Nombre

La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article «Nombre grammatical».



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Numération - Nombre

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Définitions :

  • nombres - la somme des diviseurs de l'un est égal à l'autre; ex 220 et 284 sont deux nombres amiables; Suite en Nombres amiables (source : villemin.gerard.free)

La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article «Nombre grammatical».


Un nombre est un concept permettant d'évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais également d'ordonner des éléments par une numérotation. Fréquemment écrits avec un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d'opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l'objet d'étude de l'arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

En l'absence d'une définition générale satisfaisante de cette notion[1], les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, ou alors pour appréhender l'illimité.

En physique, les grandeurs sans dimension sont fréquemment nommées «nombres», tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

Article détaillé : Grandeur sans dimension.

En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.

Conception

Principe

Le concept de nombre trouve son origine dans l'idée d'appariement, c'est-à-dire de la mise en correspondance d'ensembles (par exemple des êtres humains d'une part et des chevaux d'autre part). Si on tente de répartir l'ensemble des éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu'il reste des éléments d'un ensemble en trop, ou qu'il en manque, ou encore qu'il y en ait juste assez. L'expérience montre tandis que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d'où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n'est pas encore un nombre mais est quelquefois désignée comme un «nombre-de»[2]. Le nombre comme tel ne possède pas d'unité de mesure. Il est selon Euclide[3] «un assemblage composé d'unités», où «l'unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une.»

Parallèlement à la notion de quantité, lié à l'aspect «cardinal», le notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre «ordinal» : le premier nombre[4] est suivi d'un deuxième, lui-même suivi d'un autre et ainsi de suite «jusqu'à l'infini».

Extension progressive

Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. A titre d'exemple, on ne peut compter sur ses doigts au-delà de dix[5]. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication surtout) va permettre aux mathématiques de favoriser la description des nombres bien plus grands avec divers systèmes de numération. La civilisation babylonienne découvre surtout la notation positionnelle dès le IIIe millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de «quantièmes», c'est-à-dire d'inverses d'entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l'interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Cependant, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d'or ou la diagonale du carré ne seront vraiment reconnues comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre «0» est employé dans certains dispositifs de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques[6], le nombre zéro n'apparait comme tel qu'au VIIe siècle dans les mathématiques indiennes. Il est repris par la civilisation de l'Islam et importé en Europe au Xe siècle. Sous le qualificatif d'«absurdes», les nombres négatifs sont déjà étudiés au XVIe siècle mais leurs propriétés arithmétiques font toujours polémique au début du XIXe siècle.

Les nombres algébriques (réels positifs) sont étudiés avec le développement de l'algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XIIe siècle. Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVIe siècle des nombres «imaginaires», première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu'au XVIIIe siècle. Leur construction géométrique sera d'ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d'autres nombres hypercomplexes au cours du siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIXe siècle pour que soit reconnue l'existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XXe siècle pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIXe siècle, quand Georg Cantor définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde moitié du XXe siècle, l'analyse non standard fait usage de nombres hyperréels puis superréels, alors que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

Article détaillé : Histoire des mathématiques.

Pédagogie

Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l'enfant en bas âge.

Article détaillé : Construction du nombre chez l'enfant.

Dans l'éducation, l'apprentissage du nombre commence avec l'acquisition de la «chaine numérique»[7], surtout avec comptines[8] : «un, deux, trois…» Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l'enfant d'énumérer des objets qu'il manipule pour les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l'énumération), mais également pour repérer une position dans une série ordonnée.

Au cours de la scolarité, l'enfant est amené à considérer divers types de nombres rangés dans une suite croissante d'ensembles :

Numération

Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
mongole
thaï
Numérations à l'origine chinoise
chinoise
japonaise
à bâtons
suzhou
Numérations alphabétiques
hébraïque
grecque
tchouvache
Autres dispositifs :
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
Article détaillé : Numération.

Origine

L'idée de quantité et sa codification visuelle sont probablement antérieures à la naissance de l'écriture[10]. Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d'un troupeau et contrôler son évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltes[11].

Au IVe millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d'argile contenant des jetons, puis des tablettes d'argile pourvues de marques. Un dispositif de notation (dit «système S») est utilisé pour la désignation des quantités discrètes, alors que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un dispositif de notation propre[12]. Il faut attendre la fusion de ces dispositifs, à la fin du IIIe millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètes[13].

Du signe au chiffre

Article détaillé : Système de numération.

Dans les dispositifs de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités précises et sont superposés pour désigner l'ensemble des nombres utiles[14].

Les dispositifs alphabétiques associent la liste des lettres de l'alphabet (employant en renfort des lettres inusitées, désuètes ou découvertes[15]) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999 en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum désignant les milliers est positionné à gauche, scindé par une apostrophe.

Ce dispositif est proche de l'écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plus[16]) qu'un seul chiffre.

Arithmétique

Article détaillé : Arithmétique.

