Inéquation du second degré

Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme où a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.



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Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, avec opérations élémentaires, se mettre sous la forme  axˆ2 + bx + c < 0 \mbox{ ou } axˆ2 + bx + c \geq 0 a est un réel non nul, b et c deux nombres réels et x sert à désigner l'inconnue.

Résolution

Pour résoudre une telle inéquation, il faut étudier le signe de ax2 + bx + c.

Il faut commencer par déterminer les racines réelles de ax2 + bx + c. Les racines réelles sont les solutions réelles de l'équation du second degré ax2 + bx + c = 0. On peut distinguer trois cas de figure

L'étude du signe peut se faire par factorisation de l'expression du second degré et tableau de signe.

Ou bien, on peut utiliser les observations graphiques suivantes :

Trois paraboles(1).png

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a > 0, selon le nombre de racines.

Trois paraboles(2).png

Position d'une parabole comparé à l'axe des x pour a < 0, selon le nombre de racines.

De ces observations, on peut tirer la règle suivante :

le polynôme ax2 + bx + c est du signe d'a sauf entre les racines.

Exemples

valeurs de x
 -\infty - 5 + 5  +\infty
signe de 50 - 2x²
- 0 + 0 -

Exemples d'inéquations

On nomme x, une des dimensions du rectangle. Puisque le demi-périmètre est 6 cm alors l'autre dimension est 6 - x. L'aire du rectangle est par conséquent x (6 - x). le problème revient à résoudre, dans l'intervalle [0 ; 6], l'inéquation x (6 − x) > 5. cette inéquation est successivement équivalent à
x2 + 6x > 5 on a développé et ordonné le premier membre
x2 + 6x − 5 > 0 on a retranché 5 à chaque membre de l'inégalité
Le polynôme x2 + 6x − 5 possède deux racines (discriminant = 16, racines = 1 et 5. Le cœfficient devant x est -1, il est négatif par conséquent le polynôme est négatif sauf entre 1 et 5. On souhaite que le polynôme soit strictement positif, il faut par conséquent prendre x dans l'intervalle ]1 ; 5[
L'inéquation est équivalente à 0 \leq xˆ2 - 4x - 5 . Ce polynôme possède deux racines -1 et 5. Le cœfficient devant x² est positif. Le polynôme est positif sauf entre - 1 et 5. La totalité des solutions est par conséquent l'intervalle [5 ; 6[.
Le polynôme 2x2 + 25 ne possède pas de racine, son cœfficient devant x² est 2, il est positif. Le polynôme est par conséquent toujours strictement positif quelle que soit la valeur de x. La totalité des solutions est par conséquent R.
Le polynôme n'admet pas de racine, le cœfficient devant x² est positif, le polynôme est par conséquent toujours positif, il n'est jamais négatif. La totalité des solutions est vide.
Le polynôme admet une racine double (- 5). Le cœfficient devant x² est positif, par conséquent le polynôme est positif sauf en - 5 où il s'annule. La totalité des solutions est par conséquent ]-\infty; -5[ \cup ]-5 ; + \infty[

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