Nombre abondant

En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel n qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, c'est à dire, tel que <img class="tex" alt=" 2n \, " src="http ://upload.



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  • Le nombre abondant est opposé au nombre défectif qui est plus grand que la... 2, 7, & au nombre parfait qui est égal à la somme de ses parties aliquotes, ... (source : fr.wikisource)

En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel n qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, c'est à dire, tel que <img class= est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n.

Les nombres abondants ont été introduits vers 130 de notre ère par Nicomaque de Gérase dans son Introduction à l'arithmétique.

Leurs premières valeurs sont : 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (voir suite A005101 de l'ŒIS).

La valeur \sigma(n)-2n \, est nommée abondance de n. Les nombres dont l'abondance est nulle sont les nombres parfaits, et les nombres dont l'abondance est strictement négative les nombres déficients.

Un nombre abondant dont l'abondance est égale à 1 est nommé quasi-parfait, mais on ne sait pas à l'heure actuelle s'il en existe. Par contre, on remarquera que 20 a une abondance égale à 2.

Tout multiple strict d'un nombre parfait ou abondant est abondant. Il existe par conséquent une illimitété de nombres abondants, à commencer par les multiples stricts de 6.

Nombres abondants primitifs

Un nombre abondant est dit primitif s'il n'est pas multiple strict d'un nombre abondant ; tandis qu'on ne sait pas à l'heure actuelle s'il existe une illimitété de nombres parfaits, on sait trouver une illimitété de nombres abondants primitifs, comme par exemple les nombres de la forme 2npp est un nombre premier impair qui n'est pas un nombre de Mersenne et 2n la plus grande puissance de 2 inférieure à p (quand p est un nombre de Mersenne, 2np est parfait).

Le premier nombre abondant impair (et primitif) est 945 = 33. 5.7 ; tandis qu'on n'a jamais trouvé de nombre parfait impair (mais qu'on n'a jamais démontré qu'il n'y en a pas), on sait qu'il existe une illimitété de nombres abondants primitifs impairs (voir suite A006038 de l'ŒIS qui possède comme sous-suite illimitée suite A007741 de l'ŒIS privée de son premier terme).

Anecdote au sujet du plus petit abondant impair : suite à une coquille, il a été écrit dans un ouvrage d'Edouard Lucas au XIXe siècle que le plus petit abondant impair était 10665 = 33. 5.79 (le 7 a été malencontreusement remplacé par 79). Cette erreur a été recopiée dans de nombreux livres, surtout dans le très sérieux dictionnaire des mathématiques (PUF) où elle n'a été corrigée que dans l'édition de 2005.

Les premiers nombres abondants primitifs impairs (945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, etc) sont tous multiples de 3 et 5, mais ce n'est pas une propriété générale ; le plus petit abondant impair non multiple de 3 est 52. 7.11.13.17.19.23.29 = 5391411025 et il existe toujours une illimitété de nombres abondants primitifs non divisibles par toute famille finie de nombres premiers (voir suite A047802 de l'ŒIS).

D'ailleurs, Dickson a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres abondants primitifs ayant un nombre fini de diviseurs premiers donnés.

Voir aussi


Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation : Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs : Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs :
Autres :

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