Moyenne arithmético-géométrique

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

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La moyenne arithmético - géométrique : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on peut définir deux suites récurrentes un et vn par u0=a, v0=b, ... (source : bibmath)

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

La convergence quadratique^[1] de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est surtout associée à la longueur d'une ellipse suivant les longueurs de ses axes.

Définition

Étant donné deux réels positifs $a$ et $b$ , il est envisageable de définir deux suites $(u n)$ et $(v n)$ de premiers termes $u 0 = min (a, b)$ , $v 0 = max (a, b)$ et satisfaisant les relations de récurrence :

$u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n}$

$v_{n+1} = {1 \over 2} (u_n + v_n)$ .

Les propriétés des moyennes arithmétique et géométrique assurent que ces deux suites sont adjacentes par conséquent convergent vers une même limite qui est nommée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ .

Notes et références

↑ Voir par exemple [1].

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