Intégrale de chemin

Une intégrale de chemin est une intégrale fonctionnelle, c'est-à-dire que l'intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels comme pour les intégrales ordinaires.



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Physique théorique - Théorie de l'intégration - Probabilités

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... L'intégrale de chemin est un outil puissant pour l'étude de la quantique... de théorie quantique des champs Quantum Field Theory and Critical Phenomena.... Article de feynman sur integrale de chemin entre deux points... (source : priceminister)
  • ... L'integrale de chemin est aussi quelquechose d'indispensable pour comprendre l'approche non-operationnelle (à la Feynman par conséquent) de la théorie des champs, ... (source : forums.futura-sciences)
  • En 1948 en effet, Feynman avait reformulé la mécanique... En principe quantique des champs, l'intégrale de chemin est l'intégrale (fonctionnelle) sur les ... quantum est défini à une phase près ; l'opération de symétrie qui laisse... (source : science-inter)

Une intégrale de cheminpath integral» en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c'est-à-dire que l'intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels (ou complexes) comme pour les intégrales ordinaires. On a par conséquent ici affaire à une intégrale en dimension illimitée. Ainsi, on distinguera soigneusement l'intégrale de chemin (intégrale fonctionnelle) d'une intégrale ordinaire calculée sur un chemin de l'espace physique, que les mathématiciens nomment intégrale curviligne [1].

C'est Richard Feynman qui a introduit les intégrales de chemin en physique dans sa thèse, soutenue en mai 1942, portant sur la formulation de la mécanique quantique basée sur le lagrangien [2]. À cause de la Seconde Guerre mondiale, ces résultats ne seront publiés qu'en 1948 [3]. Cet outil mathématique s'est rapidement imposé en physique théorique avec sa généralisation à la théorie quantique des champs, donnant la possibilité surtout une quantification des théories de jauge non-abéliennes plus simple que la procédure de quantification canonique.

D'autre part, le mathématicien Mark Kac a ensuite développé un concept identique pour la description théorique du mouvement brownien, s'inspirant de résultats obtenus par Norbert Wiener dans les années 1920. On parle dans ce cas de la formule de Feynman-Kac, qui est une intégrale pour la mesure de Wiener. [4]

Genèse du concept d'intégrale de chemin

Tandis qu'il est étudiant de 3e cycle sous la direction de Wheeler à l'université de Princeton, le jeune Feynman cherche une méthode de quantification basée sur le lagrangien pour pouvoir décrire un dispositif ne possédant pas obligatoirement d'hamiltonien. Sa motivation première est de quantifier la nouvelle formulation de l'électrodynamique classique basée sur l'action à distance qu'il vient juste de développer avec Wheeler[5].

Au printemps de 1941, il fait la connaissance de Herbert Jehle, alors visiteur à Princeton, qui lui indique lors d'une soirée à la Nassau Tavern l'existence d'un article de Dirac qui discute exactement la quantification à partir du lagrangien [6]. Jehle précise à Feynman que cette formulation permet une approche relativiste covariante énormément plus aisée que celle basée sur le hamiltonien. Le lendemain, les deux physiciens se rendent à la bibliothèque pour étudier l'article de Dirac. Ils y lisent surtout la phrase suivante : pour deux instants t\, et t + \epsilon\, voisins, l'amplitude de transition élémentaire :

<img class=

Dans cette formule, la grandeur S[q(t)]\, est l'action classique :

S[q_2(t + \epsilon) ,q_1(t)] \ = \ \int_{t}ˆ{t + \epsilon} L(q,\dot{q}) \  dt \ = \ L \left( q_1, \frac{q_2-q_1}{\epsilon} \right) \ \epsilon\,

Pour comprendre ce que Dirac veux dire par analogue, Feynman étudie le cas d'une particule non relativiste de masse m\, pour laquelle le lagrangien s'écrit :

 L(q,\dot{q}) \ = \ \frac{m}{2} \dot{q}ˆ2  \ - \   V(q)

On sait que :

<img class=
\psi(q_2,t + \epsilon) \ = \ A \ \int dq_1 \, \exp \, \left( \, i  \, \frac{S[q(t)]}{\hbar} \, \right)  \ \psi(q_1,t)

A\, est une constante inconnue. En présence de Jehle, Feynman démontre que cette équation implique que \psi(q,t)\, obéit à l'équation de Schrödinger :

