Mouvement brownien

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une «grosse» particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les «petites» molécules du fluide environnant.



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Méthode mathématique de la physique - Physique statistique - Probabilités - Hasard et aléatoire - Processus stochastique

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  • Donc, le mouvement brownien est un double phénomène aléatoire : le trajet de la particule suspendue est rendu aléatoire par les fluctuations... (source : nicohx1.chez)
  • Si on ne retient comme origine du mouvement brownien des mathématiciens que le mouvement de particules de pollen en suspension dans l'eau, ... (source : images.math.cnrs)
  • Prends des particules particulièrement fines et particulièrement légères (le pollen des plantes fait particulièrement bien... La loi du mouvement brownien établie par le grand Albert Einstein... (source : semsci.u-strasbg)
Mouvement brownien d'une particule.

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une «grosse» particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les «petites» molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement particulièrement irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules au sein de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes[1].

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

Ce mouvement sert à décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), mais aussi le phénomène de diffusion. Il est aussi particulièrement utilisé dans des modèles de mathématiques financières.

Aspects historiques

Brown aperçut dans le fluide localisé à l'intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n'a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme fréquemment mentionné), de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s'expliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Tout d'abord, Brown les attribua par conséquent à une activité vitale. L'explication correcte du phénomène viendra plus tard.

Brown n'est pas précisément le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l'existence d'un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l'avaient effectivement décrit. On peut mentionner surtout l'abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l'Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus identiques envisageables [2]. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.

Rudiments mathématiques

Notion de processus stochastique

La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, au contraire de un vent ou un courant. Plus exactement :

Il est complexe dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique \sqrt{\langle \, Xˆ2 \, \rangle \ } : si x (t) est la distance de la particule à sa position de départ à l'instant t, alors :

\langle \, Xˆ2(t) \ \rangle \ = \ \frac{1}{t} \int_{ 0}ˆ{t} xˆ2(\tau) \ d \tau

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps[3] :

 \langle \, Xˆ2(t) \ \rangle \ = \ 2 \, d \, D \, t

d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le cœfficient de diffusion, et t le temps écoulé.

Définition mathématique

On peut définir de façon formelle un mouvement brownien : c'est un processus stochastique (B_t)_{(t \ge 0)} dont les accroissements disjoints sont indépendants et tels que Bt + sBt suit une loi normale de moyenne nulle et de variance s.

Cette définition sert à démontrer des propriétés du mouvement brownien, comme par exemple sa continuité (presque sure), le fait que presque surement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.

On pourrait aussi définir le mouvement brownien comparé à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement nommée théorème de Levy, donne la caractérisation suivante : un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée, (B_t)_{(t \ge 0)} et (B_tˆ2-t)_{(t \ge 0)} sont des martingales.

Formule d'Einstein

La formule précédente sert à calculer le cœfficient de diffusion d'un couple particule-fluide. En connaissant les caractéristiques de la particule diffusante ou du fluide, on peut en déduire les caractéristiques de l'autre. En connaissant les caractéristiques des deux, on peut évaluer le nombre d'Avogadro avec la formule d'Einstein (1905)  :

D = \frac{\mathcal{R}}{6 \pi \mathcal{N}_A} \cdot \frac{T}{\eta r}\,

T\, est la température, \eta\, la viscosité du fluide, r\, le rayon de la particule, \mathcal{R}\, la constante des gaz parfaits et \mathcal{N}_A\, le nombre d'Avogadro : le physicien Jean Perrin évalua ce dernier nombre en 1908 grâce à cette formule.

Considérations énergétiques

La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser un mouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi le deuxième principe de la thermodynamique.

Cependant, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie [4]. Cette transformation ne contrevient pas au deuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu par conséquent la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable génère une croissance de l'entropie globale du dispositif (ou de l'univers).

Quelques modélisations dans un espace euclidien

Équation de Langevin (1908)

Article détaillé : Équation de Langevin.

