Moyenne glissante

La moyenne glissante, ou moyenne mobile, est un type de moyenne statistique utilisée pour analyser des séries ordonnées de données, le plus fréquemment des séries temporelles, en supprimant les fluctuations transitoires de manière à en souligner...



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La moyenne glissante, ou moyenne mobile, est un type de moyenne statistique utilisée pour analyser des séries ordonnées de données, le plus fréquemment des séries temporelles, en supprimant les fluctuations transitoires de manière à en souligner les tendances à plus long terme. Cette moyenne est dite mobile parce qu'elle est recalculée de façon continue, en utilisant à chaque calcul un sous-ensemble d'éléments dans lequel un nouvel élément remplace le plus ancien ou s'ajoute au sous-ensemble.

Ce type de moyenne est utilisé le plus souvent comme méthode de lissage de valeurs, surtout dans le domaine financier pour l'analyse technique de cours boursiers.

Mathématiquement, toute moyenne mobile est un exemple de convolution. Un traitement identique de lissage est effectué par un filtre passe-bas sur un signal électronique.

Moyenne mobile simple

C'est une moyenne qui au lieu d'être calculée sur la totalité des n valeurs d'un échantillonnage, est calculée tour à tour sur chaque sous-ensemble de N valeurs consécutives (N < = n) ; le sous-ensemble utilisé pour calculer chaque moyenne «glisse» sur la totalité des données.

A titre d'exemple, le tableau suivant montre les moyennes mobiles simples sur 3 valeurs, pour une série de 9 mesures.

Mesures 2 3 5 8 8 7 8 5 2
Moyennes glissantes néant (2 + 3 + 5) /3
3, 3333
(3 + 5 + 8) /3
5, 3333
(5 + 8 + 8) /3
7
(8 + 8 + 7) /3
7, 6666
(8 +7 + 8) /3
7, 6666
(7 + 8 + 5) /3
6, 6666
(8 + 5 + 2) /3
5
néant

Autre exemple; dans le cas spécifique du domaine de la pollution atmosphérique, est utilisée une «moyenne glissante sur 8 heures» de la concentration d'un polluant (c'est en l'occurrence le cas de l'ozone, en objectif de qualité pour la protection de la santé humaine)  ; cette moyenne pourra être calculée de 0h00 à 8h00, de 1h00 à 9h00, de 2h00 à 10h00, etc. On recherchera, sur une journée, la valeur maximale de la moyenne glissante, qui devra être inférieure à une concentration donnée. L'intérêt d'une moyenne glissante est de lisser les éventuels écarts accidentels.

Le calcul successif de moyennes mobiles pour une même suite de nombres exige de conserver l'ensemble des valeurs utilisées par les moyennes précédentes, pour remplacer le terme le plus ancien par le plus récent.

Une formule servant à calculer une moyenne mobile simple est

 \bar{x}_n = \frac{1}{N} \ \displaystyle{\sum_{k=0}ˆ{N-1} \; {x_{n-k}}}\ \ ou \ \ \bar{x}_n = \bar{x}_{n-1} - \frac{x_{n-N}}{N} + \frac{x_n}{N}

Moyenne mobile pondérée

Poids utilisés par une moyenne mobile pondérée de 15 valeurs.

Une moyenne pondérée est une moyenne qui utilise des cœfficients pour donner un poids différent à chaque valeur utilisée dans le calcul. Dans le cas d'une moyenne mobile pondérée, les poids de chaque terme décroissent linéairement, le plus récent ayant un poids de N et le plus ancien (le Nième) ayant un poids unitaire.

 \bar{x}_{M} = { n \; p_{M} + (n-1) \; p_{M-1} + \cdots + 2 \; p_{M-n+2} + p_{M-n+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}

Le dénominateur est un nombre triangulaire, et peut être directement calculé comme \frac{n \; (n+1)}{2}.

Comme la moyenne mobile simple, le calcul successif de moyennes mobiles pondérées pour une même suite exige de conserver l'ensemble des valeurs utilisées par les moyennes précédentes.

Moyenne mobile exponentielle

Poids utilisés pour les 21 plus récentes valeurs composant une moyenne mobile exponentielle de décroissance α = 0.125 (N=15).

