Mesure secondaire

En mathématiques, la mesure secondaire associée à une mesure de densité positive ρ est, quand elle existe, une mesure de densité positive μ qui rend orthogonaux les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux pour ρ.



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En mathématiques, la mesure secondaire associée à une mesure de densité positive ρ est , quand elle existe, une mesure de densité positive μ qui rend orthogonaux les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux pour ρ.

Sous certaines hypothèses que nous préciserons plus loin, il est envisageable d'obtenir l'existence d'une telle mesure et même de l'exprimer :

Par exemple si on travaille dans l'espace de Hilbert Lˆ2

 \forall x \in [0,1], \; \mu\left(x\right)=\frac{\rho\left(x\right)}{\frac{\varphiˆ2\left(x\right)}{4} + \piˆ2\rhoˆ2\left(x\right)}

Avec dans le cas général :

 \varphi\left(x\right) = \lim_{\varepsilon\to 0ˆ{+}} 2\int_0ˆ1\frac{\left(x-t\right)\rho\left(t\right)}{\left(x-t\right)ˆ2+\varepsilonˆ2}\mathrm dt

Dans le cas où ρ est lipschitzienne :

 \varphi\left(x\right) = 2\rho\left(x\right)\text{ln}\left(\frac{x}{1-x}\right) - 2 \int_0ˆ1\frac{\rho\left(t\right)-\rho\left(x\right)}{t-x}\mathrm dt

Cette application \varphi est dite «réductrice» de ρ.

Dans un cadre plus général, μ et ρ sont reliées via leurs transformées de Stieltjes par la formule suivante :

 S_{\mu} \left(z\right)=z-c_1-\frac{1}{S_{\rho}\left(z\right)}

c1 est le moment d'ordre 1 de la mesure ρ.

Ces mesures secondaires, et la théorie qui les entoure, amènent à quelques résultats étonnants, et permettent de retrouver de façon élégante un bon nombre de formules classiques d'analyse, essentiellement autour des fonctions Γ d'Euler, ζ de Riemann, et du nombre γ d'Euler. Elles permettent aussi l'explicitation d'intégrales et de séries a priori complexes avec une efficacité redoutable. Enfin elles permettent de résoudre des équations intégrales de la forme :

f\left(x\right)=\int_0ˆ1\frac{g\left(t\right)-g\left(x\right)}{t-x}\rho\left(t\right)\mathrm dt

g est la fonction inconnue, et amènent à des théorèmes de convergence vers les mesures de Tchebychev et Dirac.

Les grandes lignes de la théorie

Étant donné un espace mesuré par une mesure de densité positive ρ sur un intervalle I et admettant des moments de tout ordre.

On peut construire une famille (P_n)_{n \in \N} des polynômes orthogonaux pour la structure pré-hilbertienne induite par ρ.

Appelons (Q_n)_{n \in \N} la famille des polynômes secondaires de la famille P. Sous certaines conditions il existe une mesure μ pour laquelle la famille Q est orthogonale. Cette mesure, qu'on peut expliciter selon ρ est nommée mesure secondaire associée à la mesure d'origine ρ.

Quand ρ est une densité de probabilité, une condition suffisante pour que μ admettant des moments de tout ordre soit secondaire associée à ρ est que sa transformée de Stieltjes soit donnée par une égalité du type : S_{\mu}(z)=a\left(z-c_1-\frac{1}{S_{\rho}(z)}\right), avec a constante arbitraire et \, c_1 désignant le moment d'ordre 1 de ρ.

Pour a = 1 on obtient la mesure dite secondaire, remarquable au sens que pour n\geq1 la norme du polynôme Pn pour ρ coïncide précisément avec la norme du polynôme secondaire associé Qn au sens de la mesure μ.

Dans ce cas essentiel, et si l'espace génèré par les polynômes orthogonaux est dense dans Lˆ2\left(I,\mathbf R,\rho \right), l'opérateur Tρ défini par f(x) \mapsto \int_I \frac{f(t)-f(x)}{t-x}\rho (t)dt créant les polynômes secondaires peut se prolonger en une application linéaire reliant l'espace Lˆ2\left(I,\mathbf R,\rho \right) à Lˆ2\left(I,\mathbf R,\mu \right) et devient une isométrie si on la restreint à l'hyperplan Hρ des fonctions orthogonales à P0 = 1.

