Loi normale

En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p définie, pour tout nombre réel x, par ...

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Loi de probabilité - Fonctions spéciales

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues. On la définit au moyen d'une densité de probabilité... (source : fr.wikiversity)
Nous allons montrer que la moyenne d'une variable qui suit une loi normale est égale à μ, et que sa variance est égale à σ².... (source : tice.inpl-nancy)
On dit que la variable aléatoire X suit la loi normale de param`etres m et σ, ... Remarque : la loi normale est aussi nommée loi de Laplace1-Gauss2.... (source : methodomaths.123)

Distribution gaussienne
Densité de probabilité / Fonction de masse La courbe rouge représente la fonction φ (voir texte), densité de probabilité d'une variable suivant une loi normale centrée réduite
Fonction de répartition

Paramètres	$μ$ moyenne (nombre réel) $σ 2 > 0$ variance (nombre réel)
Support	$x \in\, ]-\infty;+\infty[\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)ˆ2}{2\sigmaˆ2} \right) \!$
Fonction de répartition	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Espérance	$μ$
Médiane (centre)	$μ$
Mode	$μ$
Variance	$σ 2$
Asymétrie (statistique)	0
Kurtosis (non-normalisé)	3 (0 si normalisé)
Entropie	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Fonction génératrice des moments	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigmaˆ2 \frac{tˆ2}{2}\right)$
Fonction caractéristique	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigmaˆ2 tˆ2}{2}\right)$

En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif (donc de variance σ²) si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p (x) définie, pour tout nombre réel x, par :

$p(x)\ =\ \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \mathrm{e}ˆ{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)ˆ2}$

Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.

On note généralement cela de la manière suivante :

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ ^[1]

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre n particulièrement grand. Cette loi a été mise en évidence par Gauss au XIX^e siècle et sert à modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

La loi normale centrée réduite

Définition

Représentation graphique d'une loi normale centrée réduite (dite courbe de Gauss ou courbe en cloche).

On nomme loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité $\varphi : \R \to \Rˆ+$ définie par :

$\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}ˆ{-\frac{tˆ2}{2}}$

On vérifie qu'elle est continue et que son intégrale sur $\ \R$ est égale à 1.

On sait en effet que $\ \int_{-\infty}ˆ{+\infty}\mathrm{e}ˆ{-\frac{tˆ2}{2}}\ dt = \sqrt{2\, \pi}$ (intégrale de Gauss).

On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.

Remarques :

la densité $\ \varphi$ est paire ;
elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout $\ t \in \R$ , l'identité $\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)$ .

La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss).

Moments

Les moments de cette loi existent tous. Pour tout $\ n \in \mathbb{N}$ , le moment d'ordre n comparé à l'origine est :

$\ m_n = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} tˆn\, \varphi(t)\, dt$ .

Pour la suite on supposera $μ = 0$ et $σ 2 = 1$ .

À cause de la parité de l'intégrande, l'ensemble des moments d'ordre impair sont nuls :

$m_{2\, k+1} = 0$

Supposons désormais n pair : $\ n = 2\, k$ , où $\ k \in \mathbb{N}$ .

Si $\ k \geq 1$ , une intégration par parties (non détaillée ici) donne :

$m_{2\, k} = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} tˆ{2\, k - 1}\, t\, \varphi(t)\, dt =-\int_{-\infty}ˆ{+\infty} tˆ{2\, k - 1}\, \varphi'(t)\, dt = (2\, k - 1) \int_{-\infty}ˆ{+\infty} tˆ{2\, k - 2}\, \varphi(t)\, dt$

ce qui apporte la relation de récurrence :

$m_{2\, k} = (2\, k - 1)\, m_{2\, k - 2}$ .

De cette relation, on déduit, comme $\ m_0 = 1\,$ , que :

$m_{2\, k} = 1 \cdot 3 \cdots (2\, k - 1) = \frac{(2\, k)\, !}{2ˆk\, k\,!}$

En particulier, $\ m_1 = 0$ (l'espérance est nulle : la loi est par conséquent dite centrée) et $\ m_2 = 1\,$ (la variance vaut $\ \ m_2 - m_1ˆ2 = 1\,\!$ : la loi est par conséquent dite réduite).

Ceci justifie l'appellation de loi normale centrée réduite.

