Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Le problème auquel s'adresse cette méthode est le suivant :

Soit X une variable aléatoire dont la distribution est décrite par la fonction de répartition F (x)  ;

On désire obtenir une suite de réalisations de X.

Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire U = F_X (X) est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition F_X (x) est continue et strictement croissante sur La distribution recherchée s'obtient par conséquent comme la totalité des antécédents x des tirages u selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition F_X (x) . C'est à dire, la variable aléatoire a pour loi F_X (x) , où U est une loi uniforme sur [0;1]. Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation servant à produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de distribution F_X (x) .

Pour certaines lois, on sait inverser F_X (x)  :

• la Loi exponentielle de paramètre λ se tire comme − log (U) / λ;
• la Loi de Cauchy standard se simule comme tan (πU) ;
• la Loi logistique standard se simule comme log[U / (1 − U) ];
• la Loi de Laplace se simule comme − sgn (U) log (1 − 2 | U |) .

Mais la majorité du temps, le calcul de l'antécédent est problématique : on ne sait pas obtenir x vérifiant F_X (x) = u, car on ne sait pas inverser la fonction F_X. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation F_X (x) − u = 0, en utilisant au choix la Méthode de dichotomie, la Méthode de la fausse position, la Méthode de la sécante ou encore la Méthode de Newton.

Voir aussi

• Méthode de rejet
• Cette méthode est aussi importante sur le plan théorique. Voir surtout le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

Références

• Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York : Springer-Verlag, 1986. (site) Voir le chapitre 2, section 2, p. 28

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_la_transform%C3%A9e_inverse.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.