\left[ \, - \ \frac{\hbarˆ2}{2m} \ \frac{\partialˆ2 ∼∼}{\partial qˆ2} \ + \ V(q) \,  \right] \ \psi(q,t) \ = \ i \, \hbar \ \frac{\partial ∼∼}{\partial t}\psi(q,t)

à la condition que la constante inconnue A soit égale à :

A \ = \ \sqrt{\frac{m}{2\pi \hbar i t}}

À l'automne 1946, lors du bicentenaire de l'université de Princeton, Feynman rencontra Dirac et le bref échange suivant eut lieu :

- Feynman : «Saviez-vous que ces deux grandeurs étaient proportionnelles ?»
- Dirac : «Elles le sont ?»
- Feynman : «Oui.»
- Dirac : «Oh ! C'est intéressant.»

Cette réponse laconique mettra un point final à la discussion... Pour plus de détails historiques, on lira avec profit l'article de Schweber [7].

Rappels sur le propagateur de l'équation de Schrödinger

Pour simplifier les notations, on se restreint ci-dessous au cas d'une seule dimension d'espace. Les résultats s'étendent sans difficulté à un nombre quelconque de dimensions.

Définition

Considérons une particule de masse m\, non relativiste, décrite en mécanique quantique par une fonction d'onde. Supposons qu'on se donne la condition d'origine  \psi(q_0,t_0)\, à un instant d'origine  t_0 \, fixé. Alors, la fonction d'onde à un instant ultérieur <img class=équation de Schrödinger, est donnée par l'équation intégrale :

 \psi(q_1,t_1) \ = \ \int dq_0 \ K(q_1,t_1|q_0,t_0) \  \psi(q_0,t_0)

K(q_1,t_1|q_0,t_0)\, est le propagateur de la particule :

<img class= est l'opérateur hamiltonien de la particule.

Équation de Chapman-Kolmogorov

Rappelons que, si <img class=équation de Chapman-Kolmogorov :

 K(q_2,t_2|q_0,t_0)  \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ K(q_1,t_1|q_0,t_0)

Cette relation va nous permettre de trouver l'expression du propagateur en termes d'une intégrale de chemin.

Expression du propagateur en termes d'intégrale de chemin

Cherchons l'expression du propagateur K(q_f,t_f|q_i,t_i)\, entre l'instant d'origine t_i\, et l'instant final t_f\,.

Application de l'équation de Chapman-Kolmogorov

On découpe l'intervalle de temps \Delta t = t_f - t_i\, en N\, intervalles de temps élémentaires de durée \epsilon\, en introduisant les N + 1\, instants :

t_k \ = \ t_0 \ + k \ \epsilon \, \qquad k \ = \ 0, \ \dots , \ N

avec t_0 = t_i\, et t_N = t_f\,. Il y a par conséquent N - 1\, instants intermédiaires t_k\, entre l'instant d'origine t_0\, et l'instant final t_N\,. Pour que les intervalles de temps aient une durée \epsilon = t_{k+1} - t_k\, élémentaire, la limite N \to + \infty\, est sous-entendue.

L'application de l'équation de Chapman-Kolmogorov une première fois permet d'écrire :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \int dq_{N-1} \ K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) \ K(q_{N-1},t_{N-1}|q_0,t_0)

puis, en l'appliquant une deuxième fois :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \int dq_{N-1} dq_{N-2} \ K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) \ K(q_{N-1},t_{N-1}|q_{N-2},t_{N-2}) \ K(q_{N-2},t_{N-2}|q_0,t_0)

et ainsi de suite. On obtient au final après N - 1\, applications aux N - 1\, temps intermédiaires[8] :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \int \left[ \, \prod_{k=1}ˆ{N-1} dq_k \, \right] \ K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) \times \dots \times K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) \times  \dots \times  K(q_{1},t_{1}|q_0,t_0)

On est ainsi amené à considérer le propagateur élémentaire :

<img class=Propagateur élémentaire : formule de Feynman-Dirac

Pour une particule de masse m\, non relativiste à une dimension dans un potentiel, dont l'opérateur Hamiltonien s'écrit :

\hat{H} \ = \ \hat{H}_0 \ + \ V(\hat{q})

et le propagateur élémentaire s'écrit :

<img class=formule de Trotter-Kato :

eˆ{t(\hat{A} + \hat{B})} \ = \ \lim_{n \to \infty} \ \left[ \ eˆ{\hat{A}t/n}  \ \times \  eˆ{\hat{B}t/n} \ \right]ˆn

