Limite

En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur spécifique quand la variable prend des valeurs extrêmes.



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Analyse réelle - Topologie générale

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Définitions :

  • Une restriction; un point réel fini au-delà duquel on ne doit pas aller; Pour une suite dans un espace topologique, un élément dont tout... (source : fr.wiktionary)
  • limites - jusqu'où aller avec les autres, jusqu'où leur permettre d'aller avec nous. (source : analanon.wordpress)

En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur spécifique quand la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition particulièrement intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de «s'approcher» et celle de «valeur extrême».

Historiquement, les mathématiques se sont en premier lieu intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient d'une valeur spécifique, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche qu'on veut de cette valeur spécifique. La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeur absolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux espaces topologiques et «être proche» veut dire alors «être dans un voisinage arbitrairement choisi».

Par la suite est intervenue la notion de limite de fonction, originellement rattachée à la limite de suite. Pour chercher la limite d'une fonction lorsque la variable s'approche de a, on cherchait à déterminer la limite de la suite (f (un) ) pour toute suite (un) dont la limite était a. La complexité de cette approche et la multiplicité des cas ont conduit à définir la notion de limite de fonction indépendamment de celle de limite de suite. Pour pouvoir manipuler la notion de limite et l'exploiter sans erreur, il a été indispensable de la définir de manière plus précise et plus formelle. C'est ainsi que cet article présente une définition formelle de la limite d'une suite convergente, de la limite d'une fonction à valeurs dans R, la notion de limite illimitée, et présente le cas de l'espace métrique et de l'espace topologique.

Voir aussi, pour une présentation plus abordable, l'article limite dans la série Mathématiques élémentaires.

Limite d'une suite de nombres réels

Article détaillé : limite de suite.

Supposons que (x1, x2, ... ) soit une suite de nombres réels. On dit que cette suite est convergente si, par définition :

il existe un réel L tel que pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n0 (qui dépend de ε) tel que pour tout entier n>n0 on ait |xn - L| < e. Ce qui s'écrit :

<img class= ou bien toujours, ce qui revient au même
<img class=

Intuitivement, cela veut dire que l'ensemble des termes de la suite deviennent aussi proches qu'on veut d'un réel L, dès que n est assez grand; la valeur absolue |xn - L| peut être interprétée comme la distance entre xn et L.

On démontre que, pour une suite convergente, le réel L de la définition est unique. Ce réel L est nommé la limite de cette suite et on écrit :


\lim_{n \to +\infty}x_n = L

ou encore, en considérant x comme la fonction n\mapsto x_n, on peut écrire 
\lim_{+\infty} x = L
.

Par contre, il est recommandé d'éviter des notations hybrides, du genre 
\lim x_n = L
dans laquelle l'indice muet n'est pas clairement identifié. On peut considérer que c'est n qui est fixé et x qui tend vers quelque chose, en un sens à définir.

Toutes les suites ne sont pas convergentes et , dans le cas où une suite n'est pas convergente, elle est dite non convergente ou divergente. Certains préfèrent réserver le terme divergent aux suites non convergentes non bornées.

Exemples


Limite d'une fonction en un point

Supposons que f : UR soit une fonction, où U est un sous-ensemble de la totalité des réels. Si p est un réel, et si f est définie au voisinage[1] de p, on dit[2] que f admet une limite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x - p| < d, on ait |f (x) - L| < e.

On démontre que le réel L de la définition, quand il existe, est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note :


\lim_{x \to p}f(x) = L

On peut démontrer que ceci est équivalent à

pour tout suite convergente (xn) dans U de limite égale à p, la suite (f (xn) ) est convergente de limite L.

Remarquons que la fonction n'a pas besoin d'être définie en p, mais si la fonction est définie en p alors, si elle admet une limite, cela ne peut être que f (p) et on dit tandis que l'application f est continue en p.

Définissons désormais la limite épointée (ou limite par valeurs différentes)  :

On dit que f admet une limite épointée (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que 0 < |x - p| < d, on ait |f (x) - L| < e.

De même ce nombre L est alors unique et on note :


\lim_{x \to p, x\neq p}f(x) = L

Dans certains cas , il peut être utile de n'approcher le point p que d'un seul côté.

On dit que f admet une limite à droite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que 0 < x - p < d, on ait |f (x) - L| < e.

Ce nombre L est alors unique et on le note :


\lim_{x \to p+}f(x) = L

Les limites à gauche s'obtiennent en remplaçant x - p dans la dernière définition par p - x.

