Octaèdre

Un octaèdre est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.



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Polyèdre

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  • C'est le symbole du cube : 3 est le nombre de faces vues d'un sommet ; l'exposant, 4, est le nombre de côtés d'une face. Le symbole de l'octaèdre est 43.... (source : mathenjeans.free)
  • L'octaèdre symétrique à base carrée. Cet octaèdre se compose de huit... quand les quatre angles linéaires qui viennent se réunir au sommet qu'on a... (source : books.google)

Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.

A titre d'exemple,  une pyramide heptagonale est un octaèdre,  dont les huit faces sont sa base heptagonale et ses sept faces triangulaires : 1 + 7 = 8.  Puisque 2 + 6 = 8,  une illimitété de prismes sont des octaèdres,   dont deux faces sont des hexagones.

L'octaèdre régulier

Octaèdre
Octaèdre

Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
8
12
6
2
Faces par sommet 4
Sommets par face 3
Isométries
Dual Cube
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Un octaèdre régulier est un solide de Platon composé de huit faces dont chacune est un triangle équilatéral, se joignant quatre à quatre à chaque sommet. Platon, dans ses travaux, a voulu expliquer la matière par cinq éléments, et a utilisé des polyèdres réguliers pour les symboliser, l'octaèdre représentait l'élément «air»[1].

L'aire A et le volume V de l'octaèdre régulier d'arête a valent respectivement :

A=2\sqrt{3}aˆ2 \quad {et} \quad V={1\over3}\sqrt{2}aˆ3

L'octaèdre régulier est un genre spécial d'antiprisme triangulaire et de bipyramide carrée.

Patron de l'octaèdre régulier

C'est aussi le dual du cube, c'est-à-dire que c'est le polyèdre obtenu en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube, et en joignant les sommets qui correspondent à des faces adjacentes. En conséquence, on peut faire correspondre aux sommets ainsi qu'aux faces de l'octaèdre les faces et les sommets du cube.

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un octaèdre centré à l'origine sont (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1).

Comme il a trois sommets par face, et quatre faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3, 4}.

Le squelette de l'octaèdre régulier, la totalité de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe nommé graphe octaédrique.

Généralisation

L'hyperoctaèdre (ou polytope croisé, ou orthoplexe, ou encore n-octaèdre) est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

Le n-octaèdre est le dual du n-cube (hypercube à n dimensions)  : pour obtenir un n-octaèdre on relie entre eux les centres des faces (de dimension n-1) d'un n-cube.

L'hyperoctaèdre est , avec l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une illimitété en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.

Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3, 3, 3, …, 3, 4} avec (n-1) chiffres.

Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1, 0, 0, 0, ..., 0, 0).

Les premiers hyperoctaèdres
Hyperoctaèdre Carré Octaèdre Hexadécachore ou 16-cellules 5-octaèdre
Dimension 2 3 4 5
Sommets 4 6 8 10
Représentation Cross graph 2.svg Octahedron.svg 16-cell.gif Cross graph 5.svg

Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier

L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.

Pour construire un (n+1) -octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus ainsi qu'à un nouveau point au-dessous.

L'hyperoctaèdre est par conséquent une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Etant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est aussi celle de ses faces hyperoctaèdriques de dimensions inférieures, car l'ensemble des sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est par conséquent le même pour toute dimension n : R_n = \frac{a\sqrt{2}}{2}

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur Rn. On en déduit par conséquent que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :

V_n = \frac{V_{n-1} \times R_n}{n} \times 2 = \frac{(a\sqrt{2})ˆn}{n!}

Exemples :

...

(On suppose dans cette formule que l'unique n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur a\sqrt{2} (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)

L'octaèdre articulé

Il existe des octaèdres flexibles, ce sont les polyèdres déformables de taille minimale. Comme l'a prouvé Cauchy, ils ne peuvent pas être convexes[2].

Annexes

Bibliographie

Notes et références

  1. Les cinq éléments de Platon : Histoire du solide de Platon
  2. Voir Bricard R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, in Journal de Mathématiques pures et appliquées, Liouville, tome 3 :113-148, 1897

Voir aussi

  • Autres polytopes :
    • Polytope
    • Hypercube, dual de l'hyperoctaèdre
    • n-simplexe
  • Liens externes


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