Une moyenne mobile exponentielle utilise une pondération des termes qui décroît exponentiellement. Le poids de chaque valeur participant à la moyenne (fréquemment désignée par le terme observation en statistiques) est d'un facteur plus grand que la valeur qui le précède dans la série, ce qui donne plus d'importance aux observations les plus récentes, sans cependant jamais supprimer totalement l'effet des valeurs les plus anciennes.

Une constante de lissage contrôle le degré de décroissance des poids applicables à chaque observation participant à la moyenne. Cette constante, α, est un nombre compris entre 0 et 1; elle peut être exprimée :

Contrairement aux autres types de moyennes glissantes, le nombre de périodes N ne représente pas le nombre de valeurs participant à la moyenne; il ne sert qu'à spécifier la constante de lissage α. En effet, chaque nouveau calcul de la moyenne mobile exponentielle ajoute l'effet de la plus récente observation sans en abandonner une plus ancienne. Le poids total des N plus récentes observations utilisées par une moyenne mobile exponentielle ne forme qu'environ 86% du poids total.

Dans sa forme la plus simple, la moyenne pondérée exponentielle s'exprime selon cette même moyenne calculée lors de la précédente période. Il en existe deux formulations :

Roberts[1] (1959)  :   \bar{x}_{t} = \alpha \; x_{t} + (1-\alpha) \; \bar{x}_{t-1}     ——     Hunter[2] (1986)  :    \bar{x}_{t} = \alpha \; x_{t-1} + (1-\alpha) \; \bar{x}_{t-1}

On peut écrire différemment ces expressions pour souligner que la moyenne mobile exponentielle tend à conserver sa valeur précédente, n'en différant que par une fraction de sa différence avec la plus récente observation :

Roberts (1959)  :    \bar{x}_{t} = \bar{x}_{t-1} + \alpha \; ( x_{t} - \bar{x}_{t-1} )     ——     Hunter (1986)  :    \bar{x}_{t} = \bar{x}_{t-1} + \alpha \; ( x_{t-1} - \bar{x}_{t-1} )

Une moyenne mobile exponentielle doit être initialisée; le plus fréquemment, on impose \bar{x}_1 = x_{1} mais on peut aussi, par exemple, lui assigner une moyenne simple des 4 ou 5 premières observations. L'effet de l'initialisation de \bar{x}_1 sur les moyennes mobiles ultérieures dépend de \displaystyle\alpha; de plus grandes valeurs de la constante de lissage tendent à atténuer plus rapidement l'impact des observations plus anciennes. En effet, l'expansion de la forme de Roberts en y substituant récursivement les moyennes mobiles exponentielles des calculs qui ont précédé donne une somme illimitée, mais puisque l'expression 1-α est inférieure à 1, les termes anciens sont de plus en plus petits et peuvent peut-être être ignorés.

\bar{x}_{t} = \alpha \; \Big( x_t + (1-\alpha) \; x_{t-1} + (1-\alpha)ˆ2 \; x_{t-2} + (1-\alpha)ˆ3 \; x_{t-3} + \cdots \Big)
\bar{x}_{t} = \displaystyle\sum_{n=0}ˆ{\infty} \alpha(1-\alpha)ˆnx_{t-n}

En posant \beta = (1-\alpha),\ \beta \in [0,1] et en remarquant que \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{1-\beta} = 1 + \beta + \betaˆ2 + ... + \betaˆn + ..., on a :

\bar{x}_{t} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_t + \beta\ x_{t-1} + \betaˆ2\ x_{t-2}\ + ... +\ \betaˆn\ x_{t-n}}{1 + \beta + \betaˆ2 + ... + \betaˆn}


Réponse à une impulsion pour des indicateurs SMA/EMA (N=20, Metastock v10)

On peut voir sur le graphique ci-contre la réponse à une impulsion (impulsion=1) pour 2 types d'indicateurs. Cela nous donne directement les valeurs de la pondération utilisée (à une symétrie près). (Résultat Metastock v10).

Notes

  1. [ (en) http ://www. itl. nist. gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc324. htm NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods : EWMA Control Charts] at the National Institute of Standards and Technology
  2. [ (en) http ://www. itl. nist. gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc431. htm NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods : Single Exponential Smoothing] at the National Institute of Standards and Technology

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