Dans l'approche de Langevin[5], la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse v (t) est soumise à deux forces :

Bruit blanc gaussien :

Un bruit blanc gaussien η (t) est un processus stochastique de moyenne nulle :

\langle \, \eta(t) \, \rangle \ = \ 0

et complètement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

\langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \Gamma \ \delta(t_1-t_2)

Dans cette formule, Γ est une constante positive, et δ (t) est la distribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations envisageables du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, toujours nommée intégrale de chemin selon Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite «mesure de Wiener»[6]. Ainsi, on écrit :

\langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \int \left[ \, \mathcal{D}\eta(t) \, \right] \ \eta(t_1) \ \eta(t_2) \ \textrm{e}ˆ{ - \frac{1}{2 \Gamma} \int_{t_1}ˆ{t_2}\dot{\eta}ˆ2(\tau) d \tau}

\dot{\eta} est la dérivée de η comparé au temps t.

Le principe essentiel de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

 m \, \frac{dv(t)}{dt} \ = \ - \, k \, v(t) \ + \ \eta(t)

Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solution Xt de l'équation différentielle stochastique suivante : dX_t=\sqrt2dB_t-X_tdt, où Bt est un mouvement brownien standard, et avec X0 une variable aléatoire donnée. Le terme dBt traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, tandis que le terme Xtdt représente la force de frottement subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus etXt nous donne : d({eˆt}X_t)={eˆt}{X_t}dt+{eˆt}(\sqrt{2}{dB_t}-{X_t}dt)={eˆt}\sqrt{2}{dB_t}, soit, sous forme intégrale : X_t={X_0}eˆ{-t}+\sqrt{2}eˆ{-t}\int_0ˆt{eˆs}dB_s

A titre d'exemple, si X0 vaut presque sûrement x, la loi de Xt est une loi gaussienne de moyenne xe t et de variance 1 − e − 2t, ce qui converge en loi lorsque t tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Marches aléatoires

Article détaillé : Marche aléatoire.

On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), comme par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les xi sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :

\langle \, Xˆ2_n \ \rangle \ = \ \frac{1}{n} \ \sum_{i = 1}ˆn \ x_iˆ2

Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple)

Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües localisées sur le réseau :  \{\, n \, a \ , n \in \mathbb{Z} \, \} de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée τ.

Il faut toujours se donner un nombre p tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. L'ensemble des directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

p \ = \ q \ = \ \frac{1}{2}

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x (k) de la particule aux instants k, partant de la condition d'origine x (0) =0.

Marche au hasard.jpg

Probabilités de transition conditionnelle

On définit la probabilité de transition conditionnelle :

P(n|m,s) \ = \ P(na|ma, s\tau)

comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant sτ sachant qu'elle était au site na à l'instant d'origine 0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :


P(n|m,s+1) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \ + \ P(n|m-1,s)  \ \right]

On en déduit la relation suivante :

P(n|m,s+1) \, - \, P(n|m,s) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \, + \, P(n|m-1,s) \, - \, 2 \ P(n|m,s) \ \right]

Convergence vers le mouvement brownien. Équation de Fokker-Planck

Prenons la limite continue de l'équation précédente quand les paramètres :

On verra à la fin du calcul que la combinaison a2 / 2τ doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre correct pour faire un développement limité :

P(n|m,(s+1)\tau) \ - \ P(n|m,s\tau) \ = \ \tau \ \frac{\partial P(n|m,s\tau)}{\partial t} \  + \ O(\tauˆ2)

D'autre part, on peut écrire :

P(n|(m\pm 1)a,s) \ = \ P(n|ma,s) \, \pm \, a \ \frac{\partial P(n|ma,s)}{\partial x} \, + \, \frac{aˆ2}{2} \ \frac{\partialˆ2 P(n|ma,s)}{\partial xˆ2} \, + \, O(aˆ3)

de telle sorte que le crochet se diminue à :

P(n|m+1,s) \, + \, P(n|m-1,s) \, - \, 2 \ P(n|m,s) \ = \ aˆ2 \ \frac{\partialˆ2 P(n|ma,s)}{\partial xˆ2} \, + \, O(aˆ3)