Des formules précédentes, on déduit toujours :

$m_3 = 0\,$ et $m_4 = 3\,$

La loi étant réduite, les moments centrés sont tous égaux aux moments comparé à l'origine de même rang ; surtout :

$\mu_2 = \sigmaˆ2 = 1\,$ , $\mu_3 = 0\,$ et $\mu_4 = 3 \sigmaˆ4 \,$ .

On en déduit l'asymétrie (skewness) : $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigmaˆ3} = 0\,$ et l'aplatissement (kurtosis) : $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\sigmaˆ4} = 3\,$ .

Fonction de répartition

Article détaillé : fonction d'erreur.

On note $Φ$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Elle est définie, pour tout réel x, par :

$\ \Phi(x) = \int_{-\infty}ˆx \varphi(t)\, dt = \int_{-\infty}ˆx\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}ˆ{-\frac{tˆ2}{2}}\, dt.$

C'est la primitive de $\varphi$ qui tend vers 0 en $-\infty$ ; elle ne s'exprime pas avec fonctions usuelles (exponentielle, etc. ) mais devient elle-même une fonction usuelle, importante, pour quiconque pratique le calcul des probabilités ou les statistiques ; elle s'exprime avec la fonction d'erreur.

Voici les propriétés suivantes de la fonction $Φ$ :

Elle est indéfiniment dérivable, et $\Phi' = \varphi$
Elle est strictement croissante, tend vers 0 en $-\infty$ et vers 1 en $+\infty$

(c'est par conséquent une bijection $\R \to\, ]0,\, 1[\,$ : pour tout $p \in\, ]0,\, 1[\,$ , il existe $x \in \R$ unique, noté $\ \Phiˆ{-1}(p)$ , tel que $\ \Phi(x) = p$ )

Pour tout $x \in \R, \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ (ceci résulte de ce que la densité est paire) ; surtout, $\ \Phi(0) = 0,5$

Remarque : les notations $\varphi$ et $\ \Phi$ pour désigner «la» densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont usuelles.

Approximation de la fonction de répartition

Il n'existe pas d'expression pour $Φ$ mais on peut exploiter avec profit son aspect régulier pour en donner une approximation grâce à un développement en série de Taylor. A titre d'exemple, voici une approximation (à l'ordre 5) autour de 0 :

$\Phi(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left(x-\frac{xˆ3}{6}+\frac{xˆ5}{40}\right).$

Cette approximation est performante pour $| x | < 2$ .

Une approximation pour les grandes valeurs de x est donnée, pour x positif, par la formule

$1-\Phi(x) = \frac{eˆ{-xˆ2}}{\sqrt{2\pi}}. \left ( \frac{1}{x} +\sum_{k=1}ˆ{+\infty} \frac{(2k-1)!!\,(-1)ˆk}{xˆ{2k+1}}\right),$

série divergente pour tout x positif, mais dont les sommes partielles encadrent 1-Φ (x) de manière efficace quand x est grand. A titre d'exemple,

$\frac{eˆ{-xˆ2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{xˆ{3}}\right)\ \le\ 1-\Phi(x)\ \le\ \frac{eˆ{-xˆ2}}{x\sqrt{2\pi}},$

d'où une erreur relative inférieure à 25% pour x supérieur à 2 ou bien inférieure à 11% pour x supérieur à 3. Ou bien toujours :

$\frac{eˆ{-xˆ2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{xˆ{3}}+\frac{3}{xˆ5} - \frac{15}{xˆ{7}}\right)\ \le\ 1-\Phi(x)\ \le\ \frac{eˆ{-xˆ2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{xˆ{3}}+\frac{3}{xˆ5}\right),$

d'où une erreur relative inférieure à 25% pour x supérieur à 2 ou bien inférieure à 2% pour x supérieur à 3.

Tables numériques

Il existe des tables de la fonction de répartition, donnant des valeurs approchées de $\ \Phi(x)$ ; on se limite à des $x$ positifs ou nuls : en effet, si par exemple on connaît l'approximation $\Phi(0,5) \simeq 0,6915$ , on en déduit $\Phi(-0,5) \simeq 1 - 0,6915 = 0,3085$ .