Cette formule n'est pas triviale, car les opérateurs \hat{A}\, et \hat{B}\, ne commutent généralement pas ! On obtient ici :

<img class=
<img class=
K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  \ = \ K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) \ \times \ eˆ{-i\epsilon V(q_k)/ \hbar}

Or l'expression du propagateur libre est connue précisément :

K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) \ = \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q_{k+1}-q_k)ˆ2}{2 \hbar \epsilon}  \right)

On remarque que l'argument de l'exponentielle peut se réécrire en termes d'une expression discrètisée de la vitesse :

\dot{q}_k \ = \ \frac{(q_{k+1}-q_k)}{\epsilon}

comme :

K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) \ = \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left( \frac{+ i m \dot{q}_kˆ2 \epsilon}{2 \hbar} \right)

On en déduit que le propagateur élémentaire s'écrit :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  \ = \  \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left( \frac{+ i m \dot{q}_kˆ2 \epsilon}{2 \hbar} \right) \times \ \exp \left( \frac{- i \epsilon V(q_k)}{\hbar} \right)

Les arguments des deux exponentielles étant désormais des nombres complexes, on peut écrire sans difficultés :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  \ = \  \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left( \frac{+ i m \dot{q}_kˆ2 \epsilon}{2 \hbar} \ - \ i \epsilon \frac{V(q_k)}{\hbar} \right)

soit toujours :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  \ = \  \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \ \left( \frac{m}{2} \dot{q}_kˆ2  \ - \   V(q_k) \right) \ \epsilon \ \right]

Le terme entre parenthèse représente le Lagrangien de la particule :

 L(q_k,\dot{q}_k) \ = \ \frac{m}{2} \dot{q}_kˆ2  \ - \   V(q_k)

d'où la formule de Feynman-Dirac pour le propagateur élémentaire :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  \ = \  \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon}} \ \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \  L(q_k,\dot{q}_k) \ \epsilon \ \right]

Intégrale de chemin

On injecte l'expression de Feynman-Dirac dans la formule générale :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \int \left[ \, \prod_{k=1}ˆ{N-1} dq_k \, \right] \ K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) \times \dots \times K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) \times  \dots \times  K(q_{1},t_{1}|q_0,t_0)

Il vient :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \left( \, \frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon} \, \right)ˆ{N/2} \ \int \left[ \, \prod_{k=1}ˆ{N-1} dq_k \, \right] \   \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \  L(q_{N-1},\dot{q}_{N-1}) \ \epsilon \ \right] \times \dots \times \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \  L(q_k,\dot{q}_k) \ \epsilon \ \right] \times  \dots \times \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \  L(q_0,\dot{q}_0) \ \epsilon \ \right]

L'argument des exponentielles étant des nombres complexes, on peut écrire :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \ \left( \, \frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon} \, \right)ˆ{N/2} \ \int \left[ \, \prod_{k=1}ˆ{N-1} dq_k \, \right] \   \exp \left[ + \frac{i}{\hbar} \ \left[ \,  L(q_{N-1},\dot{q}_{N-1}) +  \dots  +  L(q_k,\dot{q}_k) + \dots + L(q_0,\dot{q}_0) \, \right] \ \epsilon \ \right]

On reconnait dans l'argument de l'exponentielle une discrétisation de l'action classique :

\lim_{N\to\infty} \sum_{k=1}ˆ{N-1} L(q_k,\dot{q}_k) \epsilon \ = \ \int_{t_0}ˆ{t_N} L(q(t),\dot{q}(t)) dt \ = \ S \left[ \, q(t) \, \right]

On en déduit avec Feynman l'expression du propagateur comme intégrale fonctionnelle sur l'ensemble des chemins continus :

K(q_N,t_N|q_0,t_0) \ = \  \int \mathcal{D}q(t) \ \textrm{e}ˆ{ + \frac{i \, S \left[ \, q(t) \, \right]}{\hbar}}

avec la mesure formelle[9] :

\mathcal{D}q(t) \ = \ \lim_{N\to\infty} \left( \, \frac{m}{2 \pi i  \hbar \epsilon} \, \right)ˆ{N/2} \ \left[ \, \prod_{k=1}ˆ{N-1} dq_k \, \right]

Interprétation

La formule de Feynman :

