Loi des tangentes

En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.



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Mathématiques élémentaires - Trigonométrie

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  • convient aussi au triangle sphérique ; et qu'en désignant par 1... du sommet C d'un triangle (fig. (3) sur la direction de sa base est ... découvert la loi de la série qui donne la longueur de la tangente en fonction... (source : archive.numdam)
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

Alors,

\frac{\frac{a-b}2 }{\frac {a+b}2 } = \frac{\tan \frac{\alpha-\beta}2 }{\tan \frac{\alpha+\beta}2 }.

Généralisation aux géométries non euclidiennes

Fig. 2 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

\,a = BC/\rho,
\,b = AC/\rho,
\,c = AB/\rho.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 2).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC (Fig. 2), la loi des tangentes devient :

\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}.

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