Opérations

Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l'opération d'addition et la répétition d'une certaine quantité donne lieu à la multiplication. Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques : la soustraction et la division, qui permettent de retrouver l'un des opérandes à partir du résultat et de l'autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n'aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l'utilisation des nombres négatifs, un nombre ne peut être soustrait qu'à un nombre plus grand[17]. De même, la notion de divisibilité décrit la réalisabilité d'une division. Le processus de division euclidienne a cependant l'avantage d'apporter un résultat même sans l'hypothèse de divisibilité. Cette dernière s'exprime alors par l'absence de reste.

À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique, sa répétition définit les puissances d'un nombre, dont les opérations réciproques sont nommées racines. D'autres opérations telles que la factorielle sont développées dans le cadre de la combinatoire.

Article détaillé : Opération (mathématiques) .

Multiple et diviseur

Dans ce paragraphe, tout nombre est sous-entendu entier et strictement positif.

Étant donné un nombre, la totalité de ses multiples est illimité mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. A titre d'exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi l'ensemble des entiers.

Au contraire, la totalité des diviseurs d'un nombre est toujours fini et sa répartition n'a absolument pas le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est généralement complexe de lister ces autres diviseurs à partir d'une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un dispositif de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (en particulier pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c'est principalement la division euclidienne qui sert à répondre à cette question.

Article détaillé : Divisibilité.

Nombre premier

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet par conséquent au moins deux diviseurs différents. Ceux qui en admettent précisément deux sont nommés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir diminuer d'autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une illimitété et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de la totalité des diviseurs.

Vers la théorie des nombres

Les opérations définies sur les entiers s'étendent à d'autres objets mathématiques qui ne prendront que progressivement le statut de nombre. Les nombres avec une partie fractionnaire, les fractions, puis zéro et les nombres négatifs, les nombres algébriques et certains nombres en premier lieu qualifiés d'«imaginaires» sont l'objet d'étude d'une arithmétique qui se développe jusqu'à prendre le nom de théorie des nombres.

Géométrie

Nombre figuré

La tetraktys pythagoricienne

L'évaluation d'une quantité d'objets se fait plus ou moins rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. A titre d'exemple, seize jetons se comptent énormément plus aisément s'ils sont disposés en carré que s'ils sont jetés en désordre sur une table. De même, la tetraktys des pythagoriciens est le rangement de dix points en triangle. D'autres formes sont étudiées sous cet angle dans le plan (hexagones par exemple) ou dans l'espace par des empilements de figures.

Cette vision des nombres comme des configurations géométriques permet entre autres d'interpréter le produit de deux nombres comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux nombres, d'où l'indispensable commutativité de la multiplication, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel on effectue la multiplication n'a pas d'influence sur le résultat. D'autres propriétés arithmétiques peuvent s'énoncer géométriquement. Ainsi, un nombre est pair s'il est représentable par un rectangle sur deux lignes ; il est premier si l'unique manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs points.

Article détaillé : Nombre figuré.

Rapport de grandeur

Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme pi, rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, ou le nombre d'or, né du problème de la division «en extrême et moyenne raison».


Notes et références

  1. Le Petit Robert de la langue française et le Trésor de la Langue Française Informatisé rapportent que «le nombre est une des notions principales de l'entendement […] qu'on ne peut définir.» Le Petit Larousse illustré soutient que le nombre «ne peut faire l'objet d'une définition stricte».
  2. Expression utilisée par Stella Baruk dans son Dictionnaire de mathématiques élémentaires.
  3. Éléments, livre VII.
  4. Le premier entier dit «naturel» est le nombre 1 avant la reconnaissance du zéro mais toujours après dans le langage familier et toujours actuellement dans les mathématiques anglo-saxonnes.
  5. Mais on peut calculer avec ses doigts en manipulant des nombres énormément plus grands.
  6. On le trouve surtout dans la numération grecque à partir du IIe siècle avant notre ère et la numération maya au cours du Ier millénaire.
  7. Il s'agit de la suite des premiers nombres entiers, commençant le plus souvent à 1, voir à ce sujet les nouveaux programmes de l'école primaire en France p.  7.
  8. Le mot «comptine» dérive lui-même tardivement du verbe «compter» selon le dictionnaire historique de la langue française.
  9. En notation anglo-saxonne, la virgule est remplacée par un [[point (typographie) |]].
  10. L'os d'Ishango est ainsi interprété comme un artefact antérieur à la naissance de l'écriture et représentant des valeurs numériques.
  11. Georges Ifrah, introduction à l'Histoire universelle des chiffres.
  12. Catherine Goldstein, «L'apparition du nombre en Mésopotamie», Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007.
  13. Christian Houzel, «Qu'est-ce qu'un nombre ?», Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007.
  14. Le système de numération de l'Égypte antique s'arrête ainsi au symbole du million, assimilé à l'illimité.
  15. Voir par exemple la numération grecque.
  16. Le zéro de position est découvert en premier lieu pour indiquer l'absence de chiffre sur une position.
  17. Même en admettant l'usage des nombres négatifs, pour soustraire un nombre positif à un nombre positif plus petit, on effectue la soustraction contraire et on change le signe du résultat.

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

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