Moyenne harmonique

La moyenne harmonique H de nombres réels positifs a 1,..., a n est définie comme étant



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Moyenne - Mathématiques élémentaires

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  • , La moyenne harmonique est toujours inférieure à la moyenne géométrique... la résistance électrique équivalente de résistances mise en parallèles :... (source : enrdd)

La moyenne harmonique H de nombres réels positifs a1, ..., an est définie comme étant

H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}.

C'est par conséquent l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des termes.

Exemples

Occasionnellemen, la moyenne harmonique donne la véritable notion de "moyenne". A titre d'exemple, si pour la moitié de la distance d'un trajet vous voyagez à 40 kilomètres par heure, et que pour l'autre moitié vous voyagez à 60 kilomètres par heure, votre vitesse moyenne est alors donnée par la moyenne harmonique de 40 et 60, ce qui donne 48. Votre temps de voyage total est par conséquent le même que si vous aviez voyagé à 48 kilomètres par heure sur la totalité de la distance (attention cependant, si vous aviez voyagé la moitié du temps à une vitesse, et l'autre moitié du temps à une autre vitesse, la moyenne arithmétique, dans ce cas 50 kilomètres par heure, vous aurait donné la bonne moyenne).

De même, si un circuit électrique a deux résistances reliées en parallèle, la première faisant 40 Ω et l'autre 60 Ω, la résistance moyenne des deux est 48 Ω ; la résistance totale du circuit est la même que si les deux résistances en parallèle étaient remplacées par des résistances de 48 Ω (attention, cette résistance moyenne n'est pas la résistance équivalente, qui est elle de 24 Ω, et qui correspond à remplacer les deux résistances en parallèle par une seule résistance de 24 Ω).

Moyenne harmonique de deux nombres

A : moyenne arithmétique des scalaires a et b, G moyenne géométrique, H harmonique, Q quadratique.
Article détaillé : moyenne harmonique pondérée.

Si on s'intéresse seulement à deux nombres, il existe une formule équivalente quelquefois plus pratique pour calculer la moyenne harmonique :

H = \frac {{2} {a_1} {a_2}} {{a_1} + {a_2}}.

Dans ce cas, leur moyenne harmonique est reliée à leur moyenne arithmétique,

A = \frac {{a_1} + {a_2}} {2},

et leur moyenne géométrique,

G = \sqrt {{a_1} \cdot {a_2}},

par la formule suivante :

H = \frac {Gˆ2} {A}.

d'où

G = \sqrt {{A} {H}}, i. e. la moyenne géométrique est la moyenne géométrique de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique.

Ce résultat n'est valable qu'avec deux nombres.

Applications

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