K(q_f,t_f|q_i,t_i) \ = \  \int \mathcal{D}q(t) \ \textrm{e}ˆ{ + \frac{i \, S \left[ \, q(t) \, \right]}{\hbar}}

admet l'interprétation suivante : pour calculer l'amplitude de transition du point d'origine q_i\, à l'instant t_i\, vers le point final q_f\, à l'instant tf, il faut considèrer tous les chemins continus[10] q(t)\, vérifiants les conditions aux limites : q(t_i) = q_i\, et q(t_f) = q_f\,. Chaque chemin se voit attribuer un «poids» complexe de module unité : \exp ( i S[q(t)]/\hbar )\,, où S[q(t)]\, est l'action classique calculée sur ce chemin. On «somme» alors cette illimitété non dénombrable de poids complexes, et on obtient in fine l'amplitude de transition désirée.

Cette interprétation est l'œuvre de Feynman seul, Dirac n'ayant pas franchi le pas. Elle est implicite dans sa thèse de 1942, et explicite dans la publication de 1948.

Limite semi-classique

Dans la limite où l'action du dispositif est bien plus grande que \hbar, on peut utiliser un développement du type semi classique, où y est une petite perturbation de la trajectoire classique xc : x = xc + y

Considérons un Lagrangien standard :

\mathcal{L}[x,\dot{x}]= \frac{m\dot{x}ˆ{2}}{2}- V(x)

On écrit alors l'action sous la forme suivante, en se limitant au deuxième ordre :

 S[x] \approx S[x_{c}]+ \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}}dt \underbrace{\frac{\delta S}{\delta x(t)}|_{x_{c}}}_{=0} y(t) +  \frac{1}{2} \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}}dt_{1} dt_{2} \frac{\deltaˆ{2} S}{\delta x(t_{1})\delta x(t_{2}) }|_{x_{c}}y(t_{1})y(t_{2})\Longrightarrow

S[x]\approx S[x_{c}]+ \frac{1}{2} \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}}dt (m \dot{y}ˆ{2} - V''(x_{c}) yˆ{2})

on peut par conséquent approximer le propagateur :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) \approx eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar} \int \mathcal{D}[y] eˆ{i \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}}dt (m \dot{y}ˆ{2} - V''(x_{c}) yˆ{2})/2\hbar}

une intégration par partie de l'exposant ramène à une forme Gaussienne :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})\approx eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar} \int \mathcal{D}[y] eˆ{i \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}}dt (y[-m \frac{dˆ{2}}{dtˆ{2}} - V''(x_{c}] y)/2\hbar}

Définissons l'opérateur   \hat{O}= -m \frac{dˆ{2}}{dtˆ{2}} - V''(x_{c})

les règles de calcul des intégrales Gaussiennes fournissent :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) \approx cste \cdot \sqrt{\frac{1}{Det (\hat{O})}}\cdot eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar}

Considérons désormais la fonction Ψ (t) définie comme suit :

 \hat{O} \Psi= (-m \frac{dˆ{2}}{dtˆ{2}} - V''(x_{c})) \Psi=0

avec les conditions de bords :

Ψ (ti) = 0

Ψ' (ti) = 1

On peut alors montrer que :

Det(\hat{O}) = cste \cdot \Psi(t_{f})

ce qui nous donne pour l'approximation du propagateur :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) \approx \sqrt{\frac{A}{\Psi(t_{f})}}\cdot eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar}

on détermine la constante A à partir du propagateur de la particule libre :

K_{fp}(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar (t_{f}-t_{i})}} eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar}

dans le cas de la particule libre, la fonction Ψ qui satisfait les conditions exposées plus haut est Ψ (t) = tti, ce qui nous donne immédiatement une expression pour A. On obtient finalement l'approximation dite semi-classique du propagateur :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) \approx \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar \Psi(t_{f})}}\cdot eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar}

cette approximation est puissante, et peut même donner quelquefois un résultat exact, comme par exemple dans le cas où le potentiel est celui d'un oscillateur harmonique de fréquence ω. Dans ce cas, la fonction Ψ doit satisfaire, en plus des conditions de bord :

(-m \frac{dˆ{2}}{dtˆ{2}} - m \omegaˆ{2} ) \Psi=0 \Longrightarrow \Psi(t)=\frac{\sin \omega (t-t_{i})}{\omega}

et on obtient l'expression exacte du propagateur de l'oscillateur harmonique, par l'approximation semi-classique :

