Loi de Bernoulli

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité



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  • Et comme les Xi sont des variables aléatoires de loi de Bernoulli de ..... L'univers Ω de cette expérience aléatoire est la totalité des p- listes de {P1... (source : pagesperso-orange)
Bernoulli
Paramètres <img class=nombre réel)
q\equiv 1-p\,
Support k=\{0,1\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse) 
    \begin{matrix}
    q & \mbox{pour }k=0 \\p∼∼ & \mbox{pour }k=1
    \end{matrix}
Fonction de répartition <img class=Espérance p\,
Médiane (centre) non disponible
Mode \textrm{max}(p,q)\,
Variance pq\,
Asymétrie (statistique) \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{3pˆ2-3p+1}{pq}\,
Entropie -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Fonction génératrice des moments q+peˆt\,
Fonction caractéristique q+peˆ{it}\,

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité

  
\mathbb{P}(X=x) = \left\{\begin{array}{ll} p &\quad\mbox {si }x=1, \\ 1-p &\quad\mbox {si }x=0, \\ 0 &\quad\mbox {sinon.}\end{array}\right.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut p (1-p) .

Le kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c'est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est nommée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

D'une façon plus générale, toute application mesurable à valeur dans {0, 1} est une variable de Bernoulli. C'est à dire, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω, A, P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Distributions liées

Loi binomiale

Si sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes et semblablement distribuées, alors leur somme N suit la loi binomiale :

N = \sum_{k=1}ˆn X_k \sim \mathcal{B}(n,p)

Loi de Poisson

Soit un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs On note

S_n=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}.\

Inégalité de Le Cam[1] — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

\left|\mathbb{P}\left(S_n\in  A\right)-\sum_{k\in  A}\,\frac{\lambda_nˆk\,eˆ{-\lambda_n}}{k!}\right|\  \le\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.

En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :

  • <img class=

alors Sn converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Les deux conditions ci-dessus entrainent que

Conséquence : paradigme de Poisson —  La somme Sn de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre

Remarques :

Applications au comptage

Écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli, permet fréquemment de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli :

\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.

On utilise le fait que, pour une variable de Bernoulli, le paramètre p est à la fois l'espérance et la probabilité de la valeur 1 :

\mathbb{E}[X_i]\ =\ \mathbb{P}(X_i=1).

Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, occasionnellemen. On trouvera ci-dessous quelques exemples, parmi les plus représentatifs, de cette méthode de comptage particulièrement répandue.

Sondage

On effectue une série de n tirages au hasard dans une population. On pose la même question à chacun des n individus tirés au hasard. L'objectif est d'estimer la proportion p d'individus de la population totale qui auraient répondu "oui" (si on leur avait posé la question) à l'aide du nombre N d'individus qui ont effectivement répondu "oui" parmi les n individus interrogés. On remarque que N peut s'écrire

N = \sum_{k=1}ˆn X_k,

X1, X2, ..., Xn sont définies par

X_k\,=\, 1\!\!1_{\text{la reponse du }k\text{-eme individu est }oui},

i. e. Xk vaut 1 ou 0 selon que la réponse du k-ème individu est "oui" ou "non". Étant une fonction indicatrice, Xk est par conséquent une variable de Bernoulli. Son paramètre est "la probabilité de répondre "oui"", à savoir la proportion de "oui" dans la population totale, c'est-à-dire p. On a donc

\mathbb{E}[N]=\sum_{1\le i\le n} \mathbb{P}(X_i=1)\ =\ np,\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}[N/n]=p.

D'où l'idée, proposée par Bernoulli dans son ouvrage fondateur "Ars Conjectandi", d'estimer cette proportion p a priori inconnue avec la proportion N/n de "ouis" dans l'échantillon, qui est , elle , connue. Dans l'objectif de déterminer la précision de cette estimation, Bernoulli a proposé dans le même ouvrage les premières inégalités de concentration (pour la loi binomiale) [3]. Une approche plus simple (mais produisant des inégalités de concentration plus grossières) que celle de Bernoulli, serait de calculer la variance de N, dans l'idée d'appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. A ce stade, il est indispensable de préciser

