Identité remarquable

En mathématiques, on nomme identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres.

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Identité mathématique - Mathématiques élémentaires

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Factorisation. Identités remarquables. 2.4 Équations et inéquations du premier degré... intervenir une identité remarquable est complexe pour certains élèves.... formules n'est exigée. La notion d'équation ne fait pas partie du socle... (source : easymaths.free)

En mathématiques, on nomme identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres. Elles servent généralement à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions. Elles servent pour la résolution des équations du second degré et sont d'une façon plus générale utiles pour la recherche de solutions d'équations^{[Note 1]}.

La plupart de ces identités remarquables ont dans un premier temps été démontrées avec raisonnements géométriques puis ont été généralisées à des puissances supérieures par des calculs algébriques.

Identités remarquables du second degré

Énoncés

Les trois identités remarquables du second degré sont^[1] :

$(a+b)ˆ2 = aˆ2 + 2ab + bˆ2\,$ $(a-b)ˆ2 = aˆ2 - 2ab + bˆ2\,$ $(a+b)(a-b) = aˆ2 - bˆ2\,$

La seconde de ces identités peut être vue comme un cas spécifique de la première, en prenant, au lieu de b, -b dans la première égalité. Ces égalités font l'objet d'un vocabulaire spécifique :

Définition d'un produit remarquable^[1] — Les trois expressions suivantes sont nommées produit remarquable :

$(a+b)ˆ2,\quad (a-b)ˆ2\quad\text{et}\quad (a-b)(a+b)$

On définit de même :

Définition d'une somme remarquable^[1] — Les trois expressions suivantes sont nommées somme remarquable :

$aˆ2 + 2ab + bˆ2,\quad aˆ2 - 2ab + bˆ2\quad\text{et}\quad aˆ2 - bˆ2$

Ici a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes. Ces identités sont vraies dans un cadre général, elles sont aussi valables dans un anneau, à condition que a et b commutent^[2].

Exemples

Développement et réduction

Les identités remarquables permettent de transformer l'écriture de certaines expressions algébriques, comme dans l'exemple suivant^[3] :

$A=(2x - 3)ˆ2 + (x+5)(3-x)\;$

L'expression A est la somme de deux termes. Le premier terme est un produit remarquable, qu'on peut transformer en somme :

$(2x -3)ˆ2 = 4xˆ2 - 12x + 9\quad\text{et}\quad A = 4xˆ2 - 12x + 9 + (x+5)(3-x)\;$

Le deuxième terme se traite avec la distributivité de la multiplication comparé à l'addition :

$(x+5)(3-x) = x(3-x)+5(3-x)=3x -xˆ2 + 15 - 5x = -xˆ2 -2x + 15\;$

En additionnant termes à termes, on obtient :

$A=4xˆ2 - 12x + 9-xˆ2 -2x + 15 = 3xˆ2 -14x + 24\;$

Équation du second degré

Article détaillé : Équation du second degré.

Les identités remarquables permettent de résoudre une équation du second degré. Illustrons la méthode sur l'exemple suivant :

$xˆ2 +2x - 5 = 0 \;$

La méthode consiste à travailler la partie de l'expression qui ne dépend pas de x de façon à utiliser une des deux premières identités remarquables et factoriser la partie qui dépend de x :

$xˆ2 + 2x - 5 = xˆ2 + 2x + 1 -6 \;$

Les trois premiers termes sont désormais une somme remarquable, il est envisageable d'appliquer une identité remarquable et l'équation devient :

$xˆ2 + 2x - 5 = (x +1)ˆ2 - 6 = (x +1)ˆ2 - (\sqrt 6)ˆ2 = 0$

On reconnaît une nouvelle somme remarquable, l'équation s'écrit toujours :

$xˆ2 + 2x - 5 =(x+1 + \sqrt 6)(x+1- \sqrt 6)=0$

Un produit a. b de deux nombres a et b est nul si, et uniquement si, a ou b est nul^{[Note 2]}. Résoudre l'équation revient à résoudre deux équations du premier degré :

$(1)\; x +1 + \sqrt 6 = 0 \quad\text{et}\quad (2)\; x +1 - \sqrt 6 = 0$

On trouve les deux racines :

$x_1 = -1 - \sqrt 6 \quad\text{et}\quad x_2 = -1 + \sqrt 6$

Identité remarquable et géométrie

Article détaillé : Algèbre géométrique.