Il est envisageable aussi de considérer des limites où p ou L sont égaux à plus l'infini (+∞) ou moins l'infini (-∞). On dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers p si par définition

pour tout réel R > 0, il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x tel que |x - p| < d on ait f (x) > R.

On dit que f (x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ si

pour tout réel ε > 0 il existe un réel S > 0 tel que pour tout x > S, on ait |f (x) - L| < e.

Enfin, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, si

pour tout réel R > 0 il existe un réel S > 0 tel que pour tout x tel que x > S, on ait f (x) > R.

Les définitions pour moins l'infini sont analogues.

En remplaçant ε par S comme auparavant, on peut aussi définir les limites illimitées d'un seul côté (à droite ou à gauche).

Exemples

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0

\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x \to 0-} \frac{1}{x}=-\infty

\lim_{x \to 3} xˆ2=9

\lim_{x \to 0} xˆx=1

\lim_{x \to 0} \frac{(a+ x)ˆ2-aˆ2}{x}=2a

\lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{xˆ2}}{x}=1\lim_{x \to 0-} \frac{\sqrt{xˆ2}}{x}=-1

\lim_{x \to +\infty} x.\sin\frac{1}{x}=1

\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x}=0

Propriétés

Article détaillé : opérations sur les limites.

La limite pointée de f (x) lorsque x tend vers p existe si et uniquement si les limites à droite ainsi qu'à gauche en p existent et sont identiques.

Si p est un point de U, alors la limite de f (x) lorsque x tend vers p existe si et uniquement si les limites à droite ainsi qu'à gauche en p existent et sont identiques à f (p), si et uniquement si la limite pointée de f (x) lorsque x tend vers p existe et est égale à f (p) et si et uniquement si f est continue en p.

Si p n'appartient pas U alors la limite de f (x) lorsque x tend vers p existe si et uniquement si les limites à droite ainsi qu'à gauche en p existent et sont identiques.

Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques :

Si


\lim_{x \to p}f_1 (x) = L_1

et


\lim_{x \to p}f_2 (x) = L_2

alors


\lim_{x \to p}(f_1 (x) + f_2 (x)) = L_1 + L_2

et


\lim_{x \to p}(f_1 (x) \cdot f_2 (x)) = L_1 \cdot L_2

et


\lim_{x \to p} \left( \frac{f_1 (x)} {f_2 (x)}\right) = \frac{L_1} {L_2}

(La dernière propriété suppose que f2 ne s'annule pas dans un voisinage de p et que L2 n'est pas nul).

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite ainsi qu'à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites illimitées en utilisant les règles suivantes :

(voir la droite réelle achevée).

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme par exemple 0/0, 0×∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles, mais les limites peuvent être généralement obtenues par la règle de L'Hôpital.

Indétermination

Il existe certaines formes de limite où il est n'est pas envisageable de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes dites indéterminées.

Indétermination de la forme 0/0 lorsque le résultat obtenu donne 0/0

Indétermination de la forme ∞/∞ lorsque le résultat obtenu donne ∞/∞

Indétermination de la forme ∞ - ∞ lorsque le résultat obtenu donne ∞ - ∞

Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0

Indétermination de la forme 00 qui se ramène au cas précédent en remarquant que ab peut s'écrire eb×ln (a) et que la limite de b×ln (a) est alors de la forme 0 × ∞

On peut utiliser la règle de L'Hospital pour lever une indétermination lors d'un calcul de limite.

Espaces métriques

Les nombres réels forment un espace métrique si nous utilisons la fonction distance définie par la valeur absolue : d (x, y) = |x - y|. Il en est de même des nombres complexes avec le module. Qui plus est , l'espace euclidien Rn forme un espace métrique avec la distance euclidienne. Voici quelques exemples motivant une généralisation des définitions de limite données auparavant.

Si (xn) est une suite dans un espace métrique (M, d), alors on dit que la suite a une limite L si par définition pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n>n0 on ait d (xn, L) < e.

Si l'espace métrique (M, d) est complet (ce qui est le cas pour la totalité des nombres réels ou complexes et l'espace euclidien, et tout autre espace de Banach, alors on peut établir la convergence d'une suite de M en montrant que c'est une suite de Cauchy. L'avantage de cette approche est de pouvoir montrer que la suite est convergente sans obligatoirement connaître la limite à l'avance.

