Inégalité de Le Cam
L'inégalité de Le Cam, due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson.
L'inégalité de Le Cam[1], due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson. Sa démonstration, élégante et peu calculatoire, illustre la méthode de couplage popularisée par Wolfgang Döblin.
Énoncé
Soit un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs On note
Alors
Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

En particulier, Sn suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :
En conséquence,

Conséquence : paradigme de Poisson
Posons
On a les inégalités :
donc les deux conditions ci-dessus entrainent que
Conséquence : paradigme de Poisson — La somme Sn de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre
Remarques
- Cette propriété peut rester vraie si on relaxe l'hypothèse d'indépendance, comme on le voit dans le cas du nombre de points fixes d'une permutation tirée au hasard. Le paradigme de Poisson a été généralisé dans de nombreuses directions[2].
- Le cas spécifique an=n, λn=λ/n de l'inégalité de Le Cam précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres n et λ/n vers la loi de Poisson de paramètre λ.
A voir
Notes
- ↑ L. Le Cam, «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution», dans Pacific Journal of Mathematics, vol. 10, no 4, 1960, p. 1181–1197 [texte intégral (page consultée le 2009-05-13) ]
- ↑ (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992 (ISBN 0198522355) .
Bibliographie
- (en) Torgny Lindvall, Lectures on the Coupling Method, Dover Publications, 30 août 2002, 2e éd. , paperback, 272 p. (ISBN 0486421457 et ISBN 978-0486421452)
Pages liées
- Lucien Le Cam
- Loi de Bernoulli
- Loi de Poisson
- Couplage (probabilités)
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