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

\tau \ \frac{\partial P(x_0|x,t)}{\partial t} \ = \ \frac{aˆ2}{2} \ \frac{\partialˆ2 P(x_0|x,t)}{\partial xˆ2}

qu'on peut réécrire :


\frac{\partial P(x_0|x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \frac{\partialˆ2 P(x_0|x,t)}{\partial xˆ2}

en introduisant le cœfficient de diffusion :

D \ = \ \frac{aˆ2}{2\tau}

Solution de l'équation de Fokker-Planck

En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle P (x0 | x, t) doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :

<img class=
\lim_{t \to 0}  P(x_0|x,t) \ = \ \delta(x - x_0)

δ (x) est la distribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelle P (x0 | x, t) est par conséquent principalement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

P(x_0|x,t)\ = \ \frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \ \exp \, \left[ \ - \ \frac{(x-x_0)ˆ2}{4 D t} \ \right]

Moments de la distribution :

Posons x0 = 0 pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle P0 (x, t) = P (0 | x, t) permet le calcul des divers moments :

\langle \,  xˆn(t)  \ \rangle \ = \ \int_{-\infty}ˆ{+\infty} dx \ xˆn \ P_0(x,t)

La fonction P0 étant paire, l'ensemble des moments d'ordre impair sont nuls. On peut aisément calculer l'ensemble des moments d'ordre pair en posant :

\alpha \ = \ \frac{1}{4 D t}

et en écrivant que :

\langle \,  xˆn(t)  \ \rangle \ = \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \int_{-\infty}ˆ{+\infty} dx \ xˆ{2n} \ \mathrm{e}ˆ{- \alpha xˆ2}  \ = \ (-1)ˆn \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{dˆn∼}{d \alphaˆn} \ \left[ \, \int_{-\infty}ˆ{+\infty} dx \ \mathrm{e}ˆ{- \alpha xˆ2} \, \right]

On obtient explicitement :

\langle \,  xˆn(t)  \ \rangle \ = \ (-1)ˆn \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{dˆn∼}{d \alphaˆn} \ \left[ \, \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \, \right] \ = \ (-1)ˆn \ \sqrt{\alpha} \ \frac{dˆn∼}{d \alphaˆn} \ \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right]

On retrouve surtout pour l'instant d'ordre deux :

\langle \,  xˆ2(t)  \ \rangle \ = \ - \, \sqrt{\alpha} \, \frac{d∼}{d \alpha} \, \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right] \ = \ (- \, \sqrt{\alpha}) \, \times \, \left( - \, \frac{1}{2\alphaˆ{3/2}} \right) \ = \ \frac{1}{2 \alpha} \ = \ 2 D t


Mouvement brownien sur une variété riemannienne

On nomme mouvement brownien sur une variété riemannienne V le processus stochastique continu markovien dont le semigroupe de transition à un paramètre est génèré par 1/2 \, \Delta_V, où ΔV est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété V.

Annexes

Bibliographie

Aspects historiques
Mouvement brownien dans l'espace euclidien
Mouvement brownien sur une variété riemannienne

Notes et références

  1. Robert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies. , Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Fac-similé disponible au format pdf.
  2. Brian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen : a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4)  : 235-241, 1992 Reproduction en ligne de l'article
  3. Pour un mouvement rectiligne régulier, c'est le déplacement x (t) qui serait proportionnel au temps.
  4. (PESKIN C. S. (1) ; ODELL G. M. ;OSTER G. F. ;Biophysical journal (Biophys. j. ) ISSN 0006-3495, CODEN BIOJAU; 1993, vol. 65, no1, pp. 316-324 (42 ref. ) ;Cellular motions and thermal fluctuations : the Brownian ratchet)
  5. Paul Langevin, «Sur la théorie du mouvement brownien», Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Possibilité de consulter et de télécharger le texte complet au format pdf depuis le site Gallica de la BNF.
  6. Cf. e. g.  : Mark Kac ; Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au format pdf.

Voir aussi

Liens externes

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