Inégalité de Markov
En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une limite supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive.
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- \quad ; \quad D_3 =\ mathbb {R} \times D_2 \]... On suppose que l'égalité suivante est vérifiée \[ \forall \ phi (y, z) \in.... S'il s'agit d'un processus de Markov, il n'y a pas de loi a priori, ... (source : les-mathematiques)
En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une limite supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été appelée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.
Énoncé
Inégalité de Markov — Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
Démonstration
On a l'inégalité

dès que On en déduit que
Corollaire
Elle possède un corollaire souvent utilisé :
Corollaire — Soit une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et telle que Alors
Démonstration
On applique l'inégalité de Markov à ainsi qu'à pour obtenir que
Applications
- Le choix et donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Le choix ou bien et 0, \ " src="http ://upload. wikimedia. org/math/1/c/2/1c24fad70003d07585bfdd1fdb725735. png" /> donne l'inégalité de Chernoff ou l'inégalité de Hœffding.
- L'inégalité de Markov est fréquemment appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.
Voir aussi
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