Au lieu des précédentes, on utilise fréquemment des tables de la fonction qu'on notera ici $\ \Phi_0$ , définie sur $\ \Rˆ+$ par :

$\Phi_0(x) =\int_0ˆx \varphi(t)\, dt$

La table suivante donne pour tout x de 0 jusqu'à 3, 9 par pas de 0, 01, la valeur de 10⁵ $Φ (x)$ . Ces valeurs sont arrondies à l'unité la plus proche.

L'entrée en colonne donne les deux premiers chiffres de $x$ , c'est-à-dire le chiffre des unités et celui des dixièmes, et l'entrée en ligne le chiffre des centièmes.

Par exemple : Pour $Φ (1, 73) = 0, 95818$ , on choisira 1, 7 en ligne et 0.03 en colonne (1, 7 + 0.03 = 1.73) et l'intersection nous donnera le résultat.

	0, 00	0, 01	0, 02	0, 03	0, 04	0, 05	0, 06	0, 07	0, 08	0, 09
0, 0	50000	50399	50798	51197	51595	51994	52392	52790	53188	53586
0, 1	53983	54380	54776	55172	55567	55962	56356	56749	57142	57535
0, 2	57926	58317	58706	59095	59483	59871	60257	60642	61026	61409
0, 3	61791	62172	62552	62930	63307	63683	64058	64431	64803	65173
0, 4	65542	65910	66276	66640	67003	67364	67724	68082	68439	68793
0, 5	69146	69497	69847	70194	70540	70884	71226	71566	71904	72240
0, 6	72575	72907	73237	73565	73891	74215	74537	74857	75175	75490
0, 7	75804	76115	76424	76730	77035	77337	77637	77935	78230	78524
0, 8	78814	79103	79389	79673	79955	80234	80511	80785	81057	81327
0, 9	81594	81859	82121	82381	82639	82894	83147	83398	83646	83891
1, 0	84134	84375	84614	84849	85083	85314	85543	85769	85993	86214
1, 1	86433	86650	86864	87076	87286	87493	87698	87900	88100	88298
1, 2	88493	88686	88877	89065	89251	89435	89617	89796	89973	90147
1, 3	90320	90490	90658	90824	90988	91149	91309	91466	91621	91774
1, 4	91924	92073	92220	92364	92507	92647	92785	92922	93056	93189
1, 5	93319	93448	93574	93699	93822	93943	94062	94179	94295	94408
1, 6	94520	94630	94738	94845	94950	95053	95154	95254	95352	95449
1, 7	95543	95637	95728	95818	95907	95994	96080	96164	96246	96327
1, 8	96407	96485	96562	96638	96712	96784	96856	96926	96995	97062
1, 9	97128	97193	97257	97320	97381	97441	97500	97558	97615	97670
2, 0	97725	97778	97831	97882	97932	97982	98030	98077	98124	98169
2, 1	98214	98257	98300	98341	98382	98422	98461	98500	98537	98574
2, 2	98610	98645	98679	98713	98745	98778	98809	98840	98870	98899
2, 3	98928	98956	98983	99010	99036	99061	99086	99111	99134	99158
2, 4	99180	99202	99224	99245	99266	99286	99305	99324	99343	99361
2, 5	99379	99396	99413	99430	99446	99461	99477	99492	99506	99520
2, 6	99534	99547	99560	99573	99585	99598	99609	99621	99632	99643
2, 7	99653	99664	99674	99683	99693	99702	99711	99720	99728	99736
2, 8	99744	99752	99760	99767	99774	99781	99788	99795	99801	99807
2, 9	99813	99819	99825	99831	99836	99841	99846	99851	99856	99861
3, 0	99865	99869	99874	99878	99882	99886	99889	99893	99896	99900
3, 1	99903	99906	99910	99913	99916	99918	99921	99924	99926	99929
3, 2	99931	99934	99936	99938	99940	99942	99944	99946	99948	99950
3, 3	99952	99953	99955	99957	99958	99960	99961	99962	99964	99965
3, 4	99966	99968	99969	99970	99971	99972	99973	99974	99975	99976
3, 5	99977	99978	99978	99979	99980	99981	99981	99982	99983	99983
3, 6	99984	99985	99985	99986	99986	99987	99987	99988	99988	99989
3, 7	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999
3, 8	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999
3, 9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