K_{ho}(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin \omega(t_{f}-t_{i})}}\cdot eˆ{i S[x_{c}]/ \hbar}

avec l'action classique de l'oscillateur harmonique :

 S_{cl}[x]= \int_{t_{i}}ˆ{t_{f}} dt \mathcal{L}[x,\dot{x}] = \frac{m\omega}{2}\left[(x_{f}ˆ{2}+x_{i}ˆ{2})\cot\omega (t_{f}-t_{i})-\frac{2x_{i}x_{f}}{\sin\omega (t_{f}-t_{i})}\right]

à noter une autre formulation équivalente de l'approximation semi-classique, dite de Van Vleck-Pauli-Morette, qui découle directement de la précédente :

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})_{sc} = \sqrt{-\frac{1}{2 \pi i \hbar}\frac{\partial ˆ{2} S_{cl}}{\partial x_{i} \partial x_{f}}}\cdot eˆ{i S_{cl}/ \hbar}

Bibliographie

Textes historiques

  • Richard P. Feynman ; The principle of least action in quantum mechanics, thèse de l'université de Princeton. Cette thèse vient d'être publiée par Laurie M. Brown (cf. ci-dessous).
  • Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6) .
  • PAM Dirac ; The lagrangian in quantum mechanics, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6) .
  • Laurie M. Brown (Editor)  ; Feynman's thesis : a new approach to quantum theory, World Scientific (2005), (ISBN 981-256-380-6) . Contient la thèse originale de Feynman, mais aussi les deux articles qui ont précédé.

Ouvrages de références

  • Jean Zinn-Justin  ; Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction, Collection savoirs actuels, E. D. P. Sciences/C. N. R. S. Editions (2003), (ISBN 2-86883-660-7) . Excellente introduction au sujet, ce livre est le fruit de nombreuses années d'enseignement au Magistère Interuniversiataire de Physique de l'E. N. S.
  • Claude Cohen-Tannoudji ; Compléments de mécanique quantique, (1966). Cours donné en 1966 par le prix Nobel 1997 (Collège de France, Paris). Aborde la formulation Lagrangienne de la mécanique quantique, et l'utilisation des fonctions de Green. Notes de cours rédigées en 1966 par Serge Haroche (Collège de France, Paris).
  • Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York : McGraw-Hill (1965), (ISBN 0-07-020650-3) .
  • Larry S. Schulman ; Techniques & Applications of Path Integration, Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN. Réédité par Dover Publications, Inc. (2005), (ISBN 0-486-44528-3) . Une autre référence, légèrement plus moderne que la précédente.
  • Christian Grosche & Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals, Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), (ISBN 3-540-57135-3) .
  • Philippe A. Martin ; L'intégrale fonctionnelle ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), (ISBN 2-88074-331-1) .
  • Lundqvist & co ; Path Summation ; World scientific (1988), (ISBN 9971-5-0597-5) .
  • Martin Veltman ; Diagrammatica, CambridgeLNP
  • Lewis H. Ryder ; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), (ISBN 0-521-33859-X) .
  • R. J. Rivers ; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory, Cambridge University Press (1987), (ISBN 0-521-25979-7) .
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004), (ISBN 981-238-107-4) . (Disponible aussi en ligne au format pdf).
  • Christian Grosche ; An introduction into the Feynman path integral, cours donné au Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik, Universität Leipzig, 16-26 November 1992. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-th/9302097.
  • Sanjeev Seahra ; Path Integrals in Quantum Field Theory, notes du cours Quantum Field Theory donné en 2000 par Eric Poisson à l'University of Waterloo (Canada). Texte complet disponible au format pdf.
  • Richard MacKenzie ; Path integral methods and applications, cours donné aux Rencontres du Vietnam : VIth Vietnam School of Physics, Vung Tau, Vietnam, 27 December 1999 - 8 January 2000. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0004090.
  • Gert Rœpstorff ; Path Integral Approach to Quantum Physics, Springer-Verlag (1994), (ISBN 3-540-55213-8) .

