Multiplication

La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division.



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  • Le signe de la multiplication est X ou un simple point.... Le produit est 1458. Règle : Pour multiplier un nombre quelconque par un nombre d'un chiffre, ... (source : cosmovisions)
La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4

La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division.

La multiplication de deux entiers peut être vue comme une addition répétée plusieurs fois. A titre d'exemple, 3 fois 4 peut se voir comme la somme de trois nombres 4 :

3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12

La multiplication peut permettre de compter des éléments rangés dans un rectangle ou de calculer l'aire d'un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Il permet aussi de déterminer un prix d'achat connaissant le prix unitaire et la quantité acquise.

La multiplication se généralise à d'autres ensembles que les nombres classiques (entiers, relatifs, réels), A titre d'exemple, on peut multiplier des complexes entre eux, des fonctions, des matrices et même des vecteurs par des nombres.

Multiplication dans les ensembles de nombres

Multiplication dans les entiers

Multiplier un entier par un autre c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4 c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, le résultat se dit 4 fois 6 et s'écrit 4 × 6. On l'appelle le produit de 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est nommé le multiplicande car c'est lui qui est répété et 4 est nommé le multiplicateur car il indique combien de fois 6 doit être répété.

Cependant, le fait que 4 × 6 soit aussi égal à 6 × 4, rend cette distinction peu indispensable, les deux nombres sont alors nommés les deux termes ou facteurs du produit.

Il n'est pas efficace, à long terme, de voir la multiplication comme une addition répétée. Il est par conséquent indispensable d'apprendre le résultat de la multiplication de l'ensemble des entiers de 1 à 9. C'est l'objet de la table de multiplication

La multiplication dans les entiers vérifie les propriétés suivantes :

Les parenthèses indiquent l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. En pratique, pour éviter de traîner trop de parenthèses, on utilise, par convention, la règle de priorité suivante : les multiplications s'effectuent toujours avant les additions. Ainsi, dans l'écriture 4 + 5 × 2, il faut lire 4 + (5 × 2), c'est-à-dire 4+10 = 14 et non (4 + 5) × 2 qui aurait valu 18.

4 + 5 \times 2 = 4 + (5 \times 2) = 4 + 10 = 14
 (4 + 5) \times 2 = 9 \times 2 = 18 \ne 4 + 5 \times 2

Cette règle se nomme une priorité opératoire.

La dernière propriété a trait aux comparaisons. Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et qu'on les multiplie par le même nombre strictement positif, les résultats seront rangés dans le même ordre. si a < b alors a c < b × c. On dit que la multiplication par des entiers positifs est compatible avec l'ordre.

Le symbole utilisé pour la multiplication est la croix × (a × b) mais on trouve aussi, dans des calculs avec des lettres le point \cdots (a \cdot b) ou même rien (ab) s'il n'y a pas d'ambiguïté envisageable.

Il existe deux opérations légèrement spécifiques :

Multiplication dans les décimaux

Article détaillé : Nombre décimal.

Pour multiplier entre eux des nombres décimaux, on utilise le fait que les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre. Si on cherche à multiplier, par exemple, 43, 12 par 1, 215, on effectue les remarques suivantes

 43,1 \times 1,215 = \left(431\times \frac 1{10}\right) \times  \left(1215\times \frac 1{1000}\right)
 43,1 \times 1,215 = (431 \times 1215) \times \left(\frac1{10}\times \frac1{1000}\right)
 43,1 \times 1,215 = (431 \times 1215) \times \frac1{10000}

De là nait la règle : pour multiplier entre eux deux décimaux, on compte le nombre de chiffres localisés après la virgule dans les deux nombres et on en fait la somme. On effectue ensuite le produit, sans tenir compte de la virgule. Enfin, on place la virgule dans le résultat final en laissant à droite tout autant de chiffres que la somme qu'on a obtenue auparavant.

3, 15 × 1, 2= ? (On compte 3 chiffres après la virgule, 2 dans le premier nombre et 1 dans le second nombre)
315 × 12 = 630 × 6 = 3780
3, 15 × 1, 2= 3, 780 = 3, 78

Multiplication avec des nombres négatifs

Article détaillé : Entier relatif.
Illustration de la multiplication dans les nombres négatifs. Dans la zone bleue, le produit est positif, dans la zone rouge le produit est négatif

On peut voir le produit 4 fois (-6) comme la somme de (-6) répété 4 fois soit (-6) + (-6) + (-6) + (-6) = -24

On peut aussi voir le produit (-4) fois (6) comme un nombre 6 qu'on ôte 4 fois. Ainsi, faire le produit de (-4) fois 6 c'est ôter 24, qu'on écrit (-4) × 6 = -24

Enfin, on peut voir le produit (-4) fois (-6) comme le nombre (-6) qu'on enlève 4 fois, il s'agit par conséquent d'enlever -24. Enlever - 24 consiste à ajouter 24 par conséquent (-4) × (-6) = 24

Ces exemples expliquent la règle concernant les nombres signés. Pour effectuer le produit de deux nombres signés, on effectue le produit de leurs valeurs absolues et on affecte au résultat le signe - si les signes des deux termes sont différentes et le signe + si les deux termes ont même signe.