Ces identités remarquables sont connues depuis les babyloniens^[4]. Il est envisageable qu'ils se soient rendu compte de ces égalités avec raisonnements géométriques. Il existe une méthode simple pour trouver la formule suivante^{[Note 3]} :

$(a+b)ˆ2=aˆ2 + 2ab + bˆ2\;$

Pour se convaincre de la véracité de la formule, on considère la figure de droite. Elle représente un carré. On suppose que la longueur coté du carré bleu est égale à a et celle du carré rouge à b. L'aire du grand carré est égale à (a + b) ². Il existe une autre manière d'exprimer cette aire, elle est la somme des aires bleue, rouge et des deux zones vertes. L'aire bleue est égale à a² car c'est un carré de côté a, l'aire rouge est égale à b² et chaque rectangle vert possède des côtés de longueur a et b, leur aire est égale à a. b. Comme il existe deux rectangles verts, on obtient bien la formule annoncée.

Démonstration par l'algèbre

L'algèbre permet toujours de démontrer ces formules. Calculons (a - b) ². La distributivité montre que :

$(a-b)ˆ2 = (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = aˆ2 - ab - ba + bˆ2 = aˆ2 - 2ab + bˆ2\;$

On démontre de même la troisième identité remarquable :

$(a+b)(a-b)= a(a-b) + b(a-b) = aˆ2 - ab + ba - bˆ2 = aˆ2 - bˆ2\;$

Identités remarquables et arithmétique

Identité de Brahmagupta

Article détaillé : Identité de Brahmagupta.

Brahmagupta, un mathématicien indien du VI^e siècle découvre une identité remarquable du quatrième degré^[5] :

$\left(aˆ2 - n\cdot bˆ2\right)\left(cˆ2 - n\cdot dˆ2\right) = \left(ac+n\cdot bd\right)ˆ2 - n\cdot \left(ad+bc\right)ˆ2$

Brahmagupta l'utilise dans le cas où a, b, c, d et n sont des nombres entiers. Elle sert à calculer une bonne approximation d'une racine. Pour calculer √3, il remarque que 2² - 3.1² = 1. Il applique son identité plusieurs fois, toujours avec n = 3. La première fois, il pose a = c = 2, b = d = 1. Il obtient :

$(2ˆ2 - 3\cdot1)(2ˆ2 - 3\cdot1)=(2\cdot2 + 3\cdot1)ˆ2 - 3\cdot(2\cdot1 + 1\cdot2)ˆ2= 7ˆ2 - 3\cdot 4ˆ2=1$

Il redébute avec cette fois avec : a = c = 7, b = d = 4. Il obtient une nouvelle manière d'écrire 1 :

$97ˆ2 - 3\cdot 56ˆ2 = 1$

Il réapplique la même logique, il obtient toujours une autre manière d'écrire 1 :

$18\,817ˆ2 - 3\cdot 10\,864ˆ2 = 1$

Cette égalité s'écrit toujours :

$18\,817ˆ2 = 3\cdot 10\,864ˆ2 + 1\quad\text{et}\quad \left(\frac {18\,817}{10\,864}\right)ˆ2 = 3 + \frac 1{10\,864ˆ2}$

Il obtient une fraction dont le carré est presque égal à 3, ce qui revient à dire que 18 817/10 864 est presque égal à √3. Si on calcule la fraction, on trouve un résultat dont les neuf premiers chiffres significatifs fournissent la meilleure approximation envisageable (avec le même nombre de décimales), à savoir : 1, 73205081. Il utilise aussi sa formule pour trouver des solutions à une équation diophantienne complexe, dite de Pell-Fermat. Sa méthode porte le nom de chakravala.

Identité des quatre carrés d'Euler

Article détaillé : Identité des quatre carrés d'Euler.

