Inéquation du second degré

Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme où a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.

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Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme $axˆ2 + bx + c < 0 \mbox{ ou } axˆ2 + bx + c \geq 0$ où a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.

Résolution

Pour résoudre une telle inéquation, il faut étudier le signe de $a x 2 + b x + c$ .

Il faut commencer par déterminer les racines réelles de $a x 2 + b x + c$ . Les racines réelles sont les solutions réelles de l'équation du second degré $a x 2 + b x + c = 0$ . On peut distinguer trois cas de figure

aucune racine
une racine double (-b/2a)
deux racines (x1 et x2).

L'étude du signe peut se faire par factorisation de l'expression du second degré et tableau de signe.

Ou bien, on peut utiliser les observations graphiques suivantes :

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a > 0, selon le nombre de racines.

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a < 0, selon le nombre de racines.

De ces observations, on peut tirer la règle suivante :

le polynôme

a x 2 + b x + c

est du signe d'a sauf entre les racines.

Exemples

$x 2 - 2 x + 5$ a pour discriminant - 16, il ne possède pas de racine. le cœfficient devant x² est 1, il est positif. Par conséquent $x 2 - 2 x + 5$ est toujours positif.
$50 - 2 x 2$ possède deux racines 5 et - 5. Le cœfficient devant x² est - 2, il est négatif par conséquent $50 - 2 x 2$ est négatif sauf entre - 5 et 5. On peut alors résumer l'étude de signe dans un tableau de signes.

valeurs de x

$-\infty$

- 5

+ 5

$+\infty$

signe de 50 - 2x²

Exemples d'inéquations

1) Pour un périmètre de 12 cm, quelles sont les dimensions du rectangle tel que l'aire soit supérieure à 5 cm² ?

On nomme x, une des dimensions du rectangle. Puisque le demi-périmètre est 6 cm alors l'autre dimension est 6 - x. L'aire du rectangle est par conséquent x (6 - x). le problème revient à résoudre, dans l'intervalle [0 ; 6], l'inéquation

x (6 - x) > 5

. cette inéquation est successivement équivalent à

- x 2 + 6 x > 5

on a développé et ordonné le premier membre

- x 2 + 6 x - 5 > 0

on a retranché 5 à chaque membre de l'inégalité

Le polynôme

- x 2 + 6 x - 5

possède deux racines (discriminant = 16, racines = 1 et 5. Le cœfficient devant x est -1, il est négatif par conséquent le polynôme est négatif sauf entre 1 et 5. On souhaite que le polynôme soit strictement positif, il faut par conséquent prendre x dans l'intervalle ]1 ; 5[

2) Résoudre, dans ]0 ; 6[, l'inéquation $x(6 - x) \leq 2x - 5$ .

L'inéquation est équivalente à $0 \leq xˆ2 - 4x - 5$ . Ce polynôme possède deux racines -1 et 5. Le cœfficient devant x² est positif. Le polynôme est positif sauf entre - 1 et 5. La totalité des solutions est par conséquent l'intervalle [5 ; 6[.

3) Résoudre, dans R, l'inéquation $2 x 2 + 25 > 0$

Le polynôme

2 x 2 + 25

ne possède pas de racine, son cœfficient devant x² est 2, il est positif. Le polynôme est par conséquent toujours strictement positif quelle que soit la valeur de x. La totalité des solutions est par conséquent R.

4) Résoudre, dans R, l'inéquation $xˆ2 + 25 \leq 0$ .

Le polynôme n'admet pas de racine, le cœfficient devant x² est positif, le polynôme est par conséquent toujours positif, il n'est jamais négatif. La totalité des solutions est vide.

5) Résoudre, dans R, l'inéquation $(x + 5) 2 > 0$ .

Le polynôme admet une racine double (- 5). Le cœfficient devant x² est positif, par conséquent le polynôme est positif sauf en - 5 où il s'annule. La totalité des solutions est par conséquent $]-\infty; -5[ \cup ]-5 ; + \infty[$

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