Pour des fonctions quelconques de carré intégrables pour ρ on obtient la formule plus générale de covariance :

\langle f/g\rangle_\rho - \langle f/1 \rangle_\rho\times \langle g/1\rangle_\rho = \langle T_\rho\left(f\right)/T_\rho \left(g\right)\rangle _\mu

La théorie se poursuit en introduisant la notion de mesure réductible, au sens que le quotient \frac{\rho}{\mu} est élément de Lˆ2\left(I,\mathbf R,\mu \right). On établit alors les résultats suivants :

La réductrice \varphi de ρ est un antécédent de \frac{\rho}{\mu} pour l'opérateur Tρ. (En fait l'unique antécédent élément de Hρ).

Pour toute fonction de carré intégrable pour ρ, on a la formule dite de réduction : \langle f/\varphi\rangle_\rho = \langle T_\rho (f)/1\rangle_\rho.

L'opérateur f\mapsto {\varphi\times f -T_\rho (f)} défini sur les polynômes, se prolonge en une isométrie Sρ reliant l'adhérence de l'espace de ces polynômes dans Lˆ2\left(I,\mathbf R,\frac {\rhoˆ2}{\mu}\right) à l'hyperplan Hρ pourvu de la norme induite par ρ.

Sous certaines conditions restrictives l'opérateur Sρ agît comme adjoint de Tρ pour le produit scalaire induit par ρ.

Enfin les deux opérateurs sont reliés aussi, sous réserve que les images en question soient définies, par la formule principale de composition :

T_\rho\circ S_\rho \left( f\right)=\frac{\rho}{\mu}\times \left(f \right)

Cas de la mesure secondaire de la mesure de Lebesgue, et quelques autres exemples

Mesure secondaire de Lebesgue

La mesure de Lebesgue sur l'intervalle standard \left[0,1\right] est obtenue en prenant la densité constante ρ (x) = 1.

Les polynômes orthogonaux associés sont nommés polynômes de Legendre et peuvent être explicités par P_n(x)=\frac{dˆ{(n)}}{dxˆn}\left(xˆn(1-x)ˆn\right). La norme de Pn vaut \frac{n!}{\sqrt{2n+1}}. La relation de récurrence à trois termes s'écrit :

2\left(2n+1\right)\mathrm XP_n\left(\mathrm X\right)=-P_{n+1}\left( \mathrm X \right)+\left( 2n+1 \right)P_n \left(\mathrm X\right)-nˆ2P_{n-1}(\mathrm X)

La réductrice de cette mesure de Lebesgue est donnée par \varphi(x)=2\ln\left(\frac{x}{1-x}\right). la mesure secondaire associée s'explicite alors comme : \mu(x)=\frac{1}{\lnˆ2\left(\frac{x}{1-x}\right)+\piˆ2}.

Exemples de mesures réductibles

Si on normalise les polynômes de Legendre, les cœfficients de Fourier de la réductrice \varphi comparé à ce dispositif orthonormé sont nuls pour un indice pair et données par C_n(\varphi)=-\frac{4\sqrt{2n+1}}{n(n+1)} pour un indice n impair.

Les polynômes de Laguerre sont liés à la densité ρ (x) = e x sur l'intervalle I=\left[0,+\infty \right[.

Ils sont explicités par L_n(x)=\frac{eˆx}{n!}\frac{dˆn}{dxˆn}(xˆneˆ{-x})=\sum_{k=0}ˆ{k=n}\binom{n}{k}(-1)ˆk\frac{xˆk}{k!} et sont normés.

la réductrice associée est définie par \varphi(x)=2\left[\ln(x)-\int_0ˆ{+\infty}eˆ{-t}\ln|x-t|dt\right].

Les cœfficients de Fourier de la réductrice \varphi comparé aux polynômes de Laguerre sont donnés par :

C_n\left(\varphi\right)=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}ˆ{k=n-1}\frac{1}{\binom{n-1}{k}}. Ce cœfficient C_n(\varphi) n'est autre que l'opposé de la somme des éléments de la ligne d'indice n du tableau des nombres triangulaires harmoniques de Leibniz.

Les polynômes d'Hermite sont associées à la densité de Gauss \rho(x)=\frac{eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} sur I=\ R. Ils sont explicités par H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}eˆ{\frac{xˆ2}{2}}\frac{dˆn}{dxˆn}\left(eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}\right) et sont normés. La réductrice associée est définie par :

\varphi(x)=-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}ˆ{+\infty}teˆ{-\frac{tˆ2}{2}}\ln|x-t|dt.