On dispose des relations simples suivantes entre $\ \Phi$ et $\ \Phi_0$ (découlant de la formule de Chasles pour les intégrales) :

si $\ x \geq 0$ , alors $\ \Phi(x) = 0,5 + \Phi_0(x)$
si $\ x < 0$ , alors $\ \Phi(x) = 0,5 - \Phi_0(-x)$

Soit T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :

pour tout $\ x \in \R,\, P(T \leq x) = \Phi(x)$ et pour tout $\ x \in \Rˆ+,\, P(0 \leq T \leq x) = \Phi_0(x)$

pour tout couple $\ x_1,\, x_2$ de réels tels que $\ x_1 \leq x_2$ , $\ P(x_1 \leq T \leq x_2) = \Phi(x_2)- \Phi(x_1)$ .

Exemples numériques

Avec la table ci-dessus, on obtient, pour la variable aléatoire précédente :

$\ P(0 \leq T \leq 1,7) = \Phi_0(1,7) \simeq 0,4554$

$\ P(T \leq 1,7) = \Phi(1,7) = 0,5 + \Phi_0(1,7) \simeq 0,9554$

$\ P(-0,3 \leq T \leq 1,7) = \Phi(1,7)- \Phi(-0,3) = 0,5 + \Phi_0(1,7) - 0,5 + \Phi_0(0,3) \simeq 0,5733$

La loi normale générale

Soient $\ T$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, et deux réels $\mu,\, \sigma$ , où $<img class=$ , dont on note $\ F$ la fonction de répartition.

On a $\mathrm{E}(X) = \sigma\, \mathrm{E}(T) + \mu = \mu$ et $\mathrm{V}(X) = \sigmaˆ2\, \mathrm{V}(T) = \sigmaˆ2$ puisque $\ \mathrm{E}(T) = 0$ et $\ \mathrm{V}(T) = 1$ .

Cherchons la loi de $\ X$ : pour tout $x \in \R$ ,

$F(x) = P(X \leq x) = P(\sigma\, T + \mu \leq x) = P\left(T \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$ ,

puisque la fonction de répartition de $\ T$ est $\ \Phi$ .

Ainsi, $\ F$ est continûment (et même indéfiniment) dérivable : $\ X$ suit une loi à densité, et la dérivée $\ f$ de $\ F$ est une densité de probabilité de cette variable aléatoire ; pour tout $x \in \R$ ,

$f(x) = F'(x) = \frac{1}{\sigma}\, \Phi' \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\, \varphi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\,\pi}}\, \mathrm{e}ˆ{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)ˆ2}$ .

Ceci légitime la définition suivante :

Définition

On nomme loi normale (ou gaussienne, ou de Laplace-Gauss) de paramètres $\ \mu,\, \sigmaˆ2$ (où $<img class=$ , telle que pour tout $x \in \R$ :

$f(x) = \frac{1}{\sigma}\, \varphi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\,\pi}}\, \mathrm{e}ˆ{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)ˆ2}$ .

Une variable gaussienne est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de paramètres $\ \mu,\, \sigmaˆ2$ (où $\ \sigma$ est soit positive, soit nulle). Le cas où $\ \sigma$ est nul est nommé cas dégénéré et correspond aux variables aléatoires constantes. Cette convention étrange est commode, ou alors indispensable (par exemple pour définir les vecteurs gaussiens).

Notation : cette loi est notée $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ ^[1]
La loi normale centrée réduite est notée $\mathcal{N}(0,\, 1)$ .

On peut énoncer plusieurs propriétés, compte tenu de ce qui précède (le dernier point se démontrant de manière analogue).

Propriétés

Soit une variable aléatoire $\ X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ . Alors :

son espérance et sa variance existent et $\ \mathrm{E}(X) = \mu$ , $<img class=$ est telle que pour tout $x \in \R$ ,

$F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$

la variable aléatoire $Xˆ\star = \frac{X - \mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{V}(X)}}$ , c'est-à-dire $Xˆ\star = \frac{X - \mu}{\sigma}$ , suit la loi normale centrée réduite
si $\ \alpha,\, \beta$ sont deux réels ( $\ \alpha \neq 0$ ), alors la variable aléatoire $\ \alpha\, X + \beta$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\alpha\, \mu + \beta,\, \alphaˆ2\, \sigmaˆ2)$

