Inégalité de Le Cam

L'inégalité de Le Cam, due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson.

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Inégalité - Probabilités

L'inégalité de Le Cam^[1], due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson. Sa démonstration, élégante et peu calculatoire, illustre la méthode de couplage popularisée par Wolfgang Döblin.

Énoncé

Soit un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs On note

$S_n=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}.\$

Alors

Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

$\left|\mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\sum_{\ell\in A}\,\frac{\lambda_nˆ\ell\,eˆ{-\lambda_n}}{\ell!}\right|\ \le\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.$

En particulier, S_n suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :

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En conséquence,

$\sum_{\ell\in\mathbb{N}}\ \left|\mathbb{P}\left(S_n=\ell\right)-\,\frac{\lambda_nˆ\ell\,eˆ{-\lambda_n}}{\ell!}\right|\ \le\ 2\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.$

Conséquence : paradigme de Poisson

Posons

$M_n=\max_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}.$

On a les inégalités :

$M_nˆ2\le\sum_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}ˆ2\le M_n\lambda_n,\quad\text{et}\quad a_n\ge \lambda_n/M_n,$

donc les deux conditions ci-dessus entrainent que

$\lim_n M_n\,=\,0,\$
$\lim_n a_n\,=\,+\infty.\$

Conséquence : paradigme de Poisson — La somme S_n de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre

Remarques

Cette propriété peut rester vraie si on relaxe l'hypothèse d'indépendance, comme on le voit dans le cas du nombre de points fixes d'une permutation tirée au hasard. Le paradigme de Poisson a été généralisé dans de nombreuses directions^[2].
Le cas spécifique a_n=n, λ_n=λ/n de l'inégalité de Le Cam précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres n et λ/n vers la loi de Poisson de paramètre λ.

A voir

Notes

↑ L. Le Cam, «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution», dans Pacific Journal of Mathematics, vol. 10, n^o 4, 1960, p. 1181–1197 [texte intégral (page consultée le 2009-05-13) ]
↑ (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992 (ISBN 0198522355) .

Bibliographie

(en) Torgny Lindvall, Lectures on the Coupling Method, Dover Publications, 30 août 2002, 2^e éd. , paperback, 272 p. (ISBN 0486421457 et ISBN 978-0486421452)

Pages liées

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