Nombre réel / Nombres réels

Un nombre réel est un nombre associé à une longueur ou à une grandeur physique.



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Type de nombre - Analyse réelle

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Un nombre réel est un nombre associé à une longueur ou à une grandeur physique.

La totalité des nombres réels, noté \mathbb{R}, est l'union de la totalité des nombres rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) et de la totalité des nombres dont le développement décimal est illimité non périodique[note 1], tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont nommés nombres irrationnels. Parmi les nombres réels on distingue aussi les nombres algébriques et les nombres transcendants.

Le terme de nombre réel apparaît chez Georg Cantor en 1883 dans ses publications sur les fondements de la théorie des ensembles. C'est un rétronyme, donné en réponse à la découverte des nombres imaginaires. Cependant, il est déjdésormais dans un ouvrage de Prestet et Malebranche en 1689 [H 1] et peu après, en 1697, dans un ouvrage de Thomas Fantet de Lagny[H 2]. Selon le site Earliest Known Uses of some of the words in mathematics[1], l'adjectif réel fut utilisé pour la première fois en 1637 par René Descartes[H 3], en opposition à racines imaginaires. D'autres sens apparaissent aussi dans des traités de théologie/philosophie à la même époque[2].

Les nombres réels sont au centre de la discipline mathématique de l'analyse réelle, à laquelle ils doivent une grande part de leur histoire. La notation originale de la totalité des nombres réels est \textbf{R}. Cependant, les lettres grasses étant complexes à écrire sur un tableau ou une feuille, la notation \mathbb{R} s'est vu consacrée.

Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes réelles

Dans la vie courante

Les nombres réels sont utilisés pour représenter n'importe quelle mesure physique telle que : le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitude (positive ou négative) d'un site géographique, la masse d'un atome ou la distance de la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés l'ensemble des jours, par exemple en économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.

Le plus fréquemment, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés :

Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal illimité, ils sont tous dénombrables et ne représentent par conséquent qu'une infime partie de la totalité des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont spécifiquement étudiés par les mathématiciens : les nombres rationnels et les nombres algébriques ; on nomme «irrationnels» les réels qui ne sont pas rationnels et «transcendants» ceux qui ne sont pas algébriques.

En science

La physique utilise les nombres réels dans l'expression des mesures pour deux raisons principales :

En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision illimitée. La représentation numérique du résultat d'un calcul peut être approchée aussi exactement qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la physique, il est même théoriquement impossible de réaliser des mesures de précision illimitée. C'est pourquoi, autant pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans \R, il exprime les résultats numériques sous forme de nombres décimaux.

Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des nombres décimaux. Lorsqu'il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la valeur π sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales fréquemment petit lui suffit pour les calculs.

Enfin, quoique les nombres réels puissent représenter n'importe quelle grandeur physique, les nombres réels ne sont pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Des «sur-ensembles» fabriqués autour des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple :

Autres remarques sur la notion de «développement décimal illimité»

Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de «nombre à développement décimal illimité». Cette définition peut sembler plus simple que d'autres utilisées fréquemment par les mathématiciens, comme par exemple la limite d'une suite convergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des démonstrations énormément plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de la totalité qu'ils forment : addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces propriétés sont mal reflétées par la définition «développement décimal illimité» et des problèmes théoriques apparaissent :

A titre d'exemple, le nombre x=0, 9999... (les 9 se poursuivent à l'infini), vérifie l'équation 10x = 9+x. Le nombre y=1, 000000... (les 0 se poursuivent à l'infini) en est aussi solution [note 2]. Or l'existence et l'unicité de solution à l'équation 10t = 9+t, d'inconnue t, sont deux propriétés principales pour une définition univoque des réels. Pour remédier à cette situation, il devient indispensable d'identifier les représentations décimales qui sont solutions d'une même équation : la définition devient plus complexe.
Cette difficulté n'est pas insurmontable. Elle est résolue par l'utilisation d'une base quelconque : on parle alors de développements en base p. Il est alors envisageable de démontrer que les ensembles fabriqués à partir de ces bases sont isomorphes et que les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes ces bases. Cependant les démonstrations deviennent lourdes, et la définition perd de sa simplicité.
En effet, les «retenues» se calculent de la droite vers la gauche, et un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (dans la mesure où il ne peut effecteur qu'un nombre fini d'opérations), c'est-à-dire de tronquer les nombres sur lesquels on calcule : il se peut par conséquent qu'en tronquant aussi loin qu'on veut, on n'ait jamais la moindre décimale exacte, par exemple sur le calcul 0, 33... +0, 66... =1. Surmonter cette difficulté demande de faire appel à des notions de convergence, qui amènent naturellement vers d'autres modes de définition des réels.