Soit une variable aléatoire $\ X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ . Alors la variable aléatoire $exp (X)$ (de loi dite log-normale) possède les propriétés suivantes :

son espérance existe et vaut $\ \mathrm{E}[\exp(X)] = \exp\left( \mathrm{E}(X) + \frac{\mathrm{V}(X)}{2}\right) = \exp\left(\mu + \frac{\sigmaˆ2}{2}\right)$
sa variance existe et vaut $\ \mathrm{V}[\exp(X)] = \exp( 2 \mathrm{E}(X) + \mathrm{V}(X)) \left[\exp( \mathrm{V}(X)) - 1\right] = \exp( 2 \mu + \sigmaˆ2) (\exp(\sigmaˆ2) - 1)$

Soit une variable aléatoire $\ X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu_X,\, \sigma_Xˆ2)$ et $\ Y$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu_Y,\, \sigma_Yˆ2)$ . Alors, la divergence de Kullback-Leibler entre ces deux distributions est de la forme :

$D_{KL}(X\|Y) = \frac{1}{2} \left( \log \left( \frac{\sigma_Yˆ2}{\sigma_Xˆ2} \right) + \frac{\sigma_Xˆ2}{\sigma_Yˆ2} + \frac{(\mu_Y - \mu_X)ˆ2}{\sigma_Yˆ2} - 1 \right)$

Largeur à mi-hauteur

Quand on travaille sur une représentation graphique, on estime souvent la largeur de la gaussienne par sa largeur à mi-hauteur H (en anglais full width at half maximum, FWHM), qui est la largeur de la courbe à une altitude qui vaut la moitié de l'altitude du sommet. La largeur à mi-hauteur est proportionnelle à l'écart type :

$H = 2 \sqrt{2\ \ln(2)}\ \sigma \simeq 2,3548 \sigma$

Le facteur 2 permet de prendre en compte l'extension de la gaussienne dans les valeurs négatives.

Calcul de P (a ≤ X ≤ b)

Les résultats qui ont précédé permettent de ramener tout calcul de probabilité relatif à la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ à un calcul de probabilité relatif à la loi normale centrée réduite. On a vu qu'on dispose de tables donnant des approximations de valeurs de la fonction $\ \Phi$ , tables qu'on utilise toujours souvent, même si certaines calculatrices ou certains tableurs peuvent désormais les remplacer.

Si la variable aléatoire $\ X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ , et si $\ a,\, b$ sont deux réels tels que $\ a \leq b$ , on a :

$\ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$

Cas d'un intervalle centré à la moyenne, plages de normalité

Si t est un réel positif,

$\ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \Phi(t) - \Phi(-t) = \Phi(t) - (1 - \Phi(t)) = 2\, \Phi(t) - 1$

quand $\ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \alpha$ , où $\ \alpha \in\, ]0,\, 1[$ ,

ce qui équivaut à $\ 2\, \Phi(t) - 1 = \alpha$ , ou $\ \Phi(t) = \frac{\alpha + 1}{2}$ ,

l'intervalle $\ [\mu - t\, \sigma,\, \mu + t\, \sigma] = [\mathrm{E}(X) - t\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + t\, \sigma]$ est nommé plage de normalité au niveau de confiance

α

(si par exemple,

α = 0, 95

, on dit : "plage de normalité au niveau de confiance 95%" : en statistique, c'est un intervalle dans lequel se trouve 95% de la population quand la distribution est gaussienne).

Exemples numériques

Grâce à la table précédente, on obtient :

$\ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,6826$ ;

l'intervalle $[\mathrm{E}(X) - \sigma,\, \mathrm{E}(X) + \sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 68 %

$\ P(\mu - 0,5H \leq X \leq \mu + 0,5H) \simeq 0,76..$ ;

l'intervalle $[\mathrm{E}(X) - 0,5H,\, \mathrm{E}(X) + 0,5H]$ (H étant la largeur à mi-hauteur) est la plage de normalité au niveau de confiance 76 %

$\ P(\mu - 2\, \sigma \leq X \leq \mu + 2\, \sigma) \simeq 0,9544$ ;

l'intervalle $[\mathrm{E}(X) - 2\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + 2\, \sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 95 %

$\ P(\mu - 3\, \sigma \leq X \leq \mu + 3\, \sigma) \simeq 0,9974$ ;

l'intervalle $[\mathrm{E}(X) - 3\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + 3\, \sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 99 %

Champ d'application

Une planche de Galton nous montre que la loi binomiale tend vers la loi normale

Le Théorème de Moivre-Laplace affirme la convergence d'une loi binomiale vers une loi de Gauss lorsque le nombre d'épreuves augmente. On peut alors utiliser la loi normale comme approximation d'une loi binomiale de paramètres (n ; p) pour n grand et p, 1 - p de même ordre de grandeur ; on approche alors cette loi binomiale par la loi normale ayant même espérance $n p$ et même variance $n p (1 - p)$ .

