Infini

L'illimité est un concept qui à pour but de quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.



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  • Dont les éléments existent en nombre infini. C'est ce pouvoir que nous affirmons... Ensemble illimité. Ensemble dont certaines parties sont constituées... (source : atilf)

L'illimité (du latin finitus, «limité», noté généralement ) est un concept qui à pour but de quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.

En mathématiques

L'infini joue un rôle important dans les mathématiques et il n'est pas surprenant de le rencontrer dans plusieurs de ses branches, sous le double aspect du nombre par la théorie des cardinaux et de l'espace par la théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas obligatoirement, ainsi un segment ou un disque ont une illimitété de points mais une mesure finie.

En théorie des ensembles

Un ensemble E est illimité si, et uniquement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de \mathbb {N}, ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion. [1], [2], [3]

Articles détaillés : Ensemble fini et Ensemble illimité.

Si on admet l'axiome du choix, et uniquement à cette condition, [4] tout ensemble E est en correspondance biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.

La notion de nombre cardinal, qui modélise la «taille» des ensembles, s'applique autant aux ensembles finis qu'aux ensembles illimités. Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles illimités dénombrables est noté \aleph_0aleph-zéro»).

Ensembles illimités dénombrables

Un ensemble illimité est dit dénombrable si, et uniquement si, il existe une bijection entre lui et \mathbb{N}. Intuitivement, un ensemble illimité est dénombrable si, et uniquement si, on peut «énumérer» ses éléments : le «premier» élément, le «deuxième» élément, le «troisième» élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

A titre d'exemple, nous pouvons montrer que \mathbb{Q}ˆ+ est dénombrable, voir la méthode.

La totalité \mathbb{N}ˆ2 = \mathbb{N} \times \mathbb{N} des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout couple (p, q) , on peut associer le nombre :

n = [ (p + q) (p + q + 1) / 2] + p, [5] et on vérifiera facilement que la fonction ainsi définie est injective.

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est «effective» : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme. Mais on peut particulièrement bien avoir montré qu'un ensemble est illimité dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini[6], sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. Par contre, le cardinal d'un ensemble illimité dénombrable est dit «transfini».

Ensembles illimités non dénombrables

Un ensemble illimité non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec \mathbb{N}. On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Ainsi en est-il de la totalité des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif complètement ordonné \mathbb{R}, archimédien et tel que toute partie majorée admette une limite supérieure ; \mathbb{R} est l'unique corps, à l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de \mathbb{Q} à satisfaire le critère de Cauchy.

La totalité des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale de Cantor.

On dit que \mathbb{R} a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est 2ˆ{\aleph_0} (le cardinal de l'ensemble des parties de \mathbb{\N}). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que \aleph_1, le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à 2ˆ{\aleph_0} (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, qu'on nomme l'hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.


Article détaillé : Nombre transfini.

En géométrie

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre vision, abordèrent (sans le savoir) la question de l'infini quand ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles «se coupent à l'infini» dans l'espace et en un point sur le tableau; ce point du tableau mais aussi la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine courant des points dits «à l'infini» dans chaque direction. L'objectif est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

En optique géométrique

L'infini est un concept simplificateur en optique :

Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).

En topologie

compactification

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact sert à rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit (E, U) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace ( E\cup\{\infty\}, U\quad ' ), où \infin est un élément extérieur à E, et U'est obtenu de U en lui ajoutant l'ensemble des complémentaires dans E\cup\{\infty\} des compacts de (E, U) .

On peut alors définir les «voisinages de l'infini» : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U'\ U.

complétion

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, habituellement de deux manières envisageables :

On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné, puisque on considère généralement autant comme supérieur à l'ensemble des réels finis, que comme inférieur à tous. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.

En physique

Le fait que ce concept fasse intrusion dans une théorie est le signe que celle-ci est incomplète, comme le montre la crise majeure que la physique a subie au début du XXe siècle[7]. À cette époque la physique se trouvait dans l'incapacité d'expliquer divers phénomènes, dont le fait qu'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est censé rayonner un flux illimité (voir catastrophe ultraviolette). Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.

Cette situation se renouvelle avec le concept du Big Bang puisque, dans le cadre de la relativité générale cette notion conduit, dans son interprétation naïve, à la naissance d'illimités (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps, apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque lointaine de l'histoire de l'Univers.

Dans plusieurs branches de la physique, comme la théorie quantique des champs ou la physique statistique, les chercheurs ont pu éliminer les divergences indésirables de la théorie avec techniques mathématiques de renormalisation. Ces techniques n'ont pu être appliquées pour le moment à la théorie de la gravitation.

En théologie

Les religions monothéistes induisent le plus souvent la notion d'illimité (ou plus exactement les notions d'éternité et de transcendance), même si elle est moins formalisée que la notion mathématique correspondante.

Une des premières manifestations de cette notion remonte à l'Égypte ancienne, au temps d'Akhénaton, autour du culte du dieu Aton[8].

