Norme

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle sert à mesurer la longueur commune à l'ensemble des représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux...



Catégories :

Espace vectoriel normé

Définitions :

  • normer - Mettre en norme; Normer un vecteur (nécessairement non nul)  : le diviser par sa norme, afin d'obtenir un vecteur unitaire (c'est-à-dire de norme... (source : fr.wiktionary)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle sert à mesurer la longueur commune à l'ensemble des représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

D'autres normes sont particulièrement utilisées sur les espaces vectoriels de dimension finie ou illimitée, nommés alors espaces vectoriels normés. Elles sont surtout particulièrement importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différentiation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations.

Il existe une deuxième définition de la norme, utilisé en arithmétique, elle est traitée dans l'article Norme (arithmétique) .

Géométrie euclidienne usuelle

Définition

Si A et B sont deux points du plan ou de l'espace courant, la norme du vecteur \overrightarrow{AB} est la distance AB c'est-à-dire la longueur du segment [AB]. Elle se note avec une double barre : \|\overrightarrow{AB}\|.

La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent par conséquent pas du choix du représentant.

Article détaillé : Vecteur.

Calcul

La norme d'un vecteur peut se calculer avec ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.

Si les points A et B ont pour coordonnées respectives \ (x_A, y_A) et \ (x_B, y_B) alors \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)ˆ2 + (y_B-y_A)ˆ2}.
Si les points A et B ont pour coordonnées respectives \ (x_A ; y_A ; z_A) et \ (x_B ; y_B ; z_B) alors \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)ˆ2 + (y_B-y_A)ˆ2 + (z_B-z_A)ˆ2}.

La norme d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire :

\|\vec u\| = \sqrt{\vec u \cdot \vec u}.

Réciproquement, le produit scalaire peut s'obtenir à partir de la norme grâce à la relation :

\vec u \cdot \vec v = \frac{1}{2}\left(\|\vec u + \vec v\|ˆ2 - \|\vec u\|ˆ2 - \|\vec v\|ˆ2\right).

Propriétés

\|k.\vec u\| = |k|\times \|\vec u\|.
En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé : \|-\vec u\| = \|\vec u\|.

Sur un espace vectoriel quelconque

Définition formelle

Soit K un corps pourvu d'une valeur absolue et E un K-espace vectoriel.

Une norme sur E est une application \mathcal N sur E à valeurs réelles positives et satisfaisant les hypothèses suivantes :

Remarques 

Un espace vectoriel pourvu d'une norme est alors nommé espace vectoriel normé (quelquefois abrégé en EVN).

Article détaillé : Espace vectoriel normé.

L'image d'un vecteur x par la norme se note habituellement \|x\| et se lit «norme de x».

Premières propriétés

\forall (\lambda,x,y) \in \mathbb K \times Eˆ2\ ,\ \|\lambda \cdot x + y\| \leq |\lambda|\cdot\|x\| + \|y\|.
 \|\lambda_1\cdot x_1 + \cdots + \lambda_n\cdot x_n\| \leq | \lambda_1|\times \|x_1\|+ \cdots + |\lambda_n|\times \|x_n\| \ \ .
\|z - x\| \leq \|z - y\| + \|y - x\|
indispensable pour montrer que d est une distance sur E, qui plus est invariante par translation.
Un espace vectoriel normé est par conséquent un espace métrique homogène et la topologie associée est compatible avec les opérations vectorielles.
\forall (x,y) \in Eˆ2\ ,\ \big| \|x\|- \|y\|\big| \leq \|x-y\|
qui montre que la norme est une application 1-lipschitzienne par conséquent continue.

Topologie

Article détaillé : Espace vectoriel topologique.

Une norme \mathcal N sur un espace vectoriel \ E définit une distance d sur \ E par la formule suivante :

De plus, à d est associée, comme à toute distance, une topologie séparée. Un ouvert pour cette topologie est une partie \mathcal O de E vérifiant la propriété suivante :

Cette topologie possède la propriété suivante :

Proposition —  L'addition de \ E\times E dans \ E et la multiplication externe de \mathbb K\times E dans \ E sont continues.

Boule

Article détaillé : Boule (mathématiques) .

Cette construction d'une topologie donne toute son importance à la notion de boule ouverte de centre \ x et de rayon \ r, c'est-à-dire la totalité des points dont la distance à \ x est strictement inférieure à \ r. Toute boule ouverte est l'image de la boule unité (ouverte) \mathcal{B} par une translation de vecteur \ x et d'une homothétie de rapport \ r.

Les boules ouvertes centrées en un point \ x forment une base de voisinages du point \ x, elles caractérisent par conséquent la topologie. Si K=R ou C, toute boule ouverte est convexe. En effet, comme la convexité est conservée par translation et homothétie, il suffit de montrer cette propriété pour la boule ouverte unité. Si \ x et \ y sont deux points de cette boule et si \theta \; est un réel entre zéro et un, alors :

\mathcal N\Big(\theta x + (1-\theta)y\Big) \le \theta\mathcal N(x)+(1-\theta)\mathcal N(y)< 1

La propriété suivante est par conséquent vérifiée :

Propriété —  Un espace vectoriel normé sur R ou C est localement convexe.

Ce qui veut dire que tout point admet une base de voisinages convexes, par exemple les boules ouvertes centrées en ce point.

Norme équivalente

Article détaillé : Norme équivalente.