On a dessiné ci-dessous :

la loi binomiale de paramètres $(12;1 / 3)$ (diagramme en bâtons rouge) et la loi normale correspondante d'espérance 4 et de variance $8 / 3$ (courbe verte)

la loi binomiale de paramètres $(60;1 / 3)$ (diagramme en bâtons rouge), et la loi normale correspondante d'espérance 20 et de variance $40 / 3$ (courbe verte)

Le mathématicien Carl Friedrich Gauss a introduit cette loi pour le calcul d'erreurs.

En statistiques, de nombreux phénomènes suivent des distributions gaussiennes : données biométriques des individus (Adolphe Quetelet).

Critères et tests de normalité

Critères de normalité

Le recours à une distribution gaussienne est si habituel qu'il peut finir par être abusif. Il faut alors rechercher des critères de normalité.

Le premier critère, le plus simple, consiste à tracer l'histogramme ou le diagramme en bâtons de la distribution ainsi qu'à vérifier si le diagramme est en forme de «cloche». Ce critère, subjectif, permet cependant d'éliminer une partie des distributions jugées alors non gaussiennes.

Le critère suivant consiste à utiliser les plages de normalité ou intervalles de confiance. On a vu que si une distribution est gaussienne :

68% de la population est dans l'intervalle $[\overline{x} -\sigma\, ;\, \overline{x}+\sigma]$ ,

76% de la population est dans l'intervalle $[\overline{x} -0,5H\, ;\, \overline{x}+0,5H]$ ,

95% de la population est dans l'intervalle $[\overline{x} -2\, \sigma\, ;\, \overline{x} + 2\, \sigma]$ ,

99% de la population est dans l'intervalle $[\overline{x} - 3\, \sigma\, ;\, \overline{x} + 3\, \sigma]$ .

Quand ces pourcentages ne sont pas respectés, il y a fort à parier que la distribution n'est pas gaussienne.

On peut aussi utiliser la droite de Henry, surtout lorsque on possède peu de renseignements sur la distribution. La droite de Henry va permettre de porter un diagnostic sur la nature non gaussienne de la distribution, et , dans le cas où celle-ci a des chances d'être gaussienne, elle permet d'en déterminer la moyenne et l'écart type.

Tests de normalité

Il existe aussi la plupart de tests de normalité :

Tests basés sur la fonction de répartition empirique : Test de Kolmogorov-Smirnov et son adaptation le test de Lilliefors (en) , ou le test de Anderson-Darling (en)

Tests basés sur les moments, comme le Test de Jarque Bera ou test D'Agostino's K-squared (en)

Test de correction du χ²

ou encore le test de Shapiro-Wilk (en)

Stabilité de la loi normale par la somme

La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne. Plus explicitement :

Soient $X_1,\, X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois $\mathcal{N}(m_1,\, \sigma_1ˆ2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\, \sigma_2ˆ2)$ .

Alors, la variable aléatoire $\ X_1 + X_2$ suit la loi normale $\mathcal{N}(m_1 + m_2,\, \sigma_1ˆ2 + \sigma_2ˆ2)$ .

Cette propriété se démontre directement (par convolution), ou indirectement (au moyen des fonctions caractéristiques).

Exemple

On prend ici le gramme comme unité de masse. Si la masse du contenu d'une boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 400 et de variance 25, et si celle du contenant suit la loi normale d'espérance 60 et de variance 4, alors (avec l'hypothèse, naturelle, d'indépendance) la masse totale de la boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 460 et de variance 29 ; son écart type est à peu près $5, 4$ grammes.