Les cœfficients de Fourier de la réductrice \varphi comparé au dispositif des polynômes d'Hermite sont nuls pour un indice pair et données par C_n(\varphi)=(-1)ˆ{\frac{n+1}{2}}\frac{\left(\frac{n-1}{2}\right)!}{\sqrt{n!}} pour un indice n impair.

La mesure de Tchebychev de deuxième forme est définie par la densité \rho(x)=\frac{8}{\pi}\sqrt{x(1-x)} sur l'intervalle [0, 1]. C'est l'unique qui coïncide avec sa mesure secondaire normalisée sur cet intervalle standard. Sous certaines conditions elle apparait comme limite de la suite des mesures secondaires normalisées d'une densité donnée.

Exemples de mesures non réductibles.

Mesure de Jacobi de densité \rho(x)=\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{1-x}{x}} sur ]0, 1[.

Mesure de Tchebychev de première forme de densité \rho(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-xˆ2}} sur ]-1, 1[.

Suite n) des mesures secondaires

La mesure secondaire μ associée à une densité de probabilité ρ a son moment d'ordre 0 égal à d0 = c2 − (c1) 2, (c1 et c2 désignant les moments respectifs d'ordre 1 et 2 de ρ).

Pour pouvoir itérer le procédé on normalise alors μ en définissant \rho_1 =\frac{\mu}{d_0} qui devient à son tour une densité de probabilité nommée naturellement mesure secondaire normalisée associée à ρ.

On peut alors définir de proche en proche à partir de ρ0 = ρ la suite n\mapsto \rho_n, chaque terme étant la mesure secondaire normalisée du précédent.

Il est envisageable d'expliciter la densité ρn en utilisant les polynômes orthogonaux Pn pour ρ, les polynômes secondaires Qn et la réductrice associée \varphi. Cela donne la formule :

\rho_n\left(x\right)=\frac{1}{d_0ˆ{n-1}} \frac{\rho(x)}{\left(P_{n-1}(x)\frac{\varphi(x)}{2}-Q_{n-1}(x)\right)ˆ2+\piˆ2\rho ˆ2(x)P_{n-1}ˆ2(x)}

Le cœfficient d_0ˆ{n-1} s'obtient aisément à partir des cœfficients dominants des polynômes Pn − 1 et Pn. On peut aussi expliciter la réductrice \varphi_n associée à ρn, mais aussi les polynômes orthogonaux correspondant à ρn.

Un particulièrement beau résultat concerne l'évolution de ces densités quand l'indice tend vers l'infini et que le support des mesures est l'intervalle standard \left[0,1\right].

Soit la relation de récurrence à trois termes : xPn (x) = tnPn + 1 (x) + snPn (x) + tn − 1Pn − 1 (x) .

Si \lim_{n \mapsto \infty}t_n=\frac{1}{4} et \lim_{n \mapsto \infty}s_n=\frac{1}{2}, alors la suite n\mapsto \rho_n converge totalement vers la densité de Tchebychev de deuxième forme \rho_{tch}(x)=\frac{8}{\pi}\sqrt{x(1-x)}.

Ces conditions limites sont vérifiées par une très large classe de densités classiques.

Mesures équinormales

On nomme ainsi deux mesures conduisant à la même densité secondaire normalisée. Il est remarquable que les éléments d'une classe donnée de même moment d'ordre 1 soient reliés par une homotopie. Plus exactement, si la densité ρ a son moment d'ordre 1 égal à c1, ces densités équinormales à ρ seront donnés par une formule du type : \rho_{t}(x)=\frac{t\rho(x)}{\left[\left(t-1\right)(x-c_1)\frac{\varphi\left(x\right)}{2}-t\right]ˆ2+\piˆ2\rhoˆ2(x)(t-1)ˆ2(x-c_1)ˆ2}, t décrivant un intervalle contenant ]0, 1].

Si μ est la mesure secondaire de ρ, celle de ρt est tμ.

La réductrice de ρt est : \varphi_t(x)=\frac{2\left(x-c_1\right)-tG(x)}{\left((x-c_1)-t\frac{G(x)}{2}\right)ˆ2+tˆ2\piˆ2\muˆ2(x)} en notant G (x) la réductrice de μ.

Les polynômes orthonormaux pour la mesure ρt sont explicités à partir de n = 1 par la formule :

P_nˆt(x)=\frac{1}{\sqrt{t}}\left[tP_n(x)+(1-t)(x-c_1)Q_n(x)\right] avec Qn secondaire associé à Pn

Il est remarquable aussi que, au sens des distributions, la limite quand t tend vers 0 par valeur supérieure de ρt soit la mesure de Dirac concentrée en c1.

