Loi du zéro-un de Borel

Dans un espace probabilisé considérons une suite d'éléments de. La loi du zéro-un de Borel stipule que ...

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Théorème de mathématiques - Probabilités

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. 4 (loi du zéro un de Kolmogorov) — Soit (Xn) n∈N... Lemme 2.5 (Borel -Cantelli) — Soient (Ω, F, P) un espace probabilisé et (An) n∈N ⊂ F une... (source : univ-rouen)
Par Borel Cantelli, `a partir d'un certain rang (dépendant de ω) Yn = Xn. Les... Loi du zéro -un Supposons les v. a. Xi indépendantes. Alors tout événement A... (source : catalogue.polytechnique)
) Indépendance : tribus indépendantes, variables aléatoires indépendantes, loi du zéro -un, Borel -Cantelli, inégalités de Kolmogorov et de ... (source : fr.answers.yahoo)

Dans un espace probabilisé considérons une suite d'éléments de (ou "évènements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements sont indépendants, alors $\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général est convergente ou divergente.

Démonstration

Si la série de terme général est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.
Supposons que la série de terme général est divergente, et montrons que

$\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=1,$

ou bien, plutôt, montrons que

$\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=0.$

On remarque que

$\begin{align} \overline{\limsup_n A_n} &= \overline{\bigcap_{n\ge0}\bigcup_{k\ge n} A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}\bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}B_n \\ (&= \liminf_n\overline{A_k}), \end{align}$

où

$B_n= \bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} =\overline{A_n}\cap B_{n+1}$

est une suite croissante d'évènements. Ainsi

$\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=\lim_n\ \mathbb{P}\left(B_n\right).$

On conclut en montrant que. Posons

$B_{n,\ell}= \bigcap_{n\le k\le n+\ell}\overline{A_k} =\overline{A_{n+\ell}}\cap B_{n,\ell-1}.$

En vertu de l'indépendance des

$\mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right)= \prod_{n\le k\le n+\ell}\mathbb{P}\left(\overline{A_k}\right) =\prod_{n\le k\le n+\ell}\left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right).$

En vertu de la décroissance en de

$\mathbb{P}\left(B_{n}\right)= \lim_{\ell} \mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right) =\prod_{k\ge n}\left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right).$

Comme est une série divergente,

CQFD

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Rend. Circ. Math. Palermo 27, pp. 247-271, par Émile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Légèrement plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Limite supérieure d'ensembles

Définition — La limite supérieure d'une suite de parties d'un ensemble est la totalité des éléments de tels que l'assertion soit vérifiée pour une illimitété d'indices.

En d'autres termes, on peut dire que si et uniquement si la totalité est illimité, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout, on peut trouver tel que. Cette dernière formulation apporte une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles avec opérations élémentaires sur les ensembles :

$\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi quelquefois que si et uniquement si "illimitément fréquemment" ou bien "illimitétely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

$\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).$

La définition " si et uniquement si appartient à une illimitété de " peut induire en erreur : si, par exemple, l'ensemble des parties sont identiques, il se peut que appartienne à pour une illimitété d'indices, et il se peut par conséquent que appartienne à sans pour tout autant qu' appartienne à une illimitété de (dans la mesure où il n'existe, au fond, qu'un seul).

Voir aussi

Lemme de Borel-Cantelli
Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien
Émile Borel, mathématicien français
Loi du zéro un de Kolmogorov
Limites inférieure et supérieure

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