Stabilité de la loi normale par la moyenne

Soient des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois normales

La moyenne suit alors la loi

$\mathcal{N}\left(\tfrac {\mu_1+\mu_2+...+\mu_n} n,\tfrac {\sigma_1ˆ2+\sigma_2ˆ2+....+\sigma_nˆ2} {nˆ{2}}\right).$

Stabilité de la loi normale par la combinaison

Mélange de populations

Il ne faut pas confondre la somme de deux variables gaussiennes indépendantes, qui reste une variable gaussienne, et le mélange de deux populations gaussiennes, qui n'est pas une population gaussienne (voir aussi modèle de mixture gaussienne).

Un mélange constitué de

2/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 160 cm et d'écart type 15 cm, de densité f
1/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 130 cm et d'écart type 10 cm, de densité g

suit une loi de moyenne (2/3) ×160+ (1/3) ×130 = 150 cm, mais non gaussienne, de densité

h = (2/3) f + (1/3) g.

Sur la représentation graphique de la densité h, on peut apercevoir une double bosse : la distribution est bimodale.

Simulation

Il est envisageable de simuler, par exemple par ordinateur, un tirage aléatoire dont la loi est normale.

Les logiciels ou les langages de programmation possèdent généralement un générateur de nombres pseudo-aléatoires ayant une distribution uniforme sur ]0, 1[. On cherche par conséquent une fonction transformant ces nombres. Généralement, on peut prendre la fonction réciproque de la fonction de répartition : en l'occurrence, si la variable aléatoire $U$ suit la loi uniforme sur ]0, 1[, alors la variable aléatoire $\ \Phiˆ{-1}(U)$ suit la loi normale centrée réduite ; cependant, cette méthode est particulièrement malcommode, faute d'expressions simples des fonctions $\ \Phi$ et $\ \Phiˆ{-1}$ . Par contre, on peut aisément utiliser la méthode décrite ci-dessous.

Cas de la loi normale à une dimension

Pour simuler la loi normale à une dimension (celle qui a été étudiée jusqu'ici), on peut utiliser la méthode de Box-Muller dont voici le principe :
Si $U 1$ et $U 2$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $]0, 1[$ , alors on démontre assez facilement que les variables aléatoires :

$T_{1}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \cos (2\pi U_{2})$

$T_{2}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \sin (2\pi U_{2})$

suivent toutes deux la loi normale centrée réduite (et sont indépendantes).

Les variables aléatoires $X_1 = \mu + \sigma\, T_1$ et $X_2 = \mu + \sigma\, T_2$ suivent par conséquent toutes deux la loi normale $\, \mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$ , et indépendamment l'une de l'autre.

Voir aussi

(fr) Générateur de nombres aléatoires gaussiens, message de news :fr. sci. maths, 27 janvier 2000 ;
(en) Generating Gaussian Random Numbers

Cas de la loi multinormale

La loi multinormale ou loi normale sur $\Rˆn$ étend la loi normale à un vecteur aléatoire $X = (X_1,\, X_2,\dots,\, X_n)$ à valeurs dans $\Rˆn$ .

Elle est caractérisée par deux paramètres : un vecteur $m$ de moyennes, et une matrice de variance-covariance $V$ (carrée d'ordre n).

Pour simuler une loi multinormale non dégénérée de paramètres $m$ et $V$ , on utilise la méthode suivante :

Soit $T$ un vecteur aléatoire à $n$ composantes gaussiennes centrées réduites et indépendantes (la loi de $T$ , multinormale, a pour moyenne le vecteur nul et pour matrice de variance-covariance la matrice identité).
Soit $L$ la matrice résultant de la factorisation de Cholesky de la matrice $V$ .
Alors, le vecteur aléatoire $X = m + L T$ suit la loi multinormale de moyenne $m$ et de variance-covariance $V$

(on convient dans cette dernière relation d'identifier chaque élément de $\Rˆn$ avec la matrice colonne de ses composantes en base canonique).

Le calcul de l'intégrale de Gauss

On trouvera ce calcul (utilisant une intégrale double) dans l'article sur l'intégrale de Gauss.

Annexes

Notes et références

on a aussi utilisé la notation $\mathcal{N}(\mu,\, \sigma)$ , mais cette notation, qui n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-) normale sur $\ \Rˆn$ , tend à céder la place à la notation "classique" $\mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2)$

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