Cependant, une fois établie la structure de la totalité des nombres réels, la notation par développement décimal permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.

Aspect historique

Origine des nombres

Mise en place des fractions

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable — par exemple une longueur ou une durée — a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place particulièrement tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.

Correspondance avec des longueurs

Euclide

La première formalisation construite en dispositif qu'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au IIIe siècle av. J. -C. Sa construction, inscrite dans les Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques.

Problèmes d'incomplétude

Irrationalité de la racine carrée de 2

Le carré bleu est de surface double de celle du carré gris

L'approche d'Euclide met en évidence la première contradiction entre la notion de nombre de l'époque - les fractions - et le rôle qui leur est attribué, la représentation d'une grandeur mesurable.

Les Éléments d'Euclide se fondent sur une axiomatique qui semble permettre de prouver à la fois qu'une proposition est vraie et fausse. Plus de deux millénaires seront nécessaires aux mathématiciens pour résoudre cette apparente contradiction, expliquer pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et trouver comment bien les représenter.

Trois siècles avant Euclide, Pythagore connaissait certainement l'irrationalité de certaines racines. Par contre, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Développement décimal infini non périodique

Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et spécifiquement la division deviennent complexes si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est décrit par l'article fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.

Il faut attendre le Ve siècle pour voir l'école indienne découvrir le concept du zéro et développer un système de numération décimal et positionnel.

Un deuxième problème apparaît alors. L'ensemble des fractions possèdent un développement décimal étant donné que ce développement est illimité et périodique, c'est-à-dire que la suite des décimales ne s'arrête pas mais boucle sur un nombre fini de valeurs. La question se pose alors de savoir quel sens donner à un objet caractérisé par une suite de décimales non périodique. A titre d'exemple, le nombre à développement décimal illimité qui s'exprime comme

0, 1010010001... où le nombre de 0 entre les chiffres 1 croît indéfiniment, correspond-il à une longueur ?


Suites et séries

Dans la seconde moitié du XVIIe siècle, on assiste à un extraordinaire épanouissement des mathématiques dans le domaine du calcul des séries et des suites.

Nicolaus Mercator, les Bernoulli, James Gregory, Godfried Leibniz, et d'autres travaillent sur des séries qui semblent converger mais dont la limite n'est pas rationnelle. C'est le cas par exemple :

Pire, Liouville en 1844, prouve l'existence de nombres transcendants c'est-à-dire non racine d'un polynôme à cœfficients entiers. Il ne suffit par conséquent pas de compléter les rationnels en y ajoutant les nombres algébriques pour obtenir la totalité de l'ensemble des nombres.

Le calcul illimitétésimal

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Durant la seconde partie du XVIIe siècle, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle désormais l'analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul illimitétésimal. Cette branche prend presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la Terre tourne autour du Soleil ou l'inverse.

Or le calcul illimitétésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans la totalité des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une grande complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition géométrique que d'une explicitation rigoureuse au sens de notre époque.

L'impossibilité de la construction de l'analyse dans la totalité des fractions réside dans le fait que cette branche des mathématiques se fonde sur l'analyse des illimitément petits. Or, on peut comparer les nombres rationnels à une illimitété de petits grains de sable (de taille illimitément petite) sur la droite réelle laissant illimitément plus de trous que de matière. L'analyse ne peut se contenter d'un tel support. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui veut dire que les petits trous en nombre illimité doivent être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent actuellement plus abstrait mais rigoureusement formalisé.

Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du XXe siècle une large branche des mathématiques nommée topologie.

La droite réelle

Si l'existence des nombres négatifs apparaît particulièrement tôt dans l'histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre 1770 pour qu'ils obtiennent grâce à Euler un vrai statut de nombre et perdent leur caractère d'artifice de calcul. Mais il faut attendre toujours un siècle pour voir la totalité des réels associé à la totalité des points d'une droite orientée, nommée droite réelle.

On considère une droite D contenant un point O qu'on appellera, par convention, origine. Soit un point I différent de O appartenant à D qu'on identifie au nombre 1. Par convention, on dira que la distance de O à I est égale à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même côté comparé à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative.

Cette relation que la formalisation actuelle nomme bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite.

Droite réelle
L'abscisse du point Q est égale à -\frac{OQ}{OI}=-3, OI et OQ désignant les distances de O à I et de O à Q respectivement

Après 2200 ans : la solution

Le développement de l'analyse au cours des XVIIIe et XIXe siècles a conduit les mathématiciens français et allemands à s'interroger sur la nature des nombres réels. Ces interrogations les ont conduit à dégager des propriétés principales (complétude, suites adjacentes, etc) sur lesquelles pouvaient se fonder les constructions envisageables de R, qui ont été formalisées autour de 1870 par Cantor, Méray et Dedekind.

La construction

Augustin Louis Cauchy
Richard Dedekind
Article détaillé : Construction des nombres réels.

Dans son cours d'Analyse à l'École Polytechnique, Augustin Cauchy propose la première définition rigoureuse d'une limite. Une séquence de nombres réels indexée par les entiers naturels (appelé suite) converge vers une limite (nécessairement unique) x quand la distance |x-xn| devient aussi petite que souhaitée pour n suffisamment grand. Il décrit un critère qui porte actuellement son nom, le critère de Cauchy : il faut et il suffit que les distances |xn-xm| soient aussi petites que souhaitées pour n et m suffisamment grands. Par l'énoncé de ce critère, Cauchy affirme la complétude du corps des nombres réels, propriété sur laquelle peut être fondée sa définition. Cette approche est formalisée par Méray[H 4] en 1869 puis par Cantor[H 5] en 1883 ou en 1872. Cette idée, en particulier adaptée à l'analyse, trouve des prolongements dans les méthodes de complétion.

Une seconde construction est publiée par Richard Dedekind[H 6] en 1872. Elle découle de l'étude de la relation d'ordre sur les fractions. Une coupure de Dedekind est un ensemble A de rationnels, tel que tout rationnel de A est inférieur à tout rationnel du complémentaire de A. Un réel est alors représenté par une coupure de Dedekind. A titre d'exemple, la racine carrée de 2 est représenté par la totalité des rationnels négatifs et des rationnels positifs de carrés inférieurs à 2. Il existe des variantes de la définition de coupure selon les auteurs.

Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments emboîtés. Un emboîtement est une suite décroissante d'intervalles fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre réel est alors défini comme une classe d'emboîtements modulo une relation d'équivalence. Selon Mainzer[3], «la vérification des propriétés de corps ordonnée est assez pénible», ce qui explique pourquoi cette approche apparaît moins avantageuse que les deux précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir.

En 1899, David Hilbert[H 7] donne la première définition axiomatique du corps des nombre réels. Les méthodes précédentes construisent toutes le «même» ensemble, celui des nombres réels.

La solution est plus riche que prévue

Carl Friedrich Gauss

Le XIXe siècle montre que cette nouvelle structure, la totalité des nombres réels, ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit ses promesses mais va au-delà.

Nature : mathématiques et philosophie

L'évolution des concepts de nombre réel et de continuité est tout aussi philosophique que mathématique. Que les nombres réels forment une entité continue veut dire qu'il n'y a pas de «saut» ou de «bande interdite». Intuitivement, c'est tout comme la vision humaine de l'espace ou de l'écoulement du temps. Certains philosophes conçoivent qu'il en est d'ailleurs précisément de même pour l'ensemble des phénomènes naturels. Ce concept est résumé par la devise du mathématicien et philosophe Leibniz : natura non facit saltus, «la nature ne fait pas de sauts».

