Géométrie dans l'espace

La géométrie dans l'espace consiste à étudier les objets définis dans la géométrie plane dans un espace à trois dimensions ainsi qu'à y ajouter des objets qui ne sont pas contenus dans des plans : surfaces (plans et surfaces courbes) et volumes fermés. Il s'agit par conséquent de géométrie dans un espace à trois dimensions.

Géométrie euclidienne dans l'espace

On peut adopter, dans l'espace à trois dimensions, les mêmes axiomes que la géométrie euclidienne.

Quand on étudie les objets de la géométrie plane, il suffit généralement de se contenter de les imaginer dans un plan. Résoudre un problème revient ainsi à considérer différents plans, ainsi qu'à étudier les propriétés des objets contenus dans ces plans. La solution vient généralement du fait qu'un objet appartient à plusieurs plans à la fois.

Les objets sont dits «coplanaires» s'ils appartiennent à un même plan. Notons que :

• par deux droites sécantes, il passe un plan et un seul.
• par deux droites parallèles non confondues, il passe un plan et un seul.
• par trois points non alignés, il passe un plan et un seul.
• par une droite et un point hors de cette droite, il passe un plan et un seul.

donc on peut définir un plan par trois points non alignés – ou – par deux droites sécantes – ou – par deux droites parallèles non confondues – ou – par une droite et un point hors de cette droite.

Exemple d'objets non plans

Surfaces courbes ouvertes :

• paraboloïdes de révolution
• hyperboloïdes de révolution
• cônes de révolution

Volumes fermés :

• polyèdres
  • cônes à base polygonale
  • prismes
  • parallélépipèdes
  • pyramides
• volumes de révolution
  • cônes de révolution
  • cylindres
  • sphères
  • ellipsoïdes
  • paraboloïdes

Adaptation de notions de géométrie plane

• Perpendicularité
  • Normale à une surface
• Transformations :
  • Homothétie
  • Projection
  • Rotation

Notions spécifiques

• Angle solide
• Solide géométrique

Voir aussi Géométrie analytique > Géométrie analytique dans l'espace.

Géométrie non-euclidienne dans l'espace

On peut appliquer les axiomes des géométries non-euclidiennes (géométrie hyperbolique et elliptique) dans l'espace.

Le résultat est assez déroutant pour le sens commun, mais a permis le développement de la théorie de la relativité générale, surtout en fournissant un modèle géométrique à la gravité. On ne parle plus de «droite», mais de «géodésique» ; ainsi, la trajectoire d'un satellite dans l'espace est une géodésique, ce qui sert à prédire par exemple le phénomène d'avance du périhélie; de même, la trajectoire d'un rayon lumineux entre deux étoiles correspond à une géodésique de longueur nulle (ce qui ne veut pas dire pour tout autant que les deux points de l'espace-temps soient confondus : rappelons que ce dernier forme un espace non-euclidien).

En utilisant une géométrie dans l'espace euclidien et la théorie de la gravitation de Newton (force reliant les centres des astres), on obtiendrait une trajectoire elliptique sans avance du périhélie, au contraire de ce qui est constaté expérimentalement (abstraction faite de l'avance du périhélie due aux perturbations des autres planètes). On dit quelquefois, par boutade, que le modèle de gravitation de Newton n'est complètement valable que dans un seul cas : celui où aucun corps massif n'est là pour en perturber le modèle, ce qui a bien entendu quelque chose de gênant.

Bibliographie

• Le géométricon, bande dessinée de la collection Les Aventures d'Anselme Lanturlu, Jean-Pierre Petit, site de Savoir sans Frontières.

Voir aussi

• géométrie euclidienne
• géométrie vectorielle
• géométrie analytique
• Propriétés métriques des droites et plans
• relativité générale

Propriétés métriques des droites et plans

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