John von Neumann

John von Neumann, mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques mais...



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John von Neumann
John von Neumann dans les années 1940
John von Neumann dans les années 1940

Nom de naissance né Margittai Neumann János Lajos
Naissance 28 décembre 1903
Budapest Drapeau de l'Autriche-Hongrie Autriche-Hongrie
Décès 8 février 1957 (à 53 ans)
Nationalité États-Unis États-Unis
Profession (s) professeur, conseiller du gouvernement
Formation Université de Budapest, École polytechnique de Zurich

John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques mais aussi dans énormément d'autres domaines des mathématiques et de la physique. Il a de plus participé aux programmes militaires américains.

Biographie

Benjamin d'une fratrie de trois, il se nomme dans un premier temps Neumann János Lajos (les Hongrois placent les noms de famille en tête) à Budapest en Autriche-Hongrie. Il est le fils de Neumann Miksa (Max Neumann), un avocat-banquier, et de Kann Margit (Marguerite Kann). Il ne prête guère attention à ses origines juives, sinon pour son répertoire de blagues. [1]

János est un enfant prodige : à six ans, il converse avec son père en grec ancien et peut mentalement faire la division d'un nombre à huit chiffres. Une anecdote rapporte qu'à huit ans, il a déjà lu les quarante-quatre volumes de l'histoire universelle de la bibliothèque familiale et qu'il les a entièrement mémorisés : pourvu d'une mémoire eidétique, il sera capable de citer de mémoire des pages entières de livres lus des années jusque là. Il entre au lycée luthérien de Budapest (Budapesti Evangélikus Gimnázium) qui était germanophone en 1911.

En 1913, son père achète un titre nobiliaire austro-hongrois et Neumann János devient János von Neumann qui sera anglicisé, dans les années 1930, en John von Neumann au moment de l'émigration aux États-Unis (tandis que ses frères choisiront pour patronymes Newman et Vonneumann).

Académie des sciences de Hongrie.

C'est âgé d'à peine 23 ans qu'il reçoit son Ph. D. en mathématiques (avec des mineures en physique expérimentale et en chimie) de l'Université de Budapest. En parallèle, il obtient le diplôme de l'école polytechnique fédérale de Zurich (à la demande de son père, désireux que son fils s'investisse dans un secteur plus rémunérateur que les mathématiques), et aussi sur les conseils de Theodore von Karman. Il est intéressant de noter que von Neumann n'a mis les pieds dans ces deux universités que pour les examens. Ce fut le major de promotion pour les deux universités.

Entre 1926 et 1930, il est privatdozent à Berlin ainsi qu'à Hambourg. Il travaille aussi à Göttingen avec Robert Oppenheimer sous la direction de David Hilbert. Durant cette «période allemande», l'une des plus fécondes de sa vie, il côtoie aussi Werner Heisenberg et Kurt Gödel.

Bâtiment de l'IAS à Princeton

En 1930, von Neumann est professeur-invité à l'Université Princeton. Puis, de 1933 à sa mort en 1957, il est professeur de mathématiques à la faculté de l'Institute for Advanced Study qui vient d'être créée. Il y rejoint par conséquent Albert Einstein et Kurt Gödel.

Il se marie une première fois en 1930, avec Mariette Kövesi avec laquelle il a une fille, Marina née en 1935 (plus tard professeur à l'Université du Michigan et conseillère économique du président Nixon). Il aurait proposé le mariage à Mariette en remarquant : «On sera capables de s'amuser l'ensemble des deux, vu à quel point on aime boire»[2]. Ils divorcent en 1937. Un an plus tard, John von Neumann épouse Klara Dan.

C'est un hédoniste et un bon vivant dont on dit qu'il sait tout compter, sauf les calories qu'il ingurgite. Il aime plaisanter et raconter des blagues salaces. Il regarde les jambes des femmes avec une telle insistance que certaines des secrétaires à Los Alamos mettent un carton ou une feuille de papier protectrice devant leur bureau[2].

