Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une limite supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive.

Catégories :

Probabilités - Inégalité

Page(s) en rapport avec ce sujet :

\quad ; \quad D_3 =\ mathbb {R} \times D_2 \]... On suppose que l'égalité suivante est vérifiée \[ \forall \ phi (y, z) \in.... S'il s'agit d'un processus de Markov, il n'y a pas de loi a priori, ... (source : les-mathematiques)

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une limite supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été appelée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé

Inégalité de Markov — Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

$<img class=$

Démonstration

On a l'inégalité

$\forall \omega\in\Omega,\qquad Z(\omega)\ge a\ 1_{\{Z(\omega)\ge a\}},$

dès que On en déduit que

Corollaire

Elle possède un corollaire souvent utilisé :

Corollaire — Soit une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et telle que Alors

$<img class=$

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à ainsi qu'à pour obtenir que

$<img class=$

Applications

Le choix et donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le choix ou bien et 0, \ " src="http ://upload. wikimedia. org/math/1/c/2/1c24fad70003d07585bfdd1fdb725735. png" /> donne l'inégalité de Chernoff ou l'inégalité de Hœffding.

L'inégalité de Markov est fréquemment appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Markov.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.