Ces règles se résument ainsi

moins par moins égale plus
moins par plus égale moins
plus par moins égale moins
plus par plus égale plus

La multiplication dans les entiers relatifs possède les mêmes propriétés que la multiplication dans les entiers naturels (elle est commutative, associative, distributive pour l'addition) à une exception près : elle ne conserve pas forcément l'ordre : si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et si on les multiplie par un entier strictement positif, l'ordre est conservé

-2 < 3 et (-2) × 4 < 3 × 4

mais si on le multiplie par un nombre négatif, l'ordre est inversé

(-2) < 3 et (-2) × (-4) > 3 × (-4)

Multiplication dans les fractions

Article détaillé : Fraction.

Multiplier entre elles deux fractions, c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs :

\frac ab \times \frac cd = \frac{a \times c}{b \times d}

Dans la totalité \Q des fractions rationnelles, la multiplication conserve les propriétés déjà énoncées avec la même difficulté concernant l'ordre et la multiplication par un nombre négatif.


Multiplication dans les réels

C'est une généralisation de la multiplication précédente. Elle conserve les mêmes propriétés.

Inverse

L'inverse d'un nombre pour la multiplication est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.

A titre d'exemple,

L'inverse du nombre a est noté ou encore a-1.

Ainsi

Selon les ensembles de nombres, on ne trouve pas forcément un inverse dans la totalité.

La quatrième opération des mathématiques élémentaires, la division peut alors être vue comme une multiplication par l'inverse

Multiple

On dit qu'un nombre a est multiple d'un nombre b s'il est le résultat de la multiplication de b par un entier (naturel ou relatif)

a est multiple de b si et uniquement si il existe un entier relatif k tel que a = k ×b

Quand a et b sont des entiers, on dit aussi que a est divisible par b.

Notion de corps

Dans la totalité des rationnels, et dans la totalité des réels on retrouve les propriétés suivantes pour la multiplication :

Associativité Pour tous a, b, c, a × (b × c) = (a × b) ×c
Commutativité Pour tous a et b, a × b = b × a
Elément neutre Pour tout a, a × 1 = 1 × a = a
Inverse Pour tout a non nul, il existe a-1 tel que a × a-1 =1
Distributivité Pour tous a, b, et c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Elément absorbant pour tout a, a × 0 = 0 × a = 0
Ordre Pour tout a > 0 et tous b et c, si b < c alors ab < ac

Ces propriétés associées à celles que possède l'addition sur ces ensembles font de \R et \Q, pourvus de l'addition et de la multiplication, des ensembles spéciaux nommés des corps ordonnés

Techniques de multiplication

Article détaillé : Algorithme de multiplication.
Bâtons de Napier

Excepté la multiplication égyptienne et sa variante russe qui utilisent un principe binaire, les techniques de multiplication qui se sont développées au cours des siècles, utilisent le dispositif décimal et nécessitent pour la majorité de connaitre la table de multiplication des nombres de 1 à 9 mais aussi le principe de distributivité. Ainsi pour multiplier 43 par 25, on écrit que 43 × 25 = 43 × (2 dizaines + 5 unités). Par la suite, on distribue les différents termes

43 × 25 = 43 × 2 dizaines + 43 × 5 unités.
43 × 25 = (4 × 2 centaines + 3 × 2 dizaines) + (4 × 5 dizaines + 3 × 5 unités) = 8 centaines + 6 dizaines + 20 dizaines + 15 unités = 1075

Les différentes méthodes consistent à présenter ce calcul de manière pratique. On trouve ainsi la méthode chinoise qui débute par les poids forts, c'est-à-dire la multiplication des chiffres les plus à gauche. Celle méthode est celle utilisée dans la multiplication avec boulier. Mais d'autres méthodes sont envisageables comme celle fréquemment utilisée dans les écoles françaises consistant à poser la multiplication en multipliant 43 en premier lieu par 5 puis par 2 dizaines et faire la somme.

4 3
× 2 5
2 1 5
8 6
1 0 7 5

D'autres techniques utilisant ce même principe ont été développées comme la multiplication par glissement utilisée au IXe siècle par Al-Khawarizmi ou la multiplication par jalousies utilisée au Moyen Âge en Europe. Cette dernière a donné lieu à la fabrication de bâtons automatisant le calcul : les bâtons de Napier.

8 × 7 = 56 car il y a 5 doigts dressés (5 dizaines) et 2 et 3 doigts pliés (2 × 3 unités)

Ces techniques nécessitent pour la majorité la connaissance des tables de multiplication. Elle furent utilisées particulièrement tôt. On en trouve trace par exemple à Nippur en Mésopotamie 2000 ans avant J-C sur des tablettes réservées à l'entraînement des apprentis scribes[1].