En 1937, il est naturalisé américain. La guerre devenant inévitable, il s'oriente vers les mathématiques appliquées (statistiques, analyse numérique, balistique, détonique, hydrodynamique). Il développe la méthode de Monte-Carlo pour faire l'économie de temps de calcul et participe à la création des premiers ordinateurs pour raccourcir ce temps de calcul qui devient une ressource principale de la guerre moderne.

À partir de 1940 et jusqu'à sa mort, il est membre du comité consultatif scientifique du Ballistic Research Laboratory (Laboratoire en recherches balistiques de l'US Army). De 1943 à 1955, il est consultant scientifique au Laboratoire national de Los Alamos et participe au projet Manhattan. Il entame ses travaux sur la logique probabiliste au lendemain d'une conférence Macy en 1946, où Walter Pitts avait présenté les modèles biologiques. Plus tard, avec Pitts et Warren McCulloch, il introduisit une notion d'aléatoire dans les réseaux de manière à les rendre capables de fonctionner en présence d'erreurs et de bruits affectant les calculateurs élémentaires et leurs connexions. Son côté taquin se ressent sur les blagues qu'il fait répétitivement à Einstein, comme par exemple changer son billet de train pour la direction opposée.

En 1952, il devient membre du Comité consultatif général (General Advisory Committee) de la Commission américaine à l'énergie atomique (United States Atomic Energy Commission) dont il prend la direction en 1955. Il fait partie des théoriciens de la guerre froide et de la destruction mutuelle assurée.

Il meurt dans de grandes souffrances, en 1957, d'un cancer des os ou du pancréas, certainement causé par une surexposition aux rayons X lors de tests sur la bombe A auxquels il a assisté dans le Pacifique ou lors de travaux sur des armes nucléaires au Laboratoire national de Los Alamos.

Contributions

À la logique mathématique

L'axiomatisation des mathématiques sur le modèle des éléments d'Euclide atteint des nouveaux degrés de rigueur et de profondeur à la fin du XIXe siècle, surtout en arithmétique avec Richard Dedekind et Giuseppe Peano et en géométrie avec David Hilbert. Au tournant du XXe siècle, par contre, la théorie des ensembles, la nouvelle branche des mathématiques créée surtout par Georg Cantor, est fortement ébranlée par la découverte de paradoxes par Cantor lui-même, Cesare Burali-Forti et Bertrand Russell. En 1897, Burali-Forti découvre une construction qui conduira à ce que la totalité de l'ensemble des ordinaux n'a pas d'ordinal. Russell publie en 1903 son célèbre paradoxe au sujet des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes.

Au cours des vingt années qui suivent, Ernst Zermelo, puis Abraham Adolf Frænkel et Thoralf Skolem, montrent comment axiomatiser la théorie des ensembles de manière à éviter les paradoxes connus, tout en donnant la possibilité la construction d'ensembles effectivement usités en mathématiques, surtout les constructions de Cantor. Ceci aboutit finalement à la théorie ZFC (théorie de Zermelo-Frænkel avec axiome du choix). Cependant ils n'excluent pas la possibilité d'ensembles qui, s'ils ne sont pas paradoxaux, semblent contre-intuitifs comme les ensembles qui appartiennent à eux-mêmes. Dans sa thèse de doctorat, von Neumann décrit l'axiome de fondation qui exclut surtout cette éventualité, et permet en particulier d'hiérarchiser l'univers des ensembles. Il propose aussi la théorie des classes, une reformulation de la théorie ZFC, qui sert à parler de collections d'objets qui ne sont pas obligatoirement des ensembles, de façon correcte à une notion restée assez informelle chez Cantor. Cette théorie a ensuite été perfectionnée par Paul Bernays puis par Kurt Gödel. Elle est désormais connue sous le nom de Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel (en abrégé, NBG).

Pour simplifier, on dira que l'axiome de fondation précise que les ensembles doivent être fabriqués progressivement de sorte que, si un ensemble appartient à un autre, alors ce dernier vient avant celui-là et ne peut donc lui appartenir. Pour prouver que l'addition de ce nouvel axiome n'engendre pas de nouvelle contradiction (du type de Russell), von Neumann introduit une nouvelle méthode de démonstration, la méthode des modèles internes, qui fut illustrée ensuite par Gödel pour montrer la cohérence relative de l'hypothèse du continu, et qui est devenue principale dans la théorie des ensembles.

