Géométrie analytique

La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont représentés par des équations ou des inéquations.



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  • La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on... Il fait intervenir surtout les premières équations de droites, .... Si d est nul, alors le plan passe par O. Si c est non nul, l'équation peut s'écrire... (source : techno-science)
  • Géométrie analytique dans l'espace. Exercice 2010 Les quatre points A, B, C..... Exercice 2028 Écrire l'équation du plan passant par la droite... (source : math.univ-lille1)

La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont représentés par des équations ou des inéquations. Elle est principale pour la physique et l'infographie.

En géométrie analytique le choix d'un repère est indispensable. L'ensemble des objets seront décrits assez à ce repère, avec coordonnées.

Histoire

L'analyse en géométrie

Le terme de géométrie analytique, par opposition à la géométrie synthétique, se refère aux méthodes d'analyse et synthèse pratiquées par les géomètres grecs. Elle en est progressivement venue à se confondre avec sa méthode privilégiée, la méthode des coordonnées.

Dans les mathématiques grecques, l'analyse consiste à partir de l'objet cherché, en supposant son existence, de façon à établir ses propriétés. Il faut poursuivre dans cette voie jusqu'à produire assez de propriétés pour caractériser l'objet. On peut alors renverser la situation, en ne faisant plus l'hypothèse d'existence et en l'introduisant effectivement l'objet par le biais des propriétés caractéristiques : c'est la phase de synthèse, qui doit aboutir à la preuve d'existence.

La difficulté pratique qui a limité les progrès des géomètres est le manque d'un formalisme adapté à la description des relations entre grandeurs géométriques. François Viète, à la fin du XVIe siècle unifie le calcul sur les nombres et le calcul sur les grandeurs géométriques à travers un outil précieux, le calcul littéral. Le principe de la réduction au calcul algébrique est posé, il manque toujours une méthode systématique pour l'exploiter.

La méthode des coordonnées

René Descartes propose de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au calcul algébrique. Dans sa Géométrie de 1637, il en donne le principe. Il s'agit de représenter grandeurs connues et inconnues par des lettres, et de trouver tout autant de relations entre grandeurs connues et inconnues qu'il y a d'inconnues au problème. On y reconnaît bien une démarche analytique, conduisant à des systèmes d'équations qu'il s'agit de diminuer à une seule équation. Descartes donne des interprétations des cas sur- ou sous-déterminés. Ses manipulations, cependant, se limitent aux équations algébriques, qu'il classe par degré, et ne peuvent être appliquées aux courbes qu'il qualifie de mécaniques (aujourd'hui dites transcendantes).

Pierre de Fermat est le premier à faire, à la même époque, un usage systématique des coordonnées elles-mêmes pour résoudre les problèmes de lieux géométriques. Il fait intervenir surtout les premières équations de droites, paraboles ou hyperboles. Il présente ces idées dans Ad locus planos et solidos isagoge, en 1636, texte publié après sa mort.

Dans les notations de Descartes, au contraire de Fermat, les constantes sont continuellement notées a, b, c, d, ... et les variables x, y, z. Il s'oppose en cela à la tradition de l'époque et un lecteur d'aujourd'hui s'en trouve moins dérouté.

Géométrie analytique plane

Le plan affine est pourvu d'un repère (\mathrm{O},\vec{i},\vec{j}) ; x sert à désigner l'abscisse d'un point, et y l'ordonnée de ce point.

Droite

Une droite affine (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est représentée par une équation du premier degré à deux inconnues :

ax + by + c = 0 (1)

Si c est nul, alors la droite passe par l'origine O. Si deux droites sont parallèles, alors leurs cœfficients a et b sont proportionnels. Si b n'est pas nul, cette équation peut se réécrire :

y = a′·x + b′

a′ = - a/b est nommé le cœfficient directeur ou la pente de la droite, et b′ = - c/b est nommé ordonnée à l'origine (offset ou intercept en anglais)  ; deux droites parallèles ont le même cœfficient directeur. Avec cette forme là, on voit facilement que la droite passe par le point (0, b′), qui est aussi nommé ordonnée à l'origine (le terme sert à désigner par conséquent à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si a est nul, on a une droite horizontale

y = b′

passant par le point (0, b′). Si b est nul, on a une droite verticale

x = - c/a

passant par le point (- c/a, 0).

Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement x = 0 et y = 0 (sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracé est trivial). On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point «éloigné» (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer x = 10 si on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure)  ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis.