Si M est un espace vectoriel normé réel ou complexe, alors l'opération de passage à la limite est linéaire, comme nous l'avons expliqué ci-dessus dans le cas des suites de nombres réels.

Maintenant supposons que f : MN soit une application entre deux espaces métriques, et que p soit un élément de M et L un élément de N. On dit que la limite de f (x) lorsque x tend vers p est égale à L et on écrit :


\lim_{x \to p}f(x) = L

si par définition :

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans M tel que d (x, p) < d, on ait d(f (x), L) < e.

Ce qui est équivalent à

pour toute suite convergente (xn) de M telle que la limite soit égale à p, la suite (f (xn) ) est convergente de limite L.

Une fonction f est continue en p si et uniquement si la limite de f (x) lorsque x tend vers p existe et est égale à f (p). De manière équivalente, f transforme toute suite de M convergente de limite p en une suite de N convergente de limite f (p).

À nouveau, si N est un espace vectoriel normé, alors l'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si la limite de f (x) lorsque x tend vers p est égale à L et la limite de g (x) lorsque x tend vers p est égale à P, alors la limite de f (x) + g (x) lorsque x tend vers p est égale à L + P. Si a est un scalaire du corps de base, alors la limite de af (x) lorsque x tend vers p est égale à aL.

Si N est égal à R, alors nous pouvons définir des limites illimitées; si M est égal à R, alors nous pouvons définir des limites à droite ainsi qu'à gauche de manière analogue aux définitions précédentes.

Exemples

Propriétés

Théorème de la continuité séquentielle :

Une fonction f : RR est continue en un point L si et uniquement si :

pour toute suite réelle (xn) convergente de limite L, la suite (f (xn) ) est convergente de limite f (L).

Une sous-suite (ou suite extraite) de la suite (xn) est une suite de la forme (xa (n) ) où les a (n) sont des entiers naturels tels que pour tout n on ait a (n) < a (n+1). Intuitivement, une sous-suite s'obtient à partir de la suite d'origine en omettant certains termes. Une suite est convergente si et uniquement si toutes ses sous-suites sont convergentes et ont même limite.

L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes et que lim xn = L et lim yn = P, alors la suite (xn + yn) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a xn) est convergente de limite aL. Ainsi, la totalité c de l'ensemble des suites réelles convergentes est un espace vectoriel réel et l'opération de passage à la limite est une forme linéaire sur c à valeurs réelles.

Si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes de limites respectives L et P, alors la suite (xnyn) est convergente de limite LP. Si ni P ni aucun des termes yn n'est nul, alors la suite (xn/yn) est convergente de limite L/P.

Toute suite convergente est une suite de Cauchy et est ainsi bornée. Si (xn) est une suite de réels, bornée et croissante (i. e. pour tout entier n, xnxn+1), alors elle est obligatoirement convergente.

Toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente, ou plus simplement : la totalité des réels est complet.

Une suite de nombres réels est convergente si et uniquement si ses limites inférieures et supérieures sont finies et identiques.

Généralisations pour les espaces topologiques

Toutes les notions de limite ci-dessus peuvent être unifiées et généralisées à un espace topologique arbitraire en introduisant les filtres et leur limite.

Néanmoins la définition de limite pour le cas spécifique des suites (indexées par \mathbb{N}) est assez simple :

On peut donner une définition équivalente avec bases de voisinages :

Cette définition peut aussi être reformulée en termes d'ouverts :

Annexes

Notes et références

  1. f est définie au voisinage de p ssi p est adhérent au domaine de définition de f, c'est-à-dire ssi tout voisinage de p contient au moins un point où f est définie, c'est-à-dire ssi il existe une suite (x_n)_{n\in \mathbb N} de réels convergeant vers p telle que f (xn) est définie pour tout n.
  2. C'est cette définition de limite d'une fonction qui est désormais en vigueur en France (programmes - plus ou moins précis - régulièrement publiés au Bulletin Officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires, supplantant la définition historique de Weierstrass qui correspond à celle nommée par conséquent "limite épointée" ou "limite par valeurs différentes" ([1]). Mais dans les universités françaises (et dans les autres pays [2]), la définition "historique" reste quelquefois celle enseignée : cf par exemple Mathématiques L1, Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés sous la direction de J. -P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, ISBN 9782744072581, p. 691-692, ou encore Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1 sous la direction de J. -P. Ramis et A. Warusfel (2006) Dunod, ISBN 210049614X, p. 588.

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