Avec cette méthode et la notion de classe, le dispositif axiomatique de la théorie des ensembles semble complètement satisfaisant et correct aux intuitions de Cantor, mais la question se pose de savoir s'il est complet. Une réponse négative est apportée en 1930 par Gödel qui, au congrès international des mathématiques de Konigsberg, annonce son premier théorème d'incomplétude : dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de «formaliser l'arithmétique», on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie. Von Neumann fut alors l'un des rares à comprendre ce résultat et ses conséquences, surtout pour le programme de Hilbert auquel il adhérait comme énormément de mathématiciens de l'époque. Il fut capable dans le mois qui suivit la conférence de proposer à Gödel la conséquence suivante de son théorème : les dispositifs axiomatiques, sous des conditions analogues, sont incapables de démontrer leur propre consistance. C'est le second théorème d'incomplétude de Gödel, que cependant ce dernier connaissait déjà. Il est probable que von Neumann fut pour énormément dans la reconnaissance des travaux de Gödel, et il fut toujours d'une grande aide pour ce dernier.

On doit aussi à von Neumann la notion d'ensemble transitif, ainsi qu'une définition précise et simple de la notion de nombre ordinal en principe des ensembles, qui permet surtout la construction des entiers naturels (on parle alors d'ordinal de von Neumann, ou d'entier de von Neumann).

À la mécanique quantique

En 1900, David Hilbert présente sa liste des 23 problèmes dont le sixième porte sur l'axiomatisation de la physique. Dans les années 1930, la mécanique quantique est peu acceptée par les physiciens, pour des raisons tout autant philosophique que technique. D'un côté, le non-déterminisme quantique n'a pas été réduit en dépit des efforts d'Albert Einstein (et ne le sera jamais), d'un autre côté, la théorie est sous-tendue par deux formalisations heuristiques, concurrentes et équivalentes avec, d'une part, la formalisation matricielle de Werner Heisenberg et , d'autre part, l'approche par les équations différentielles ondulatoires d'Erwin Schrödinger. Il manque une formulation mathématique unique, unificatrice et satisfaisante de la théorie.

Von Neumann, en 1926, s'attaque à l'axiomatisation de la mécanique quantique et réalise rapidement qu'un dispositif quantique peut-être reconnu comme un point dans un espace de Hilbert analogue de dimension 6N (où N est le nombre de particules, 3 coordonnées spatiales et 3 coordonnées canoniques). Les quantités physiques respectant les traditions (position et énergie) peuvent être remplacés par des opérateurs linéaires dans ces espaces.

La physique quantique est désormais réductible aux mathématiques des opérateurs hermitiens linéaires dans un espace de Hilbert.

A titre d'exemple, le fameux principe d'incertitude de Heisenberg selon lequel on ne peut déterminer la position et la vitesse d'une particule équivaut à la non-commutativité de deux opérateurs correspondants. Cette formule mathématique réconcilie Heisenberg et Schrödinger et von Neuman publie en 1932 son classique Les Fondements mathématiques de la mécanique quantique (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik[3]). Si cette axiomatisation plaît beaucoup aux mathématiciens pour son élégance, les physiciens lui préfèrent celle de Paul Dirac, publiée en 1930[4] et qui s'appuie sur une étrange fonction, la fonction δ de Dirac. Cette théorie sera durement critiquée par von Neumann.

À l'économie

Jusqu'aux années 1930, l'économie utilise la plupart de données chiffrées mais sans réelle rigueur scientifique. Elle est comparable à la physique du XVIIe siècle : dans l'attente d'un langage et d'une méthode scientifique pour exprimer et résoudre ses problèmes. Tandis que la physique classique a trouvé la solution dans le calcul illimitétésimal, von Neumann propose pour l'économie, dans un souci axiomatique qui le caractérise, la théorie des jeux et la théorie de l'équilibre général.

Sa première contribution significative, en 1928, est le théorème du minimax qui décrit que, dans un jeu à somme nulle avec information idéale (chaque joueur connaît les stratégies ouvertes à son adversaire et leurs conséquences), chacun dispose d'un ensemble de stratégies privilégiées («optimales»). Entre deux joueurs rationnels, il n'y a rien de mieux à faire pour chacun que choisir une de ces stratégies optimales et s'y tenir.