Pour exemple, les densités équinormales à la mesure de Tchebychev de deuxième forme sont définies par : \rho_t(x)=\frac{2t\sqrt{1-xˆ2}}{\pi\left[tˆ2+4(1-t)xˆ2\right]}, avec t décrivant ]0, 2]. La valeur t=2 donne la mesure de Tchebychev de première forme.

Les plus belles applications

<img class=. (avec γ constante d'Euler).
\gamma=\frac{1}{2}+\int_0ˆ{+\infty}\frac{\overline {(x+1)\cos(\pi x)} dx}{x+1}.

(la fonction x\mapsto \overline {(x+1)\cos(\pi x)} désignant celle de période 2 coïncidant avec x\mapsto (x+1) \cos(\pi x) sur [-1, 1[).

\gamma=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}ˆ{k=n}\frac{\beta_{2k}}{2k}-\frac{\beta_{2n}}{\zeta(2n)}\int_1ˆ{+\infty}\frac{E(t)\cos(2\pi t)dt}{tˆ{2n+1}}

(avec E fonction partie entière et β2n nombre de Bernoulli d'ordre 2n).

\beta_k=\frac{(-1)ˆkk!}{\pi}Im\left(\int_{-\infty}ˆ{\infty}\frac{eˆxdx}{(1+eˆx)(x-i\pi)ˆk}\right).
\int_0ˆ1\lnˆ{2n}\left(\frac{x}{1-x}\right)dx=(-1)ˆ{n+1}2(2ˆ{2n-1}-1)\beta_{2n}\piˆ{2n}.
\int_0ˆ1 \int_0ˆ1\cdots \int_0ˆ1\left(\sum_{k=1}ˆ{k=2n}\frac{ln(t_k)}{\prod_{i\not=k}(t_k-t_i)}\right)dt_1dt_2\cdots dt_{2n}=\frac{(-1)ˆ{n+1}(2\pi)ˆ{2n}\beta_{2n}}{2}.
\qquad \int_0ˆ{+\infty}\frac{eˆ{-\alpha x}dx}{\Gamma(x+1)}=eˆ{eˆ{-\alpha}}-1+\int_0ˆ{+\infty}\frac{1-eˆ{-x}}{\left[(\ln(x)+\alpha)ˆ2+\piˆ2\right]}\frac{dx}{x}. (pour tout réel α)
\sum_{n=1}ˆ{n=+\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}ˆ{k=n-1}\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\right)ˆ2=\frac{4\piˆ2}{9}=\int_0ˆ{+\infty}4[\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi]ˆ2eˆ{-3x}dx.

(Ei sert à désigner ici la fonction exponentielle intégrale).

\frac{23}{15}-\ln(2)=\sum_{n=0}ˆ{n=+\infty}\frac{1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}
Catalan = \sum_{k=0}ˆ{k=+\infty}\frac{(-1)ˆk}{4ˆ{k+1}}\left(\frac{1}{(4k+3)ˆ2}+\frac{2}{(4k+2)ˆ2}+\frac{2}{(4k+1)ˆ2}\right)+\frac{\pi\ln(2)}{8}
Catalan = \frac{\pi\ln(2)}{8}+\sum_{n=0}ˆ{n=\infty}(-1)ˆn\frac{H_{2n+1}}{2n+1}

(La constante de Catalan est définie comme \sum_{n=0}ˆ{n=\infty}\frac{(-1)ˆn}{(2n+1)ˆ2} et H_{2n+1}=\sum_{k=1}ˆ{k=2n+1}\frac{1}{k} nombre harmonique d'ordre 2n+1).

Si la mesure ρ est réductible de réductrice associée \varphi, on a l'égalité :

\int_I\varphiˆ2(x)\rho(x)dx=\frac{4\piˆ2}{3}\int_I\rhoˆ3(x)dx

Si la mesure ρ est réductible de mesure secondaire associée μ, alors si f est de carré intégrable pour μ, et si g est de carré intégrable pour ρ et orthogonale à P0 = 1 on a l'équivalence :

f(x)=\int_I\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho(t)dt\Leftrightarrow g(x)=(x-c_1)f(x)-T_{\mu}(f(x))=\frac{\varphi(x)\mu(x)}{\rho(x)}f(x)-T_{\rho}\left(\frac{\mu(x)}{\rho(x)}f(x)\right)

(c1 sert à désigner le moment d'ordre 1 de ρ et Tρ l'opérateur g(x)\mapsto \int_I\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho(t)dt).

Voir aussi

Sujets connexes

Références et liens externes

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