Dès l'antiquité, le concept d'illimité est présent en Inde[9], dans la religion jaïniste, qui considérait le monde comme illimité.

La Tour de Babel cherchant à atteindre le ciel a été interprétée par des auteurs modernes comme une forme de recherche d'illimité[10]. Depuis les années cinquante les toitures de certaines églises modernes sont en forme de paraboloïde hyperbolique dont la surface mathématique asymptotique semble monter vers l'infini. C'est le cas de l'église Saint-Thibaut au Pecq[11]. Dans la plaquette éditée par "l'association des Amis de Saint Thibaut" en mai 1965 un chapitre s'intitule : "Que tout s'élève vers l'infini" il y est écrit : ".. . L'arêtier-poursuit l'exposé du parti-est une hyperbole et nous avons déterminé cette courbe de sorte que l'assemblée ne puisse en voir l'extrémité. Nous pensons que cette particularité contribuera à suggérer l'élan vers l'infini. Telles étaient les idées des architectes" et on lit en légende du tracé schématique de la toiture : "Tracé schématique de la forme de l'église, montrant comment on a pu construire les paraboloïdes hyperboliques à partir d'éléments rectilignes. Les quatre voiles de bois se rejoignent à leur pointe, déterminant une convergence vers l'infini... [12].

Dans les exemples qui précèdent, l'idée de transcendance est associée à une notion d'espace ou de temps illimité. A l'époque moderne Cantor l'associa aussi, semble-t-il, à l'infinité numérique, considérant que ses travaux sur les nombres cardinaux et ordinaux avaient des implications théologiques. [13]

Histoire

Usage et opérabilité du concept

L'infini potentiel chez les anciens

Les mathématiciens ont de tout temps utilisé l'appartenance et l'inclusion mais ont eu les plus grandes difficultés à associer à ces concepts ceux de nombre et de grandeur. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute grandeur donnée, ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue [14].

C'est ainsi qu'Euclide, au lieu de dire «la totalité des nombres premiers est illimité», dit «pour toute quantité donnée de nombres premiers, il y en a un plus grand». De même, Aristote se refuse à considérer qu'une ligne droite est «composée de points».

Galilée remarque qu'il y a une correspondance biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que l'assertion commune «le tout est plus grand que la partie» ne se vérifie pas quand on parle de quantités illimitées [15]. Cependant, loin d'y trouver une motivation pour l'étude des ensembles illimités, il y voit la preuve du caractère non opérationnel de l'infini, position acceptée plus de deux siècles plus tard par Cauchy. [16] Ainsi par conséquent, jusqu'assez avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d'utiliser directement les ensembles illimités et préféraient raisonner «en compréhension» sur les propriétés de leurs éléments. Ceci n'empêcha pas l'apparition du calcul illimitétésimal, par conséquent, mais aussi le reconnaît Bourbaki, [17] cette position avait permis des développements importants tout en posant des garde-fous. [18]

L'infini potentiel chez les constructivistes modernes

Issu de la «crise des fondements» du début du XXe siècle, le courant intuitionniste promu par Brouwer, rejette les méthodes de la logique classique, censée ne pas s'appliquer en tout cas aux objets illimités. [19] Actuellement ce terme d'intuitionniste s'applique à une axiomatisation bien précise de la logique sans tiers exclu. Une forme de philosophie mathématique qui se revendique volontiers de celle de Brouwer est celle du courant constructiviste, dont un représentant notoire, Roger Apéry a ainsi exposé la conception de l'infini :

S'il extrapole la réalité, le mathématicien constructif refuse les hypothèses fantastiques des platoniciens ; en effet (...... ) il constate que la mathématique se déroule dans le temps. (....... ) son immortalité lui permet d'atteindre des nombres aussi grands qu'il veut, mais pas de définir l'ensemble des nombres ; il croit à l'infini potentiel, pas à l'infini actuel. [20]

C'est l'incursion du temps qui en effet pour les constructivistes distingue l'infini potentiel, dont les parties sont construites successivement, de l'infini actuel, dont les parties sont données simultanément ; or pour eux il s'agit bien d'une activité humaine ; «il n'y a pas de mathématiques sans mathématicien» dit Apéry.

L'infini actuel et le temps

Au Moyen Âge, saint Bonaventure avait affirmé que d'un pur point de vue logique — indépendamment de ce que disait la Bible — il était impossible que le monde ait toujours existé ; Thomas d'Aquin réfuta cette assertion par un raisonnement formel, rien en l'absence d'information ne permettant d'exclure a priori une éternité aujourd'hui achevée[21].