Approche mathématiquement rigoureuse

  • S. Albeverio & R. Hœgh-Krohn.  ; Mathematical Theory of Feynman Path Integral, Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag (1976), ISBN.
  • James Glimm et Arthur Jaffe Quantum Physics : a Functional Integral Point of View, New York : Springer-Verlag (1981), (ISBN 0-387-90562-6) .
  • Gerald W. Johnson and Michel L. Lapidus ; The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2002), (ISBN 0-19-851572-3) .
  • Etingof, Pavel ; Geometry and Quantum Field Theory, M. I. T. OpenCourseWare (2002). Ce cours en ligne, conçu pour les mathématiciens, est une introduction rigoureuse à la théorie quantique des champs via les intégrales fonctionnelles.
  • Cécile DeWitt-Morette ; Feynman's path integral - Definition without limiting procedure, Communication in Mathematical Physics 28 (1) (1972) pp. 47–67. Texte complet disponible sur : Euclide Project.
  • Pierre Cartier & Cécile DeWitt-Morette ; A new perspective on functional integration, Journal of Mathematical Physics 36 (1995) pp. 2137-2340. Texte complet disponible sur l'ArXiv : funct-an/9602005.
  • Pierre Cartier ; L'intégrale de chemin de Feynman : d'une vue intuitive à un cadre rigoureux, dans : Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Collection Le sel et le fer, Cassini (2000) pp. 27-59 (ISBN 2-84225-007-9) .
  • Alain Connes & Dirk Kreimer : Communication in Mathematical Physics 210 (2000) 1.249-273
  • Alain Connes & Marcolli : Communication in Mathematical Physics 216 (2001), 1, 215-241
  • Alain Connes ; page personnelle, articles 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167.

Notes et références

  1. Les physiciens qualifient l'intégrale curviligne d'un champ de vecteur de circulation (par exemple, le travail d'une force. )
  2. Richard P. Feynman ; The principle of least action in quantum mechanics, thèse de l'université de Princeton. Cette thèse vient d'être publiée dans Laurie M. Brown (Editor)  ; Feynman's thesis : a new approach to quantum theory, World Scientific (2005), (ISBN 981-256-380-6) .
  3. Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6) , mais aussi dans : Laurie M. Brown (Editor)  ; Feynman's thesis : a new approach to quantum theory, World Scientific (2005), (ISBN 981-256-380-6) .
  4. Il existe clairement un lien formel entre les deux types d'intégrales de chemins - Feynman et Wiener -, car tandis que l'équation de Schrödinger d'une particule massive non relativiste libre s'écrit : 
- \frac{\hbarˆ2}{2m} \ \Delta \psi(\vec{r},t) \ = \ i \hbar \ \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t}
ψ est la fonction d'onde quantique, l'équation de la diffusion dans l'espace pour la densité de probabilité P s'écrit : 
D \ \Delta P(\vec{r},\tau) \ = \ \frac{\partial P(\vec{r},\tau)}{\partial \tau}
On voit clairement qu'il suffit de poser : D = - \hbar/2m pour le cœfficient de diffusion, et : t = iτ pour le temps pour transformer l'équation de Schrödinger en équation de la diffusion. Or, il se trouve que l'intégrale de chemin de Wiener - pour l'équation de la diffusion - est plus facile à définir mathématiquement rigoureusement que celle de Feynman - pour l'équation de Schrödinger. Certains auteurs ont par conséquent proposé de définir l'intégrale de Feynman à partir de la mesure de Wiener en faisant un prolongement analytique pour les temps imaginaires.
  5. Cette théorie ne sera publiée qu'en 1945 : John Archibald Wheeler & Richard P. Feynman ; Review of Modern Physics 17 (1945) 157.
  6. PAM Dirac ; The lagrangian in quantum mechanics, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6) , mais aussi dans : Laurie M. Brown (Editor)  ; Feynman's thesis : a new approach to quantum theory, World Scientific (2005), (ISBN 981-256-380-6) .
  7. Silvian S. Schweber ; Feynman's visualization of space-time processes, Review of Modern Physics 58 (2) (1986) 449-508.
  8. Cette équation avait été écrite par Dirac dans son article de 1933.
  9. Un gros problème dans cette définition est que cette "mesure formelle" n'est pas une vraie mesure au sens rigoureux du mathématicien. Pour une définition rigoureuse de l'intégrale de Feynman, consulter les traités - fréquemment particulièrement techniques - de la bibliographie.
  10. L'ressemblance avec le mouvement Brownien montre que les chemins qui contribuent de façon significative à l'intégrale de Feynman sont continus, mais non différentiables. Plus exactement, ce sont des chemins Lipchitziens d'exposants 1/2.

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