Une droite vectorielle (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs colinéaires, proportionnels entre eux) est représentée simplement par une équation de droite avec c nul :

au1 + bu2 = 0

u1 et u2 sont les composantes des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de composantes

\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}

est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé, selon une propriété du produit scalaire, le vecteur

\vec{N} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

est un vecteur normal à la droite.

Quel que soit le repère, si A (xA, yA) est un point de la droite et \vec{u} un vecteur directeur, alors pour tout point M (xM, yM) de la droite, on a

\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}

puisque \overrightarrow{\mathrm{AM}} est colinéaire à \vec{u}. Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite :

\left\{\begin{matrix} (x_\mathrm{M} - x_\mathrm{A}) = k \cdot u_1 \\ (y_\mathrm{M} - y_\mathrm{A}) = k \cdot u_2 \end{matrix}\right.

qui peut s'écrire

\left\{\begin{matrix} x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + x_\mathrm{A} \\ y_\mathrm{M} = u_2 \cdot k + y_\mathrm{A} \end{matrix}\right. (2)

en éliminant le paramètre k, on retrouve une équation de la forme (1).

Point

Un point est représenté par un dispositif de deux équations du premier degré à deux inconnues :

\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}\right.

ce qui est logique puisque, un point étant l'intersection de deux droites non-parallèles, ses coordonnées doivent vérifier les équations des deux droites : la réduction de ce dispositif d'équations donne la forme ci-dessus. Ceci est bien bien entendu la représentation du point (a, b).

Demi-plan

Un demi-plan est représenté par une inéquation du premier degré à deux inconnues :

ax + by + c > 0

si on remplace le signe > par un signe =, on obtient l'équation de la droite qui délimite le demi-plan ; si on remplace le signe > par le signe < (ou si l'on inverse les signe des coefficients), on obtient le demi-plan complémentaire.

Intersection de droites

Le plan est rapporté à un repère. Une droite (non verticale) peut être définie par une équation :

y = ax + b.

Si on considère 2 droites définies par les équations y = ax + b et y = a'x + b', on peut savoir s'il y a une intersection ou non grâce à l'un des 3 cas suivant :

x = \frac{(b' - b)}{(a - a')} et
y = \frac{(ab' - a'b)}{(a - a')} .

La démonstration se fait grâce à la résolution d'un dispositif de deux équations à deux inconnues : y = ax + b et y = a'x + b'.

Demi-droite

Une demi-droite est caractérisée par une équation et une inéquation :

<img class=

(les deux dispositifs représentant des demi-droites complémentaires), sinon à un dispositif du type :

<img class=

Avec une équation paramétrique, cela revient à l'équation (2) en rajoutant la condition k > 0 ou k < 0.

Le cercle et le disque

Le cercle de centre A et de rayon r est la totalité des points localisés à une distance r de A. Son équation est donc :

(xxA) 2 + (yyA) 2 = r2

que on peut écrire :

y = y_\mathrm{A} + \sqrt{rˆ2 - (x-x_\mathrm{A})ˆ2},\ x \in [x_\mathrm{A}-r,x_\mathrm{A}+r]

Cette forme porte le nom «d'équation cartésienne du cercle». Son équation paramétrique est :

\left\{\begin{matrix} x = x_\mathrm{A} + r \cdot \cos \theta \\
y = y_\mathrm{A} + r \cdot \sin \theta \end{matrix}\right.

où θ est un réel, qui peut être pris sur un intervalle de largeur 2π ; on prend généralement ]-π, π] ou [0, 2π[. L'équation du disque s'obtient en remplaçant le signe «égal» par un signe «inférieur ou égal».

Géométrie analytique dans l'espace

L'espace affine est pourvu d'un repère (\mathrm{O},\vec{i},\vec{j},\vec{k}) ; x sert à désigner l'abscisse d'un point, y l'ordonnée et z la cote.

Plan

Un plan affine (c'est-à-dire un plan au sens habituel en géométrie, composé de points) est représenté par une équation du premier degré à trois inconnues :

ax + by + cz + d = 0 (3)

Si deux plans sont parallèles entre eux, alors ils ont des vecteurs normaux multiples, alors leurs cœfficients a, b et c sont proportionnels. Si d est nul, alors le plan passe par l'origine O. Si c est non nul, l'équation peut s'écrire :

z = a′·x + b′·y + c′

avec a′ = - a/c, b′ = - b/c et c′ = - d/c. Si c est nul, alors on a un plan vertical.

