Inéquation du second degré
Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme où a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une... (source : matheureka)
- Équation du second degré, toute équation se ramenant à la forme : a x2 + bx + c = 0. • Inéquation du second degré, toute inéquation se ramenant à la forme... (source : pagesperso-orange)
- Résolution d'inéquations du second degré, ressource 97. ×. Choisissez le nombre d'exercices que vous souhaitez générer : 5, 10, 15, 20... (source : euler.ac-versailles)
![]() Cet article est membre de la série Mathématiques élémentaires |
Algèbre |
Logique |
Arithmétique |
Probabilités |
Statistiques |
Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme où a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.
Résolution
Pour résoudre une telle inéquation, il faut étudier le signe de ax2 + bx + c.
Il faut commencer par déterminer les racines réelles de ax2 + bx + c. Les racines réelles sont les solutions réelles de l'équation du second degré ax2 + bx + c = 0. On peut distinguer trois cas de figure
- aucune racine
- une racine double (-b/2a)
- deux racines (x1 et x2).
L'étude du signe peut se faire par factorisation de l'expression du second degré et tableau de signe.
Ou bien, on peut utiliser les observations graphiques suivantes :

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a > 0, selon le nombre de racines.

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a < 0, selon le nombre de racines.
De ces observations, on peut tirer la règle suivante :
- le polynôme ax2 + bx + c est du signe d'a sauf entre les racines.
Exemples
- x2 − 2x + 5 a pour discriminant - 16, il ne possède pas de racine. le cœfficient devant x² est 1, il est positif. Par conséquent x2 − 2x + 5 est toujours positif.
- 50 − 2x2 possède deux racines 5 et - 5. Le cœfficient devant x² est - 2, il est négatif par conséquent 50 − 2x2 est négatif sauf entre - 5 et 5. On peut alors résumer l'étude de signe dans un tableau de signes.
valeurs de x |
|
|||||
signe de 50 - 2x² |
|
Exemples d'inéquations
- 1) Pour un périmètre de 12 cm, quelles sont les dimensions du rectangle tel que l'aire soit supérieure à 5 cm² ?
- On nomme x, une des dimensions du rectangle. Puisque le demi-périmètre est 6 cm alors l'autre dimension est 6 - x. L'aire du rectangle est par conséquent x (6 - x). le problème revient à résoudre, dans l'intervalle [0 ; 6], l'inéquation x (6 − x) > 5. cette inéquation est successivement équivalent à
- − x2 + 6x > 5 on a développé et ordonné le premier membre
- − x2 + 6x − 5 > 0 on a retranché 5 à chaque membre de l'inégalité
- Le polynôme − x2 + 6x − 5 possède deux racines (discriminant = 16, racines = 1 et 5. Le cœfficient devant x est -1, il est négatif par conséquent le polynôme est négatif sauf entre 1 et 5. On souhaite que le polynôme soit strictement positif, il faut par conséquent prendre x dans l'intervalle ]1 ; 5[
- 2) Résoudre, dans ]0 ; 6[, l'inéquation
.
- L'inéquation est équivalente à
. Ce polynôme possède deux racines -1 et 5. Le cœfficient devant x² est positif. Le polynôme est positif sauf entre - 1 et 5. La totalité des solutions est par conséquent l'intervalle [5 ; 6[.
- 3) Résoudre, dans R, l'inéquation 2x2 + 25 > 0
- Le polynôme 2x2 + 25 ne possède pas de racine, son cœfficient devant x² est 2, il est positif. Le polynôme est par conséquent toujours strictement positif quelle que soit la valeur de x. La totalité des solutions est par conséquent R.
- 4) Résoudre, dans R, l'inéquation
.
- Le polynôme n'admet pas de racine, le cœfficient devant x² est positif, le polynôme est par conséquent toujours positif, il n'est jamais négatif. La totalité des solutions est vide.
- 5) Résoudre, dans R, l'inéquation (x + 5) 2 > 0.
- Le polynôme admet une racine double (- 5). Le cœfficient devant x² est positif, par conséquent le polynôme est positif sauf en - 5 où il s'annule. La totalité des solutions est par conséquent
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.