_ages. html sur le site de l'université de Saint Andrews. Cette formule avait aussi été trouvée vers 1400 par le mathématicien indien Madhava, mais cette découverte resta inconnue du monde occidental.
  59. (en) Biographie de Madhava sur le site de l'université de Saint-Andrew
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Annexes

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Bibliographie

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