Un sophisme célèbre, imaginé par le créationniste américain W. L. Craig selon une parabole de Bertrand Russell dont l'objectif était autre, prétend démontrer l'impossibilité d'une durée illimitée achevée, et par conséquent prouver que le monde a eu un commencement, par l'histoire de Tristram Shandy, lequel écrit son autobiographie au rythme d'un an d'écriture par journée vécue, et a fait cela l'ensemble des années du passé. Si par conséquent le temps n'a jamais commencé, quel jour de sa vie Tristram Shandy est-il en train de commenter cette année ? Aucun jour du passé ne conviendrait, par conséquent il est impossible que le temps n'ait pas une origine. [22]

La supercherie est évidente pour qui connaît les coordonnées cartésiennes : le scénario comporte une contradiction ; Tristram Shandy qui écrit 365, 25 fois moins vite que l'horloge a obligatoirement commencé son autobiographie quelque jour, ce qui en aucune manière ne prouve l'obligation logique d'un début du temps.

Les particulièrement grands nombres

Dans l'expression populaire, l'adjectif «illimitées» est quelquefois utilisé pour qualifier de très vastes étendues ou de très grandes quantités. Remarquons que même finis, les particulièrement grands nombres peuvent être complexes à concevoir. Ainsi les suites de Goodstein sont des suites définies particulièrement simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent l'entendement, quoiqu'ils soient toujours beaucoup plus petits que ceux génèrés par le castor affairé.

Les notations

Le symbole actuel de l'infini a été utilisé pour la première fois en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage De sectionibus conicis, puis peu après dans l'Arithmetica Illimitétorum :

esto enim ∞ nota numeri illimitéti. [23]

Trois hypothèses existent quant à l'origine de ce choix. La plus couramment admise est qu'il s'agit d'une évolution du chiffre désignant'1000'dans la numération romaine : successivement ?, puis CIƆ, avant de devenir M. L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné \infin. Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu. On notera l'expression française toujours utilisée actuellement «des mille et des cents» rappelant cet usage. Le symbole actuel serait par conséquent simplement l'évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.

Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg Cantor on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux illimités. Le plus petit ordinal illimité, qui correspond au bon ordre courant sur les entiers naturels, est noté ω.

Enfin, Georges Ifrah, dans son encyclopédie «L'histoire universelle des chiffres», explique que la graphie de l'infini remonte à la civilisation indienne, et surtout à la mythologie indienne. L'Ananta, (terme sanskrit qui veut dire illimité) le «serpent illimité» du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un «huit renversé».

Notes et références

  1. Alfred Tarski Sur les ensembles finis 1924 Fund. Math. t. 6 p. 45, p. 95
  2. Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.
  3. Roland Fraïssé Logique mathématique, t. 1 Gauthier-Villars Paris 1971, p. 12-13-14
  4. Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P. U. F. Paris 1972 p. 38
  5. J. Garsoud, Analyse mathématique, Dunod Paris 1968 p. 29
  6. Par exemple la totalité des entiers qui codent une machine de Turing ne s'arrêtant pas sur son propre code, est bien entendu dénombrable, mais ne peut être énuméré effectivement voir problème de l'arrêt.
  7. Voir (en) C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44.
  8. (1939) Sigmund Freud Der Mann Moses und die monotheistische Religion, Éd. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main - 1964
    Traduit de l'Allemand Par Anne Berman sous le titre Moïse et le monothéisme et consultable en ligne sur la bibliothèque numérique Les Classiques des sciences sociales de l'Université du Québec à Chicoutimi.
  9. Jaina mathematics, J J O'Connor et E F Robertson.
  10. Stefan Zweig "La tour de Babel" essai tome 3 : "Leurs sages s'aperçurent qu'une science pratiquée par un peuple seul ne pouvait atteindre l'infini"
  11. Eglise saint-Thibaut
  12. Plaquette intitulée : L'église Saint-Thibaut Marly-le-roi -Le-Pecq éditée par "les amis de Saint Thibaut - 17 bis rue de Saint Cyr - 78160 MARLY LE ROI"
  13. §3.2, Ignacio Jané, «The role of the absolute illimitéte in Cantor's conception of set», dans Erkenntnis, vol.  42, no 3, May 1995, p.  375-402 [lien DOI] 
  14. Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp. 57-58
  15. Galileo Galilei Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8 pp. 78-80
  16. Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p. 58
  17. Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p. 58
  18. Ibid. Bourbaki y voit néanmoins «une certaine dose d'hypocrisie».
  19. Brouwer semble cependant ne pas rejeter l'infini actuel. Dans sa Dissertation de 1907, p. 97, il rédige : Quant à l'infini actuel des cantoriens, il existe bien, pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit, et que nous nous abstenions de l'étendre par des combinaisons logiques qui ne peuvent pas être réalisées - Cité par Michel Bourdeau La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (41e année, n° 164, 2003, p. 29-43) texte en ligne
  20. Ouvrage collectif «Penser les mathématiques», séminaire de l'ENS, Editions du Seuil 1982 p. 63 ISBN 2 02 006061 2 exposé en ligne
  21. Texte en ligne d'Ezio Vailati, South Illinois University - voir Aquinas en fin de page
  22. Robin Small The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 37, No. 2 (Jun., 1986), pp. 213-216 résumé de la critique
  23. (en) Earliest uses of symbols of calculus

Voir aussi


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