Von Neumann perfectionne ensuite sa théorie pour y inclure les jeux avec asymétrie d'information et les jeux avec d'avantage de deux joueurs. Son travail aboutit en 1944 avec la publication, en collaboration avec Oskar Morgenstern, de ce qui est devenu un classique de l'économie : La Théorie des jeux et comportements économiques (The Theory of Games and Economic Behavior).

Sa seconde contribution principale à la science économique est la solution, formulée en 1937, d'un problème formulé en 1874 par Léon Walras concernant l'existence d'un point d'équilibre dans les modèles mathématiques d'un marché basé sur l'offre et la demande. Il trouve la solution en appliquant le théorème du point fixe de Brouwer. L'importance toujours actuelle des travaux sur le problème de l'équilibre général et la méthodologie sous-jacente des théorèmes de point fixe est soulignée par l'attribution du prix «Nobel d'économie» en 1972 à Kenneth Arrow et 1983 à Gérard Debreu.

À l'armement atomique

En 1937, peu après l'obtention de la citoyenneté américaine, il s'intéresse aux mathématiques appliquées, devient rapidement l'un des principaux experts en matière d'explosifs et est conseiller de l'US Navy.

L'une de ses découvertes tient à ce que des bombes de «large dimension» ont un effet dévastateur plus important si elles explosent en hauteur plutôt qu'au sol[5]. Cela sera mis en pratique lors de l'explosion des premières bombes atomiques les 6 et 9 août 1945, von Neumann ayant calculé l'altitude précise pour maximiser l'étendue des dommages causés.

Fat Man, la bombe A

Dans le cadre du projet Manhattan, il est chargé du calcul des lentilles explosives nécessaires à la compression du noyau en plutonium de l'essai Trinity et de Fat Man, la bombe A larguée sur Nagasaki.

À cette époque, il fait aussi partie du comité chargé de sélectionner les cibles pour la bombe atomique. Le choix d'origine de von Neumann (le centre de Kyoto, capitale culturelle du Japon) est alors écarté par Henry Stimson, le ministre de la guerre. Roosevelt, président des États-Unis de l'époque, a donné comme consigne formelle d'éviter de bombarder Kyoto, ville qui l'avait ébloui lors d'une visite avant la Seconde Guerre mondiale.

Après-guerre, Robert Oppenheimer faisant la remarque que les physiciens avaient «connu le péché» en développant la bombe atomique se voit répliquer par von Neumann : «Quelquefois on confesse un péché pour s'en attribuer le crédit.»

Il travaille ensuite au développement de la bombe H. Si le dessein qu'il conçoit avec Klaus Fuchs n'est pas celui retenu, il s'est vu consacré qu'il est un pas dans la bonne direction sur la voie poursuivie par Edward Teller et Stanislaw Ulam.

Au cours de la guerre, le Laboratoire national de Los Alamos réunit l'élite intellectuelle juive centre-européenne qui a fui le nazisme, et spécifiquement l'élite intellectuelle juive hongroise avec, hormis John von Neumann, Paul Erdős, Eugene Wigner, Edward Teller, Leó Szilárd ou Gábor Dénes. Une blague [2] circule alors dans les couloirs selon laquelle non seulement les martiens existent et qu'ils sont doués d'une intelligence surhumaine, mais ils prétendent venir d'un pays inconnu, la Hongrie, et parlent tous une langue inintelligible au reste de l'humanité.

Le développement des bombes A et H nécessite un nombre particulièrement important de calculs. C'est en particulier dans ce domaine que l'apport de von Neumann va être essentiel.

À l'informatique

Von Neumann a donné son nom à l'architecture de von Neumann utilisée dans la quasi totalité des ordinateurs modernes, l'apport d'autres collaborateurs de l'EDVAC en est donc largement minimisé (on citera J. Presper Eckert et John William Mauchly parmi d'autres). Cela est dû au fait qu'il est , en 1944, le rapporteur des travaux pionniers en la matière (First Draft of a Report on the EDVAC). Le modèle de calculateur à programme auquel son nom reste attaché et qu'il attribuait lui-même à Turing, possède une unique mémoire qui permet de conserver les logiciels et les données. Ce modèle, extrêmement innovant pour l'époque, est à la base de la conception de nombre d'ordinateurs.

