Nombre de Liouville

En théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec <img class="tex" alt=" 1\, " src="http ://upload.



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Nombre transcendant - Propriété numérique - Approximation diophantienne

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  • Un exemple de nombre de Liouville est : c = \sum_{j=1}ˆ\infty 10ˆ{-. On peut obtenir aisément des nombres transcendants grâce au théorème de ... (source : encyclopedie-enligne)

En théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec <img class=.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché «de manière particulièrement fine» par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que l'ensemble des nombres vérifiant l'inégalité ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Irrationalité des nombres de Liouville

Remarquons en premier lieu que si x est un nombre de Liouville, pour tout nombre entier positif n, il existe alors un nombre illimité de paires d'entiers (p, q) obéissant à l'inégalité ci-dessus : il suffit en effet de prendre des couples (p, q) associés à des entiers m égaux à kn, ils fournissent k couples (pqˆ{i-1}, qˆi)_{i\in \{1,\cdots, k\}} associés à n car

0 < |x - \frac{pqˆ{i-1}}{qˆi}|= |x - \frac{p}{q}|< \frac{1}{qˆm}\, \leq \frac{1}{(qˆi)ˆn}\,.


Il est assez facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, alors x est un nombre irrationnel. Supposons le contraire ; alors il existe des entiers c, d avec x = \frac{c}{d}\,. Soit n un entier positif tel que <img class=.

La première partie de l'inégalité prouve que \frac{p}{q} \ne \frac{c}{d}\,, donc

<img class=

Constante de Liouville

La constante de Liouville est le réel défini par


c = \sum_{j=1}ˆ\infty 10ˆ{-j!} = 0,110001000000000000000001000....


La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons p_n\, et q_n\, comme suit :

p_n = \sum_{j=1}ˆn 10ˆ{(n! - j!)}; \quad q_n = 10ˆ{n!}

alors, pour l'ensemble des entiers positifs n, nous avons

|c - p_n/q_n| = \sum_{j=n+1}ˆ\infty 10ˆ{-j!} = 10ˆ{-(n+1)!} + 10ˆ{-(n+2)!} + \cdots < 10ˆ{-(n!n)} = 1/{q_n}ˆn

La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pense Liouville pour construire des nombres de Liouville et par conséquent transcendants. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode préconisée par le mathématicien.

Mesure irrationnelle d'un réel

La mesure irrationnelle d'un nombre réel x mesure la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la limite supérieure de la totalité de nombres réels \mu\, tels que la propriété

0 < |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{qˆ{\mu}}\,

soit satisfaite par un nombre illimité de paires d'entiers (p, q) avec q > 0. Pour toute valeur \mu\, inférieure à cette limite supérieure, la totalité de l'ensemble des rationnels \frac{p}{q}\, satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation fine de x; réciproquement, si \mu\, est plus grand que la limite supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent finement vers x.

Les nombres de Liouville sont exactement les nombres ayant une mesure irrationnelle illimitée.

Transcendance des nombres de Liouville

En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas uniquement irrationnels, mais sont toujours transcendants (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour apporter le premier exemple explicite de nombre transcendant : la constante de Liouville définie plus haut.

En revanche, quoique chaque nombre de Liouville soit transcendant, tout nombre transcendant n'est pas un nombre de Liouville. Il a été démontré que \pi\, est transcendant, mais pas un nombre de Liouville.

La démonstration procède en établissant premièrement la propriété des nombres algébriques irrationnels. Cette propriété dit principalement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, par conséquent il ne peut pas être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu généralement comme le théorème de Liouville (sur l'approximation diophantienne) , il existe plusieurs résultats connus comme le théorème de Liouville.

Lemme : Si \alpha\, est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 0 à cœfficients entiers, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour l'ensemble des entiers p, q, avec q > 0,

<img class=Démonstration du lemme

Soit M, la valeur maximale de |f'(x)|\, sur l'intervalle [\alpha-1, \alpha+1]\,. Soit \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\, les racines différentes de f qui changent de \alpha\,. Prenons une certaine valeur <img class=

Maintenant, supposons qu'il existe certains entiers p, q contredisant le lemme. Alors

|\alpha - \frac{p}{q}| \le \frac{A}{qˆn} \le A < \min(1, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|)\,

Alors \frac{p}{q}\, est dans l'intervalle [\alpha - 1, \alpha + 1]\, ; et \frac{p}{q}\, n'est pas dans \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\}\,, et comme \alpha\, est irrationnel, \frac{p}{q}\ne \alpha\,donc \frac{p}{q}\, n'est pas une racine de f.

Par le théorème des accroissements finis, il existe un x_0\, entre \frac{p}{q}\, et \alpha\, tel que

f(\alpha) - f(\frac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) f'(x_0),

Puisque \alpha\, est une racine de f mais \frac{p}{q}\, ne l'est pas, nous voyons que <img class=

Maintenant, f est de la forme \sum_{i=1}ˆn c_i xˆi\, où chaque c_i\, est un entier ; par conséquent nous pouvons exprimer |f(\frac{p}{q})|\, comme

|f(\frac{p}{q})| = |\sum_{i=1}ˆn c_i pˆi qˆ{-i}| = \frac{|\sum_{i=1}ˆn c_i pˆi qˆ{n-i}|}{qˆn} \ge \frac{1}{qˆn}\,

la dernière inégalité reste valable parce que \frac{p}{q}\, n'est pas une racine de f.

Ainsi, nous avons |f(\frac{p}{q})| \ge \frac{1}{qˆn}\,. Puisque |f'(x_0)| \le M\, par la définition de M, et <img class=Démonstration de l'assertion

Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour l'ensemble des p, q

<img class=. Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des entiers a, b > 1 tel que

|x - \frac{a}{b}| < \frac{1}{bˆm} = \frac{1}{bˆ{r+n}} = \frac{1}{(bˆr bˆn)} \le \frac{1}{(2ˆr bˆn)} \le \frac{A}{bˆn}
\,

ce qui contredit le lemme ; donc x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.

Théorème d'Erdös

Paul Erdös a démontré [1] en 1962 que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.

Annexes

Notes et références

  1. Une démonstration de ce théorème est accessible dans le projet Euclide ici

Voir aussi

Lien externe

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