Méthode de la transformée inverse
La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.
La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.
Le problème auquel s'adresse cette méthode est le suivant :
- Soit X une variable aléatoire dont la distribution est décrite par la fonction de répartition F (x) ;
- On désire obtenir une suite de réalisations de X.
Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire U = FX (X) est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition FX (x) est continue et strictement croissante sur La distribution recherchée s'obtient par conséquent comme la totalité des antécédents x des tirages u selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition FX (x) . C'est à dire, la variable aléatoire
a pour loi FX (x) , où U est une loi uniforme sur [0;1]. Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.
La plupart des langages de programmation servant à produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de distribution FX (x) .
Pour certaines lois, on sait inverser FX (x) :
- la Loi exponentielle de paramètre λ se tire comme − log (U) / λ;
- la Loi de Cauchy standard se simule comme tan (πU) ;
- la Loi logistique standard se simule comme log[U / (1 − U) ];
- la Loi de Laplace se simule comme − sgn (U) log (1 − 2 | U |) .
Mais la majorité du temps, le calcul de l'antécédent est problématique : on ne sait pas obtenir x vérifiant FX (x) = u, car on ne sait pas inverser la fonction FX. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation FX (x) − u = 0, en utilisant au choix la Méthode de dichotomie, la Méthode de la fausse position, la Méthode de la sécante ou encore la Méthode de Newton.
Voir aussi
- Méthode de rejet
- Cette méthode est aussi importante sur le plan théorique. Voir surtout le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.
Références
- Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York : Springer-Verlag, 1986. (site) Voir le chapitre 2, section 2, p. 28
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