Schéma de l'architecture de von Neumann

L'architecture de von Neumann décompose l'ordinateur en 4 parties différentes :

  1. l'unité arithmétique et logique (UAL) ou unité de traitement, qui effectue les opérations de base ;
  2. l'unité de contrôle, qui est chargée du séquençage des opérations ;
  3. la mémoire, qui contient à la fois les données et le programme qui indique à l'unité de contrôle quels calculs faire sur ces données. La mémoire se divise en mémoire vive (programmes et données en cours de fonctionnement) et mémoire de masse (programmes et données de base de la machine)  ;
  4. les systèmes d'entrée-sortie, qui permettent de communiquer avec le monde extérieur.

À l'automatisme cellulaire

Articles détaillés : Automate cellulaire et Constructeur universel.

Il est aussi à l'origine du concept novateur d'automate cellulaire pour construire les premiers exemples d'automates auto-reproductibles introduits dans son œuvre posthume Theory of Self Reproducing Automata et qui a inspiré le jeu de la vie.

Ce qu'en anglais on nomme une von Neumann machine est régi par les principes suivants :

  1. capable d'accomplir une tâche élémentaire,
  2. capable de se multiplier pour accomplir cette tâche.

Ce modèle préfigure celui de la reproduction cellulaire et de l'ADN.

Vies sociale et politique

badge de von Neumann à Los Alamos

Von Neumann professe de son vivant un anticommunisme viscéral. Il est un collaborateur actif du complexe militaro-industriel américain, consultant pour la CIA et la RAND Corporation. En un mot, il est le cerveau des aspects scientifiques de la guerre froide qui débute alors et qui va durer quarante ans.

Il n'est pas interdit de penser qu'il a énormément influencé le stéréotype hollywoodien du savant fou pourvu d'un fort accent étranger et d'idées réactionnaires, en particulier si on sait que la destruction mutuelle assurée (mutually assured destruction) qu'il promeut alors a pour acronyme, en anglais, MAD (c'est-à-dire «fou»).

En 1956, peu avant son décès, il reçoit le Prix Enrico Fermi.

Il meurt d'un cancer certainement génèré par l'exposition aux radiations lors de tests d'explosion de la bombe atomique auxquels il assista. Son lit d'hôpital est sous haute surveillance militaire [2] car on craint que, fortement drogué pour supporter la douleur, il ne divulgue accidentellement des secrets militaires dont il a eu connaissance.

Honneurs et récompenses en son honneur

L'IEEE décerne chaque année une médaille en l'honneur de von Neumann, la IEEE John von Neumann Medal.

Le John von Neumann Theory Prize[6] de l'Institute for Operations Research and Management Science (INFORMS) récompense chaque année un individu ou un groupe pour des contributions principales en recherche opérationnelle et en science du management.

La Société pour les mathématiques industrielles et appliquées (SIAM) donne un prix depuis 1959, intitulé la conférence von Neumann[7], attribué aux français Jean Leray (1962), René Thom en (1976) et Jacques-Louis Lions (1986).

Un cratère sur la lune porte aussi le nom de von Neumann.

Citation

Œuvres

Annexes

Bibliographie

Liens externes

Sources et références

  1. Peter L. Bernstein   (en) , Plus forts que les dieux. La remarquable histoire du risque, Flammarion, 1998; page 121
  2. Cité par François Lavallou, dans «John von Neumann», Tangente (ISSN 0987-0806) , hors série n⁰25, p140 - 143
  3. J. v. Neumann : Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 38. ) J. Springer, Berlin 1932 weblink
  4. Paul Dirac, Les principes de la mécanique quantique [«The principles of quantum mechanics»], 1re éd. 1930 [détail des éditions] 
  5. ce que les média résumeront alors en «Von Neumann a découvert que c'est mieux de rater sa cible plutôt que de l'atteindre.»
  6. John von Neumann Theory Prize
  7. conférence von Neumann

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