Nombre normal

En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres équidistribués dans son développement décimal.



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  • Ce concept sera l'outil de base de la théorie de la mesure des parties d'un espace.... Borel démontre que tout nombre réel est normal à l'exception d'un... (source : serge.mehl.free)

En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres équidistribués dans son développement décimal.

Supposons B un ensemble fini de cardinal b>1 et x un nombre réel. Si s est une suite finie de chiffres en base B, nous écrivons N (s, n) pour le nombre d'apparitions de la suite s parmi les n premiers chiffres de x. Le nombre x est nommé normal en base B si

<img class=mathématicien français Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontra le théorème du nombre normal : presque l'ensemble des nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non-normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue). Ce théorème établit l'existence des nombres normaux, mais Waclaw Sierpinski fut le premier à donner un exemple de l'un d'eux.

La totalité des nombres non-normaux n'est pas dénombrable. En effet, il y a une quantité indénombrable de réels qui ne contiennent pas le chiffre 5 dans leur expansion décimale, et aucun de ceux-ci n'est normal.

Le nombre de Champernowne

0, 1234567891011121314151617...

qui contient dans son développement décimal la concaténation de l'ensemble des nombres naturels est normal en base 10, mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.

La constante de Copeland-Erdős

0, 2357111317192329313741...

obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. Waclaw Sierpinski a apporté la première construction explicite d'un nombre normal en 1917. Un nombre normal calculable fut construit par Verónica Becher et Santiago Figueira ; un exemple de nombre normal non-calculable est donné par la constante de Chaitin \Omega\,.

Il est extrêmement complexe de démontrer la normalité de nombres néenmoins simples. A titre d'exemple, on ne sait pas si √2, \pi\,, ln (2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences). Nous ne savons même pas quels chiffres apparaissent illimitément fréquemment dans le développement décimal de ces constantes. David H. Bailey et Richard E. Crandall ont conjecturé en 2001 que tout nombre algébrique irrationnel est normal ; quoiqu'aucun contre-exemple ne soit connu, on ne connait pas non plus de nombre algébrique qui soit normal dans une base.

Références

  • Bailey, D. H. and Crandall, R. E. «On the Random Character of Fundamental Constant Expansions.» Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
  • Becher, V. and Figueira, S. «An example of a computable absolutely normal number», Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
  • Borel, E. «Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.» Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
  • Champernowne, D. G. «The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten.» Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
  • Sierpinski, W. «Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres totalement normaux et détermination effective d'un tel nombre.» Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.

En informatique, un <i>nombre normal</i> est un nombre qui est dans un intervalle normal de format en virgule flottante.

Tout nombre normal est nombre univers.

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