Un plan vectoriel (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs coplanaires) est représenté par une équation

au1 + bu2 + cu3 = 0

u1, u2 et u3 sont les composantes d'un vecteur. Les vecteurs suivants sont des vecteurs du plan vectoriel, et si au moins deux cœfficients de l'équation du plan sont non nuls, deux de ces vecteurs forment une base du plan :

\vec{u} = \begin{pmatrix} - b \\ a \\ 0 \end{pmatrix}
\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ - c \\ b \end{pmatrix}
\vec{w} = \begin{pmatrix} - c \\ 0 \\ a \end{pmatrix}

(la base obtenue n'est a priori pas orthonormée). Ces vecteurs forment aussi des vecteurs d'un plan affine dont l'équation a les mêmes cœfficients a, b et c que l'équation du plan vectoriel.

Si deux des cœfficients sont nuls, alors l'équation se réduit à l'une des trois formes suivantes :

u1 = 0, qui représente le plan vectoriel (\vec{j},\vec{k}) ;
u2 = 0, qui représente le plan vectoriel (\vec{i},\vec{k}) ;
u3 = 0, qui représente le plan vectoriel (\vec{i},\vec{j}).

De même,

ax + d = 0 représente un plan affine parallèle à (\vec{j},\vec{k}), dont l'équation peut s'écrire x = - d/a
by + d = 0 représente un plan affine parallèle à (\vec{i},\vec{k}), dont l'équation peut s'écrire y = - d/b
cz + d = 0 représente un plan affine parallèle à (\vec{i},\vec{j}), dont l'équation peut s'écrire z = - d/c.

Dans l'ensemble des cas, si le repère de l'espace est orthonormal, le vecteur

\vec{\mathrm{N}} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}

est un vecteur normal au plan

Quel que soit le repère, si le plan passe par un point A (xA, yA, zA) et est pourvu d'une base quelconque (\vec{u},\vec{v}), alors pour tout point M (xM, yM, zM), on a

\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v},\ (k,t) \in \mathbb{R}ˆ2

puisque \overrightarrow{\mathrm{AM}}, \vec{u} et \vec{v} sont coplanaires. Ceci conduit à l'équation paramétrique

\left\{\begin{matrix}
(x_\mathrm{M} - x_\mathrm{A}) = k \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\
(y_\mathrm{M} - y_\mathrm{A}) = k \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\
(z_\mathrm{M} - z_\mathrm{A}) = k \cdot u_3 + t \cdot v_3
\end{matrix} \right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + v_1 \cdot t + x_\mathrm{A} \\
y_\mathrm{M}  = u_2 \cdot k + v_2 \cdot t + y_\mathrm{A} \\
z_\mathrm{M} = u_3 \cdot k + v_3 \cdot t + z_\mathrm{A}
\end{matrix} \right. (4)

Droite

Une droite étant l'intersection de deux plans non-parallèles, elle est décrite par un dispositif de deux équations du premier degré à trois inconnues :

\left\{\begin{matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{matrix}\right. (5)

La droite est contenue dans les deux plans, elle est par conséquent orthogonale aux vecteurs normaux \vec{\mathrm{N}_1} et \vec{\mathrm{N}_2} des deux plans. Le produit vectoriel \vec{u} = \vec{\mathrm{N}_1} \wedge \vec{\mathrm{N}_2} des vecteurs normaux apporte par conséquent un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé direct, le vecteur \vec{u} a pour composantes :

\vec{u} = \begin{pmatrix} bc'-b'c \\ ca'-c'a \\ ab'-a'b \end{pmatrix}

Si d'autre part on connaît un point A (xA, yA, zA) et un vecteur directeur \vec{u} de la droite, alors si M (xM, yM, zM) est un point de la droite, il vérifie :

\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}

puisque \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \vec{u} sont colinéaires. On obtient par conséquent l'équation paramétrique :

\left\{\begin{matrix}
x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + x_\mathrm{A} \\
y_\mathrm{M} = u_2 \cdot k + y_\mathrm{A} \\
z_\mathrm{M} = u_3 \cdot k + z_\mathrm{A}
\end{matrix}\right. (6)

Point

Un point étant l'intersection de trois plans, il est décrit par un dispositif de trois équations du premier degré à trois inconnues :

\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \\ z = c \end{matrix} \right.

Le point étant l'intersection de trois plans concourants, ses coordonnées doivent vérifier les trois équations ; la réduction de ce dispositif donne la forme ci-dessus. Ce dispositif d'équations représente évidemment le point (a, b, c).

Voir aussi

Références


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