Nombre transfini

Les nombres transfinis sont des nombres illimités découverts et explorés par le mathématicien Georg Cantor. Se basant sur ses résultats, il a introduit une sorte d'hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles.

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Les nombres transfinis sont des nombres illimités découverts et explorés par le mathématicien Georg Cantor. Se basant sur ses résultats, il a introduit une sorte d'hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles.

Aspect épistémologique

Les travaux de Cantor sur la théorie des ensembles ont été à la source de nombreux paradoxes, et ont contribué à la crise des fondements qu'ont connue les mathématiques, entre la fin du XIX^e et le début du XX^e siècle. Kronecker, par exemple, a exprimé pourquoi il ne considérait pas comme mathématiquement valides les démonstrations de Cantor faisant intervenir l'infini de deux façons différentes, en considérant l'un comme achevé et l'autre comme en construction.

Une fameuse boutade de David Hilbert résume le choix de bon nombre de mathématiciens : «Cantor a créé pour les mathématiciens un paradis dont ils ne se laisseront pas expulser».

Les nombres transfinis ont peu d'applications en dehors des mathématiques à l'heure actuelle. Cela n'est pas obligatoirement significatif, mais aussi le montrent quelques exemples historiques (celui des nombres complexes, surtout). Cependant, au cours du XX^e siècle, les physiciens ne se sont pas montrés demandeurs de ce genre de travaux.

Cette situation est à opposer à d'autres travaux mathématiques qui furent au contraire inspirés au départ par un souci de formaliser et généraliser des procédés employés empiriquement en physique : le calcul opérationnel a été formalisé par la transformée de Laplace, et les fonctions de Dirac par la théorie des distributions de Laurent Schwartz.

Distinction importante

Un nombre entier naturel est parfois utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Quoique identiques en apparence, ces deux concepts cantoriens doivent être distingués quand on s'intéresse à des ensembles illimités.

Nombres ordinaux transfinis

En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être fabriqués avec des ensembles :

0 = {} (ensemble vide)

1 = {0} = { {} }

2 = {0, 1} = { {}, { {} } }

3 = {0, 1, 2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

etc. De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels. Cela nous conduit à la définition d'un nombre ordinal par John von Neumann : un ensemble E est un ordinal si et uniquement si E est complètement ordonné pour l'inclusion et tout élément de E est un sous ensemble de E. Cette approche permet d'envisager les nombres ordinaux illimités, nommé aussi nombres ordinaux transfinis.

L'existence des ordinaux illimités est assurée par l'axiome de l'infini.

Le premier nombre ordinal transfini est noté ω, dernière lettre de l'alphabet grec. Il correspond à la totalité des nombres entiers naturels $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Si $α$ et $β$ sont deux ordinaux, on dit que $α < ß$ si et uniquement si $\alpha \in \beta$ . On peut alors comparer deux ordinaux quelconques.

Si $α$ est un ordinal, on définit le successeur de $α$ comme étant l'ordinal $\beta = \alpha \cup \{\alpha\}$ , noté $α + 1$ . En itérant l'opération, on montre qu'il existe une illimitété d'ordinaux et on définit une addition entre ordinaux. A titre d'exemple, on a :

$\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \cdots < \omega+\omega = \omega 2 < \omega 2 + 1 < \cdots < \omega 3 < \cdots$

Cette addition est associative mais pas commutative. Ainsi $ω < ? + 1 < ?2$ , mais $ω = 1 + ω$ . On peut aussi définir une multiplication et une exponentielle, ce qui donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis.

$\omega 2 < \omega 3 < \cdots < \omega\omega = \omegaˆ2 < \omegaˆ3 < \cdots < \omegaˆ\omega < \cdots < \omegaˆ{\omegaˆ\omega} < \cdots$

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et $ω$ . Le plus petit d'entre eux est nommé $ε 0$ et vaut $\omegaˆ{\omegaˆ{\omegaˆ{\cdots}}}$ . Il est en outre solution de l'équation $x = ω x$ .

Les ordinaux ne forment pas un ensemble, au sens des axiomes de la théorie des ensembles, mais une classe propre. Cette propriété se nomme le paradoxe de Burali-Forti, sa démonstration repose sur l'argument suivant : si la totalité des ordinaux existait, il serait par définition un ordinal qui serait strictement plus grand (par définition) que l'ensemble des ordinaux, ce qui est contradictoire.

Nombres cardinaux transfinis

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Frænkel avec axiome du choix, à tout ensemble correspond un cardinal, à savoir le plus petit nombre ordinal en bijection avec cet ensemble. Le cardinal d'un ensemble fini à n éléments est n. Le cardinal $ω$ de l'ensemble illimité $\mathbb{N}$ des nombres entiers naturels est noté $\aleph_0$ (aleph-zéro), utilisant la première lettre de l'alphabet hébreu. $\aleph_0$ est le plus petit nombre transfini cardinal. Il est plus grand que tout entier naturel. Deux ensembles ont le même cardinal quand ils sont en bijection. Ainsi, le cardinal de tout ensemble dénombrable illimité est aussi $\aleph_0$ , c'est le cas par exemple de la totalité des nombres algébriques. De manière plus générale, on montre que les ensembles des types suivants sont illimités dénombrables

l'union de $\mathbb{N}$ avec un ensemble fini
l'union d'une suite finie d'ensembles illimités dénombrables
le produit d'une suite finie d'ensembles illimités dénombrables

Ces propriétés se traduisent sur le nombre transfini $\aleph_0$ par les formules suivantes

$\aleph_0+n=\aleph_0$ pour tout entier naturel $n$
$n\aleph_0=\aleph_0$ pour tout entier naturel $n > 0$
$\aleph_0ˆn=\aleph_0$ pour tout entier naturel $n > 0$

Mais l'infini ne se résume pas à $\aleph_0$ . On montre avec l'argument diagonal de Cantor que la totalité $\mathbb{R}$ des nombres réels n'est pas dénombrable. Si on note $\aleph$ le nombre cardinal transfini associé à $\mathbb{R}$ , on a donc

$\aleph_0 < \aleph$ .

$\aleph$ est quelquefois noté $2ˆ{\aleph_0}$ par ressemblance avec les cardinaux finis car $\mathbb{R}$ est en bijection avec la totalité des parties de $\mathbb{N}$ . On a par conséquent avec cette notation que $\aleph_0 < 2ˆ{\aleph_0}$ . De manière plus générale, on montre que le cardinal de la totalité des parties d'un ensemble est toujours strictement plus gros que la totalité de départ. Ainsi,

$\aleph_0 < 2ˆ{\aleph_0} < 2ˆ{2ˆ{\aleph_0}} < \cdots$

Il existe par conséquent une illimitété de nombres cardinaux transfinis !

Se pose alors la question de savoir si $\aleph_1$ , le premier cardinal strictement plus grand que $\aleph_0$ est égal à $2ˆ{\aleph_0}$ ou s'il lui est strictement inférieur. Les travaux de Kurt Gödel et de Paul Cohen ont montré que cette question ne pouvait pas recevoir de réponse dans l'axiomatique de la théorie des ensembles. cf. hypothèse du continu.

Voir aussi

Ensemble bien ordonné
Récurrence transfinie
Théorème de König
Théorème de Goodstein : théorème d'arithmétique dont la démonstration utilise les ordinaux
Hôtel de Hilbert
Beth (nombre)
Aleph (nombre)

Références externes

P. Dehornoy, Cantor et les illimités, Gazette des Mathématiciens - n°121, pages 28-46, Juillet 2009

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