\text{Var}(N)=\sum_{1\le i\le n} \text{Var}(X_i)\ =\ np(1-p).
Dans le cas "avec remise", N suit la loi binomiale.
\text{Var}(N)=\sum_{1\le i\le n} \text{Var}(X_i)\ + 2\sum_{1\le i<j\le n}\text{Cov}(X_i,X_j).
En ce cas N suit la loi hypergéométrique, et les calculs requierrent de connaître la taille totale de la population, qu'on notera T dans la suite. On a
\text{Cov}(X_i,X_j)=\mathbb{E}[X_iX_j]-\mathbb{E}[X_i]\mathbb{E}[X_j]=\mathbb{P}(X_iX_j=1)-pˆ2.
En effet la variable Z=XiXj vaut 0 ou 1, et est par conséquent une variable de Bernoulli. On a alors
\mathbb{P}(X_iX_j=1)\,=\,\frac{pT}T\,\frac{pT-1}{T-1}\,\quad\text{et}\quad\text{Cov}(X_i,X_j)=-\frac{p(1-p)}{T-1},
puis
\text{Var}(N)\ =\ \frac{p(1-p)n(T-n)}{T-1}.

Dans les deux cas reconnus ci-dessus, la loi de N est connue explicitement. Cependant, le calcul de l'espérance de N utilisant la décomposition de N en somme de variables de Bernoulli, présenté ci-dessus, est plus simple que le calcul de l'espérance de N utilisant le théorème de transfert :

\mathbb{E}[N]=\sum_{1\le k\le n}\ k\,\mathbb{P}(N=k).

La même remarque vaut pour le calcul de la variance.

Problèmes d'allocation : urnes et boules

On jette m boules au hasard dans n boites, expérience probabiliste dont un évènement élémentaire ω est une application de dans  : ω (k) est le numéro de la boite dans laquelle est rangée la boule numéro k. Ainsi les ω (k) sont des variables aléatoires indépendantes et uniformes sur A. L'application N, qui à une distribution ω de m boules dans n boites associe le nombre N (ω) de boites vides à la fin de cette distribution ω, peut être vue comme une somme de variables de Bernoulli : en effet,

N = \sum_{k=1}ˆn X_k,

X1, X2, ..., Xn sont définies par

X_k\,=\, 1\!\!1_{\text{la }k\text{-eme boite est }vide},

i. e. Xk vaut 1 ou 0 selon que la k-ème boite est vide ou pas. Étant une fonction indicatrice d'évènement, Xk est par conséquent une variable de Bernoulli. Son paramètre est "la probabilité d'être vide", i. e. la probabilité que chacune des m boules ait évité la boîte n°k. Chacune des m boules ayant une probabilité 1/n de tomber dans la boîte n°k, et les allocations des m boules étant indépendantes, on obtient

\mathbb{E}[X_k]=\mathbb{P}(X_k=1)\ =\ \left(1-\tfrac1n\right)ˆm,

puis

\mathbb{E}[N]=\sum_{1\le k\le n} \mathbb{P}(X_k=1)\ =\ n\left(1-\tfrac1n\right)ˆm.

Grace à cette décomposition en somme de variables de Bernoulli, on peut obtenir une inégalité de concentration précise pour N, en appliquant l'inégalité d'Azuma[4]. Cette inégalité de concentration sert à justifier une méthode statistique de comptage approximatif[5] basée sur la statistique N, et pouvant servir, par exemple, à déceler une attaque de virus informatique.

Points fixes d'une permutation tirée au hasard

On jette n boules numérotées au hasard dans n boites numérotées, chacune de ces boites contenant au plus une boule, expérience probabiliste dont un évènement élémentaire est une permutation des éléments de  : est , ici encore, le numéro de la boite dans laquelle est rangée la boule numéro k. On suppose que les différentes distributions (permutations) envisageables sont équiprobables. L'application N, qui à une distribution de n boules dans n boites associe le nombre de boules portant le même numéro que la boite dans laquelle elles sont rangées à la fin de cette distribution peut être vue comme une somme de variables de Bernoulli : en effet,

N = \sum_{k=1}ˆn X_k,

X1, X2, ..., Xn sont définies par

X_k\,=\, 1\!\!1_{k\text{ est un point fixe de }\omega},

i. e. Xk vaut 1 ou 0 selon que la k-ème boite contient la k-ème boule ou pas. Étant une fonction indicatrice d'évènement, Xk est par conséquent une variable de Bernoulli. Son paramètre est 1/n. On obtient que

\mathbb{E}[N]=\sum_{1\le k\le n} \ \tfrac1n\ =\ 1.