La mémorisation des tables pour des nombres compris entre 6 et 9 se révèle quelquefois complexe. Georges Ifrah signale un moyen simple de multiplier avec les doigts des nombres compris entre 6 et 9[2]. Sur chaque main, on dresse tout autant de doigts que d'unités dépassant 5 pour chacun des nombres concernés. Ainsi pour multiplier 8 par 7 on dresse 3 doigts de la main gauche et deux doigts de la main droite. La somme des doigts dressés donne le nombre de dizaines et le produit des doigts repliés donne le nombre d'unités à ajouter. Ainsi, dans l'exemple, il y a 5 doigts dressés par conséquent 5 dizaines. Il y a 2 doigts pliés dans une main et 3 doigts pliés dans l'autre ce qui donne 2 × 3 = 6 unités soit 7 × 8 = 56.

L'explication mathématique fait appel encore une fois à la distributivité : si on nomme x et y le nombre de doigts repliés, les nombres de doigts dressés sont d'a = 5 - x et b = 5 - y et on effectue la multiplication de 10 - x par 10 - y

(10 - x) (10 - y) = 10 (10 - x) - (10 - x) y = 10 (10 - x) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10 (a + b) + xy.

Une technique analogue existe pour multiplier entre eux des nombres compris entre 11 et 15. On ne se sert tandis que des doigts dressés. Le nombre de doigts dressés donne le nombre de dizaines à ajouter à 100, et le produit des doigts dressés donne le nombre d'unités à ajouter.

Notation

Article détaillé : ×.

Dans les tablettes babyloniennes, il existe un idéogramme pour représenter la multiplication A - DU[3].

Dans les éléments d'Euclide, la multiplication est vue comme le calcul d'une aire. Ainsi, pour représenter le produit de deux nombres, on parle d'un rectangle ABCD, dans lequel les côtés AB et AD représentent les deux nombres. Le produit des deux nombres est alors nommé le rectangle BD (sous-entendu l'aire du rectangle de côtés AB et AD).

Diophante, lui, n'utilise pas de symbole spécial pour la multiplication, plaçant les nombres côte à côte. On retrouve cette même absence de signe dans les mathématiques indiennes, les nombres sont fréquemment positionnés côte à côte, quelquefois scindés par un point ou quelquefois suivis de l'abréviation bha (pour bhavita, le produit) [3].

En Europe, avant que le langage symbolique ne soit définitivement admis, les opérations s'exprimaient en phrases écrites en latin. Ainsi 3 fois 5 s'écrivait-il 3 in 5.

Au XVIe siècle, on voit naitre le symbole M utilisé par Stifel et Stevin. La croix de St André × est utilisée pour désigner une multiplication par Oughtred en 1631 (Clavis mathematicæ). Mais on trouve à cette époque d'autres notations, par exemple une virgule précédée d'un rectangle chez Hérigone " 5 × 3" s'écrivant "? 5, 3 :". Johann Rahn lui utilise le symbole * en 1659. Le point est utilisé par Leibniz qui trouve la croix trop proche de la lettre x[3]. À la fin du XVIIe siècle, il n'existe toujours pas de signe établi pour la multiplication, Dans une lettre à Hermann, Leibniz précise que la multiplication n'a pas besoin de s'exprimer uniquement par des croix mais qu'on peut utiliser aussi des virgules, des points ou des espaces[4].

Ce n'est qu'au cours du XVIIIe siècle que se généralise l'usage du point pour la multiplication dans le langage symbolique[3].

Multiplications de plusieurs termes entre eux

Puisque la multiplication est associative, il est inutile de définir une priorité sur les multiplications à effectuer. Il reste cependant à définir comment écrire le produit d'un nombre indéterminé de termes.

 \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,

veut dire qu'on a multiplié n fois le terme "a" par lui-même. le résultat est noté an et se lit "a à la puissance n"

 1 \times 2 \times \cdots \times n

veut dire qu'on a fait le produit de l'ensemble des entiers de 1 à n, le résultat est noté n! et se lit "factorielle n"

Si (xi) est une suite de nombres,  x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n veut dire qu'on a fait le produit de ces n facteurs entre eux. Ce produit est aussi noté

\prod_{k=1}ˆ{n}x_k

Si l'expression a un sens, la limite du produit précédent lorsque n tend vers l'infini est nommé produit illimité et se note

\prod_{k=1}ˆ{+ \infty}x_k

Notes et références

  1. Tablettes NI 2733 ou HS 0217a dans Le calcul sexagésimal en Mésopotamie de Christine Proust sur culture math ou Mesopotamian mathematics, 2100-1600 BC d'Eleanor Robson p 175
  2. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, La première machine à calculer : main - éléments de calcul digital
  3. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions], Volume 1, paragraphes 219 - 234
  4. Michel Serfati, La révolution symbolique, p 108

Voir aussi


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