De la Grèce antique au début des Temps modernes

Article détaillé : Mathématiques de la Grèce antique.

L'histoire de la continuité commence en Grèce antique. Au Ve siècle av. J. -C. , les atomistes ne croient pas uniquement que la nature est faite de «sauts», mais également qu'il existe des particules de base non divisibles, les atomes. Les synéchistes quant à eux clament que tout est connecté, continu [4]. Démocrite est un tenant d'une nature faite d'atomes intercalés de vide, alors que Eudoxe le contredit, faisant de ses travaux certains des plus anciens précurseurs de l'analyse. Ceux-ci évoluent plus tard en ce qu'on connaît sous le nom de géométrie euclidienne.

Encore au XVIIe siècle, des mathématiciens énonçaient qu'une fonction continue est en fait constituée de lignes droites illimitément petites, c'est-à-dire illimitétésimales. C'est ainsi que le concept d'illimitément petit, vu dans l'optique atomiste, peut promouvoir cette façon de concevoir la nature. La question d'illimité est par conséquent centrale à la compréhension de la continuité et des nombres réels.

Les paradoxes de Zénon illustrent la contre-intuitivité de la notion d'illimité. L'un des plus connus est celui de la flèche, dans lequel on imagine une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise et si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Les instants suivants, elle reste immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible. Pour résoudre ce paradoxe, il faut additionner ces illimitément petits un nombre illimité de fois, par la méthode de la limite, découverte au cours de l'évolution de l'analyse.

Histoire de l'analyse

Article détaillé : Histoire de l'analyse.

Le concept de continuité des nombres réels est central en analyse, dès le début de son histoire. Une question principale est de déterminer si une fonction donnée est en fait une fonction continue. Au XVIIIe siècle, on formulait cette question comme «est-ce qu'une variation illimitétésimale dans son domaine génère une variation illimitétésimale dans son image ?» Au XIXe siècle, cette formulation est abandonnée et remplacée par celle des limites.

Dès le XVIIIe siècle, les illimitétésimales tombent en disgrâce : elles sont dites d'utilité pratique, mais erronées, non nécessaires et contradictoires. Les limites les remplacent particulièrement ainsi qu'à partir du début du XXe siècle, les illimitétésimales ne sont plus le soubassement de l'analyse. En mathématiques elles demeurent en quelque sorte des non-concepts, jusqu'à ce qu'on les réintroduise à grands frais en géométrie différentielle, leur donnant le statut mathématique de champ tensoriel.

Dans les sciences appliquées, surtout en physique et en génie, on se sert toujours des illimitétésimales. Ceci cause bien entendu des problèmes de communication entre ces sciences et les mathématiques.

Définitions axiomatiques de R et premières propriétés

Si on souhaite être bref, on peut caractériser la totalité des nombres réels, qu'on note généralement \mathbb R, par la phrase de David Hilbert : \mathbb R est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. «Dernier» veut dire que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous-ensemble de \mathbb R. Ici «isomorphe» veut dire intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte précisément de la même manière, on peut par conséquent, sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

David Hilbert

Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au XXe siècle. Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent désormais par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension idéale de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes seulement à partir de ces définitions. C'est pourquoi de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. La définition axiomatique de \mathbb R ne montre néanmoins pas qu'un tel ensemble existe. Il apparaît alors indispensable de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels.

La définition axiomatique est principalement donnée en introduction. \mathbb R est l'unique corps archimédien complet, un tel corps est obligatoirement commutatif. Mais on trouve aussi d'autres définitions axiomatiques qui lui sont équivalentes. Ainsi :

\R est l'unique corps complètement ordonné qui satisfait l'axiome de la limite supérieure.
\R est l'unique corps complètement ordonné qui satisfait le lemme de Cousin.

L'unicité veut dire ici que, si K est un corps complètement ordonné possédant la propriété de la limite supérieure, il existe un unique isomorphisme strictement croissant de K dans \R.

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