En suivant une démarche analogue à celle suivie pour un sondage (cas sans remise) , on trouve que

\mathbb{P}(X_iX_j=1)\,=\,\tfrac1{n(n-1)},\quad\text{Cov}(X_i,X_j)=\tfrac{1}{nˆ2(n-1)},\quad\text{puis}\quad\text{Var}(N)\ =\ 1.

Le principe d'inclusion-exclusion sert à calculer précisément la loi de N, et de constater que cette loi converge, quand n tend vers l'infini, vers la loi de Poisson de paramètre 1. Cet exemple est représentatif : généralement, la loi de Poisson de paramètre est une bonne approximation de la loi de la somme N de la plupart de variables de Bernoulli de petit paramètre et peu corrélées[2]. Ici encore, un avantage de l'écriture de N comme somme de variables de Bernoulli est de permettre un calcul rapide de l'espérance et de la variance de N, ce que l'expression explicite de la loi de N ne permet pas.

Nombre d'occurrences d'un mot dans un texte (paradoxe du singe dactylographe)

On considère un texte ω=ω1ω2ω3... ωm constitué de m caractères d'imprimerie tous tirés au hasard, avec remise, d'un sac contenant précisément une fois chaque caractère d'imprimerie. On note la totalité des caractères d'imprimerie, n le cardinal de Soit une suite a=a1a2a3... ar de caractères de par exemple un mot, comme Wikipedia (r=9 dans ce cas spécifique). L'application N, qui à un texte ω associe le nombre N (ω) d'occurrences de la suite a dans le texte ω peut être vue comme une somme de variables de Bernoulli : en effet,

N = \sum_{k=1}ˆ{m-r+1} X_k,

X1, X2, ..., Xm-r+1 sont définies par

X_k\,=\, 1\!\!1_{\omega_k\omega_{k+1}\omega_{k+2}\dots\omega_{k+r-1}=a},

i. e. Xk vaut 1 ou 0 suivant que la suite a apparait dans le texte ω, juste après le k-1-ème caractère de ce texte ω, ou pas. Étant une fonction indicatrice d'évènement, Xkest par conséquent une variable de Bernoulli. Son paramètre est

\mathbb{P}(\omega_k\omega_{k+1}\omega_{k+2}\dots\omega_{k+r-1}=a)\ =\ \frac1{nˆ{r}}.

Ainsi

\mathbb{E}[N]=\sum_{1\le k\le m-r+1}\ \mathbb{P}(X_k\,=\, 1)\ =\ \frac{m-r+1}{nˆ{r}}.

L'intuition est tandis qu'il faut un texte ω de longueur au moins m=nr pour que l'évènement (c'est à dire l'évènement "le mot a apparait au moins une fois dans le texte ω") devienne probable. En effet, l'inégalité de Markov entraine que

\mathbb{P}(N\ge 1)\le\mathbb{E}[N].

Le paradoxe du singe dactylographe, popularisé par Émile Borel, exploite les propriétés de N quand la longueur r de la séquence de caractères a est particulièrement grande. Dans l'exemple donné par Émile Borel, la séquence a est un texte classique de la littérature française, par exemple le texte intégral de "La Comédie humaine". L'analyse statistique des suites de caractères tirés au hasard indépendamment, ou tirés au hasard suivant des modèles plus particulièrement élaborés, a de nombreuses applications, comme l'analyse des performances de différentes méthodes de compression de données ou l'étude du génome, et est à l'origine de la formalisation, par Andreï Markov, de la notion de chaîne de Markov.

Nombre de records et nombre de cycles d'une permutation

Définition — Dans une suite u= (uk) 1≤k≤n, il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k si uk est strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chaque terme ui tel que i, autrement dit strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chacun des termes qui le précèdent.

Exemple. Les records vers le bas de la suite ω ci-dessous sont en gras et soulignés :

\ \omega\ {=}\ (\underline{\bold{13}},14,\underline{\bold{11}},15,\underline{\bold{7}},9,\underline{\bold{4}},5,12,\underline{\bold{3}},\underline{\bold{1}},6,10,8,2).