Plus la topologie contient d'ouverts, plus précise devient l'analyse associée. Pour cette raison une topologie contenant au moins l'ensemble des ouverts d'une autre est dite plus fine. La question se pose dans le cas de deux normes \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 sur un même espace vectoriel \ E, de savoir à quel critère sur les normes correspond une telle comparaison entre leurs topologies associées.

Cette définition est légitimée par le fait que \mathcal{N}_1 est plus fine que \mathcal{N}_2 si et uniquement si sa topologie associée \mathcal{T}_1 est plus fine que \mathcal{T}_2

Cela correspond au fait que les boules ouvertes des deux normes puissent s'inclure l'une dans l'autre à dilatation près, ou encore que les deux topologies associées soient les mêmes. En termes métriques, les deux structures sont même uniformément isomorphes. Sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l'ensemble des normes sont équivalentes (cf topologie d'un espace vectoriel de dimension finie) .

Constructions génériques

\forall x\in E,\ \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.
Une norme \mathcal N est euclidienne (c'est-à-dire provient d'un produit scalaire) si et uniquement si l'application (x,y) \mapsto \frac{1}{2}(\mathcal N(x+y)ˆ2-\mathcal N(x)ˆ2 - \mathcal N(y)ˆ2) est bilinéaire
et dans ce cas cette application est le produit scalaire associé.
\mathcal \|x\|_E = \|f(x)\|_F.
\forall x\in E\ ,\ J(x) = \inf\left\{\lambda \in \Rˆ+ \colon \frac{1}{\lambda}x\in C\right\}
et dont C est la boule unité ouverte.
\forall T \in L_c(E, F),\ \|T\| = \sup_{x\in E-\{0\}}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}.

Exemples

En dimension finie

Article détaillé : Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.
L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

On considère le vecteur \emph{\textbf{x}} = [x_1, \dots, x_n] sur Kn,

 \|\emph{\textbf{x}}\|_2 = \sqrt{|x_1|ˆ2 + \cdots + |x_n|ˆ2}
et elle correspond à la norme généralement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace usuels (la présence du 2 en indice est expliquée juste après) ;
 \|\emph{\textbf{x}}\|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|
et induit la distance de déplacement à angle droit sur un damier (ou dans les rues de Manhattan[1])  ;
 \|\emph{\textbf{x}}\|_p = \left(|x_1|ˆp + \cdots + |x_n|ˆp\right)ˆ{\frac{1}{p}},
elle identifie par conséquent la norme euclidienne avec la norme 2, mais n'a en particulier d'intérêt que dans sa généralisation aux espaces de fonctions ;
 \|\emph{\textbf{x}}\|_{\infty} = \lim_{p \rightarrow +\infty}\|(x_1, \cdots, x_n)\|_p = \max\left(|x_1|, \dots, |x_n|\right),
elle induit la distance de déplacement par les faces et par les coins dans un réseau, comme celui du roi sur l'échiquier.

Les relations d'équivalence entre ces normes sont :

\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2
\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty
\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty

L'inégalité triangulaire pour les normes p se nomme l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.

D'autres exemples apparaissent classiquement :

En dimension illimitée

{\|f\|}_p = \left( \int_aˆb |f(t)|ˆp \mathrm dt\right)ˆ{1/p}
qui permettent surtout de définir les espaces Lp.
En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par
{\|f\|}_2 = \sqrt{\int_aˆb |f(t)|ˆ2\mathrm dt}.
La norme «illimité» ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit quant à elle
{\|f\|}_{\infty} = \sup_{t\in [a, b]} |f(t)|
et s'obtient là aussi comme limite des normes p quand p tend vers l'infini.
Toutes ces normes ne sont pas équivalentes deux à deux.
D'autre part elles s'étendent facilement aux espaces de fonctions continues sur un compact de \Rˆn, ou alors aux fonctions continues à support compact.
\|f\| = \int_aˆb (|f(t)| + |f'(t)|)\mathrm dt
pour considérer l'application dérivée de \mathcal Cˆ1 dans \mathcal Cˆ0 comme continue.
{\|(u_n)_{n\in\N}\|}_{\infty} = \sup_{n \in \N}|u_n|

Norme d'algèbre

Définition

Une norme \mathcal N sur une algèbre A est dite norme d'algèbre s'il existe une constante réelle C telle que

 \forall (x,y) \in Aˆ2, \mathcal N(x \times y) \leq  C \mathcal N(x)\times \mathcal N(y) .

Quitte à multiplier la norme par C, cette constante peut être ramenée à 1. La condition est alors celle de sous-multiplicativité.

Dans le cas d'une algèbre réelle ou complexe, la condition est équivalente à la continuité du produit comme application bilinéaire.

Si l'algèbre est unitaire, on peut exiger de la norme qu'elle vérifie aussi :

 \mathcal N(1_A)=1,

auquel cas la multiplication par une constante ne peut plus être utilisée pour «renormaliser» la norme.

Exemples

\forall (a_{i,j}) \in \mathcal {M}_n (\mathbb C),\ \|(a_{ij})\| = \max_i\sum_j|a_{ij}|.

Notes et références

Notes

  1. La norme 1 est aussi nommée Manhattan norm en anglais.
  2. Le mot «illimité» est le nom de la norme et non un adjectif qualificatif. Il ne s'accorde par conséquent pas avec le mot «norme».

Liens externes

Références

Une introduction à l'analyse fonctionnelle, il traite en particulier deux exemples les Banach et les Hilbert.
Le chapitre II traite des espaces vectoriels topologiques généralement et surtout du sujet de l'article.

Voir aussi

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