L'identité des quatre carrés d'Euler relie entre eux huit nombres. Elle prend la forme suivante :

$(a_1ˆ2+a_2ˆ2+a_3ˆ2+a_4ˆ2)(b_1ˆ2+b_2ˆ2+b_3ˆ2+b_4ˆ2)\,$ $=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)ˆ2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)ˆ2\,$ $+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)ˆ2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)ˆ2\,$

Elle est utilisée, entre autres pour démontrer le théorème des quatre carrés qui indique que tout nombre entier est somme de quatre carrés.

Identités remarquables de degré n

Formule du binôme

Article détaillé : Formule du binôme.

La même technique de démonstration que celle utilisé pour les formules de degré 2 montre que, si a et b désignent toujours deux nombres :

$(a + b)ˆ3 = aˆ3 + 3aˆ2b + 3abˆ2 + bˆ3\,$ $(a - b)ˆ3 = aˆ3 - 3aˆ2b + 3abˆ2 - bˆ3\,$

Appliqué encore une fois, on obtient :

$(a + b)ˆ4 = aˆ4 + 4aˆ3b + 6aˆ2bˆ2 +4abˆ3 + bˆ4\,$ $(a - b)ˆ4 = aˆ4 - 4aˆ3b + 6aˆ2bˆ2 -4abˆ3 + bˆ4\,$

On peut la généraliser à un degré n quelconque, avec la formule du binôme :

$(x+y)ˆn=\sum_{k=0}ˆn {n \choose k} xˆ{n-k} yˆk$

Les cœfficients de l'expression, reconnue comme un polynôme en x et en y sont nommés cœfficients binomiaux. Comme b peut prendre une valeur négative, on obtient bien les deux formes précédentes.

La formule s'applique même si a et b ne sont pas des nombres. Ces lettres peuvent désigner deux matrices qui commutent entre elles. Généralement, la formule est vraie dans un anneau, si a et b commutent.

Différence ou somme de puissances

Il est aussi envisageable de généraliser la troisième identité remarquable de degré 2. Si a et b désignent deux nombres :

$aˆ3 + bˆ3 = (a + b) (aˆ2 - ab + bˆ2)\,$ $aˆ3 - bˆ3 = (a - b) (aˆ2 + ab + bˆ2) \,$ $aˆ4 + bˆ4 = (aˆ2 + ab\sqrt{2}+ bˆ2 ) (aˆ2 - ab\sqrt{2} + bˆ2 )\,$

Si on travaille dans un ensemble qui n'est pas celui des nombres, la dernière formule n'est valable que si √2 existe, c'est-à-dire s'il existe une valeur c telle que c² soit égal à 1 + 1. Il faut, en conséquence que l'élément neutre de la multiplication existe.

La formule suivante sert à généraliser la démarche :

$aˆn - bˆn = (a - b) (aˆ{n-1} + aˆ{n-2}b + \cdots + abˆ{n-2} + bˆ{n-1} ) \,$

Annexes

Liens externes

Bibliographie

(fr) R. Brault Mathématiques 3^ième Hachette éducation (2008) (ISBN 978-2-01-125539-6)
La première partie de l'article s'inspire beaucoup de cette référence.
(fr) L E Dickson History of the theory of numbers vol. II, Diophantine analysis 1920 réimpression Dover Publications 2005 (ISBN 0486442330)
Les deux identités remarquables, mais aussi leurs usages en arithmétique sont présents dans cette référence, bien plus technique que la précédente.

Notes

↑ Ces informations mais aussi celles de l'article sont principalement extraites du livre : R. Brault Mathématiques 3^ième Hachette éducation (2008) (ISBN 978-2-01-125539-6)
↑ Voir à ce sujet l'article Équation produit-nul
↑ Les autres formules sont proposées dans l'article Algèbre géométrique

Références

Écriture littérale et identités remarquables par le site Wouf
↑ Les éléments pour apporter ces identités sont disponibles dans : A. Chambert-Loir Algèbre commutative De l'Université de Rennes I Chap 2 (2005)
↑ Il est extrait du site : Y. Monka Développements par le site M@th et tiques p 2
↑ Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 74
↑ On trouve cette information dans le site anglais : J. J. O'Connor E. F. Robertson Pell's equation Par le site historique de l'Université de St Andrew

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