Soit B (k) (resp. H (k) ) l'évènement "il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k". C'est à dire, B (k) est la totalité des permutations ω de pour lesquelles la suite (ω (1), ω (2), ω (3), ..., ω (n) ) présente un record vers le bas au rang k. Ainsi le nombre Nb (ω) (resp. Nh (ω) ) de records vers le bas (resp. vers le haut) de la permutation ω s'écrit comme une somme de variables de Bernoulli :

N_b(\omega)=\sum_{1\le k\le n}\ 1\!\!1_{B(k)}(\omega)\quad\text{et}\quad N_b(\omega)=\sum_{1\le k\le n}\ 1\!\!1_{H(k)}(\omega).

En vertu des propriétés statistiques du code de Lehmer, ces variables de Bernoulli ont pour paramètres respectifs 1/k :

\mathbb{P}(B(k))=\mathbb{P}(H(k))=\tfrac1k.

Ainsi

\mathbb{E}[N_b]=\mathbb{E}[N_h]=\sum_{k=1}ˆn\frac{1}k=H_n\simeq \ln n,

Hn sert à désigner le n-ème nombre harmonique. Comme, toujours en vertu des propriétés statistiques du code de Lehmer, les variables de Bernoulli concernées sont indépendantes[6], on a aussi

\text{Var}(N_b)=\text{Var}(N_h)=H_n-H_nˆ{(2)}\simeq \ln n,

Hn (2) est le nombre harmonique défini par

H_nˆ{(2)}=\sum_{k=1}ˆn\frac{1}{kˆ2},

et converge vers ζ (2) , i. e. vers π2/6.

La correspondance principale de Foata sert à montrer que les deux applications suivantes :

  • le nombre Nb (ω) de records d'une permutation ω tirée au hasard,
  • le nombre C (ω) de cycles de la décomposition d'une permutation ω tirée au hasard, sont deux variables aléatoires ayant même loi de probabilité.

Ainsi, en vertu du théorème central limite, le nombre de cycles d'une permutation tirée au hasard, comme son nombre de records, sont particulièrement concentrés autour leur espérance, qui vaut approximativement ln n :

\lim_n\,\mathbb{P}\left(\left|N_b-\ln(n)\right|\le a\sqrt{\ln(n)}\right)\ =\ \int_{-a}ˆa\ \tfrac1\sqrt{2\pi}\ eˆ{-xˆ2/2}\ dx\ =\ 0,999,

pour a=3, 3. La loi de Nb s'exprime en terme des nombres de Stirling de première espèce, notés  :

\begin{align}
\mathbb{P}\left(N_b=k\right)&=\tfrac{(-1)ˆ{n-k}}{n!}\ \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right],
\\\mathbb{P}\left(x\le N_b\le y\right)&=\sum_{k=x}ˆy\tfrac{(-1)ˆ{n-k}}{n!}\ \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right],\end{align}

ce qui donne une formule exacte, mais peu explicite, pour formule exacte dont il est complexe de déduire un calcul effectif de la probabilité en question. Tandis que la décomposition de Nb en somme de variables de Bernoulli permet ce calcul effectif, à l'aide du théorème central limite.

Coût moyen de l'algorithme de tri rapide

L'algorithme de tri rapide, aussi nommé Quicksort, est un des algorithmes les plus utilisés pour ranger, dans l'ordre croissant, une liste désordonnée x= (x1, x2, x3, ..., xn) de n articles, avec un petit nombre de comparaisons deux à deux. En effet Quicksort est connu à la fois simple et efficace. Quicksort se déroule de la manière suivante :

  • on compare x1 avec chacun des éléments de la liste (x2, x3, ..., xn) , ce qui sert à former 2 sous-listes, la liste des ω1-1 éléments plus petits (resp. des n-ω1 éléments plus grands) que x1. Cela apporte le rang ω1 que x1 occupera dans la liste une fois que celle-ci sera bien rangée.
  • on compare x2 avec chacun des éléments de sa sous-liste, ce qui sert à trouver le rang de x2 dans cette sous-liste, et finalement le rang ω2 que x2 occupera dans la liste complète une fois que celle-ci sera bien rangée. D'autre part cela scinde une des deux sous-listes constituées à l'étape précédente en deux, constituant ainsi 3 sous-listes, dont certaines, peut-être, peuvent être vides (si x1 ou x2 sont des éléments extrémaux de leur (sous-) liste).
  • on compare x3 etc...

