Logique

La logique est la base des démonstrations en mathématique. Quoiqu'elle apparaisse de manière cachée dans toute l'argumentation mathématique, elle est indispensable à la compréhension de théorème.



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Mathématiques élémentaires
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La logique est la base des démonstrations en mathématique. Quoiqu'elle apparaisse de manière cachée dans toute l'argumentation mathématique, elle est indispensable à la compréhension de théorème. Elle se formalise sous forme de table de vérité dans l'algèbre de Boole

Aspect expérimental

Implications et équivalences

En logique, on découvre des conditions nécessaires, des conditions suffisantes, des implications, des équivalences, des réciproques et des contraposées. Chacun de ces mots correspond à un lien logique entre des propositions.

Dans l'affirmation :

si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme.

On dit que

On écrira ABCD est un carré \Rightarrow ABCD est un parallélogramme. Cette relation se nomme une implication.

On peut remarquer que

On remarque par conséquent que l'implication

ABCD est un parallélogramme \Rightarrow ABCD est un carré

est une implication fausse.

Renverser le sens d'une implication, c'est prendre la réciproque.

Dans le cas de notre exemple, On peut dire que l'implication

"si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme"

est une implication juste mais que sa réciproque est fausse.

On remarque que dans une implication, il y a fréquemment perte d'information entre le premier terme de l'implication et le second.

D'après notre affirmation précédente, on peut remarquer que

si ABCD n'est pas un parallélogramme alors ABCD n'est pas un carré

Inverser le sens de l'implication et prendre la négation des affirmations se nomme prendre la contraposée de l'implication. Dans l'ensemble des cas, si une implication est juste alors sa contraposée est juste.

Quand une implication est vraie et que sa réciproque est vraie aussi, on dit que les deux affirmations sont équivalentes :

A titre d'exemple, pour trois points ABC différents, on a :

L'implication et sa réciproque sont vraies, les deux affirmations sont par conséquent équivalentes. On écrira donc

ABC est rectangle en A si et uniquement si (abrégé en ssi) AB² + AC² = BC²

que on raccourcit quelquefois en

ABC est rectangle en A \Leftrightarrow AB² + AC² = BC²

Quantificateurs

En réalité, une affirmation n'est vraie que dans un domaine spécifique, il faut par conséquent préciser le domaine de validité et préciser pour quels éléments c'est vrai.

L'affirmation

\geq 0

n'a aucun sens hors contexte. Par contre, on peut trouver

Les précisions "il existe" et "pour tout"" sont nommés des quantificateurs. Fréquemment sous-entendus dans les raisonnements, ils sont toujours indispensables. On peut remarquer que pour le théorème de Pythagore cité auparavant, il a été précisé, par un quantificateur, le domaine de validité "pour tous points A, B, C différents".

Contraire

Prendre le contraire d'une affirmation, c'est exprimer la proposition qui sera vraie si et uniquement si la précédente est fausse. Le contraire de la phrase

"dans cette salle, l'ensemble des personnes sont des filles"

est

"dans cette salle, il existe au moins une personne qui n'est pas une fille".

Lorsque on maîtrise bien la logique et les quantificateurs, on sait prendre la négation de toute proposition : il suffit d'inverser les quantificateurs et de prendre la propriété contraire.

Le contraire de

"pour tout réel x, f (x) = f (-x) " (qui traduit la parité d'une fonction définie sur R)

est

"il existe un réel x tel que f (x) \ne f (-x) (qui traduit le fait qu'une fonction définie sur R n'est pas paire)

On s'aperçoit ainsi qu'il existe des règles de calcul en logique qu'on peut formaliser avec tables de vérité

Approche d'une formalisation

Les bases

Soit P une proposition.
On dit que P est vraie ou fausse.

Soit P une propriété à un état. Alors non P est à l'état opposé.

On peut ainsi établir une table de vérité :

P nonP non (nonP)
V F V
F V F

Et ceci montre que P = non non P.

Maintenant, et c'est ce qu'il y a de plus intéressant, concentrons-nous sur les relations :

Prenons les deux relations basiques : «et» et «ou» (il faut que P soit vrai et que Q soit vrai, ou respectivement, que P soit vrai ou Q soit vrai, pour que la relation soit vraie). On dit que R=P. Q= (P et Q) est vraie si tous deux sont vrais à la fois. On dit que R=P+Q= (P ou Q) est vraie si l'un ou l'autre est vrai.

On établit alors la table de vérité :

P Q P et Q P ou Q
F F F F
F V F V
V F F V
V V V V

Soit P et Q deux propositions. Soit R la relation ⇒ (il suffit que)

P Q P ⇒ Q
F F V
F V V
V F F
V V V

Ceci est la définition de la relation implication.

De même, pour la relation (il faut que)

P Q P ⇐ Q
F F V
F V F
V F V
V V V

Enfin, pour que R : ⇔ soit vrai (équivalence), il faut que ⇒ et ⇐ soient vraies :

P Q P ⇒ Q P ⇐ Q P ⇔ Q
F F V V V
F V V F F
V F F V F
V V V V V

L'analyse de telles tables nous sert à montrer que, par exemple, dans une démonstration, pour que P ⇔ Q, il faut et il suffit que P ⇒ Q ET non P ⇒ non Q.

En effet :

P Q nonP nonQ P ⇒ Q nonP ⇒ nonQ P ⇒ Q et
nonP ⇒ nonQ
P ⇔ Q nonP et nonQ
F F V V V V V V V
F V V F V F F F F
V F F V F V F F F
V V F F V V V V F

On vient là de démontrer que la réciproque d'un théorème pouvait se montrer en partant de l'inverse des hypothèses pour arriver à l'inverse de la conclusion.

De la même façon, il est aisé de montrer avec ces tables de vérité que P ⇒ Q est équivalent à nonP ou Q. On laissera le lecteur faire le tableau pour s'en convaincre.

La logique est par conséquent à la base des mathématiques, et leur sert à faire l'ensemble des démonstrations nécessaires pour les théorèmes les plus simples comme les plus complexes.

Résultats importants

Les lignes suivantes sont «vraies». Il s'agit de relations vraies quelles que soient P et Q deux propositions.

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