Une implémentation concrète de cet algorithme abstrait est décrite par Don Knuth dans The art of computer programming[7].

La performance de Quicksort, dans le pire des cas (pire des cas qui correspond à une liste déjà bien rangée, dans l'ordre croissant ou décroissant), est de l'ordre de n2 comparaisons deux à deux. Pour cette raison, une liste constituée de concaténations de listes bien rangées coûtera cher à ranger, en nombre de comparaisons effectuées. Le remède fréquemment adopté pour pallier cette faiblesse de Quicksort est de désordonner artificiellement la liste avant de la traiter : on note ω= (ω (1), ω (2), ω (3), ..., ω (n) ) les rangs respectifs des éléments (x1, x2, x3, ..., xn) de la liste désordonnée au préalable, une fois que ces éléments sont rangés en une liste croissante (y1 < y2 < y3 < ... < yn) , de sorte que xi =yω (i) . On suppose par conséquent que la liste a été prétraitée de sorte que ω soit une permutation tirée au hasard avec équiprobabilité parmi les n! permutations envisageables. On note N (ω) le nombre de comparaisons effectuées par l'algorithme. Alors

N(\omega)=\sum_{1\le i<j\le n}\ 1\!\!1_{A(i,j)}(\omega),

A (i, j) est l'évènement "yi et yj sont comparés une fois au cours de l'algorithme". En découle une analyse élémentaire du coût moyen de Quicksort, plus simple que la méthode classique utilisant une formule de récurrence et un calcul de fonction génératrice.

Proposition — On a [8]

\mathbb{P}\left(A(i,j)\right)\ =\ \frac2{j-i+1},

et


\mathbb{E}[N]\ =\ 2(n+1)\,H_n\,-\,4n\ \simeq\ 2n\,\ln(n).

Ainsi la randomisation de la liste apportée en entrée sert à diminuer le coût de l'algorithme, de n2 à 2n ln (n) . Une analyse plus poussée sert à démontrer que N est particulièrement concentré autour de sa moyenne 2n ln (n) . Plus exactement, la variance de N est asymptotiquement (7- (2π2/3) ) n2. Notons que le coût (coût moyen ou coût dans le pire des cas) de n'importe quel algorithme de tri utilisant des comparaisons 2 à 2 est minoré par ln (n!) /ln (2) qui, selon la formule de Stirling, vaut approximativement 1, 4... n ln (n) .

Voir aussi

Notes

  1. L. Le Cam, «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution», dans Pacific Journal of Mathematics, vol.  10, no 4, 1960, p.  1181–1197 [texte intégral (page consultée le 2009-05-13) ] 
  2. (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992 (ISBN 0198522355)  .
  3. (en) Stephen M. Stigler, The History of Statistics : The Measurement of Uncertainty before 1900, Belknap Press of Harvard University Press, Harvard, 1er mars 1990, 1re éd. , 432 p. (ISBN 978-0674403413 et ISBN 067440341X) , chap.  2 («Probabilists and the measurement of uncertainty»), p.  65-70 .
  4. (en) Rajeev Motwani et Prabhakar Raghavan, Randomized Algorithms, [University Press], Cambridge ; New York, août 1995, 1re éd. , 476 p. (ISBN 9780521474658) , chap.  4 («Tail inequalities»), p.  94–95 , Théorème 4.18.
  5. proposée par (en) Kyu-Young Whang et Ravi Krishnamurthy, «Query optimization in a memory-resident domain relational calculus database system», dans ACM Transactions on Database Systems (TODS) , ACM, New York, NY, USA, vol.  15, no 1, March 1990, p.  67–95 (ISSN 0362-5915) [texte intégral] .
  6. (en) Don Knuth, The art of computer programming : Sorting and Searching, t.  3, Addison-Wesley, Reading, 1981, 2e éd. , p.  13 .
  7. (en) Don Knuth, The art of computer programming : Sorting and Searching, t.  3, Addison-Wesley, Reading, 1997, 3e éd. (ISBN 0-201-89685-0) , «Sorting by Exchanging», p.  113–122 .
  8. (en) Michæl Mitzenmacher et Eli Upfal, Probability and Computing : Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, avril 2005, 1re éd. , 368 p. (ISBN 9780521835404 et ISBN 0521835402) , chap.  2 («Discrete Random Variables and Expectation, Section 2.5»), p.  34-37 .

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