Fraction dyadique

En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, quand il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux.



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Fraction - Type de nombre

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  • les fractions dyadiques x, ce qui achève la démonstration. Théorème 2. En désignant par sn (x) les sommes partiel- les de (1) et par a, b deux nombres (finis... (source : matwbn.icm.edu)

En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, quand il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux. On peut le noter formellement par

D=\left\{ \frac{a}{2ˆb}\,|\, (a,b) \in (\Z\times \N) \right\}.

A titre d'exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3. Ce sont exactement les nombres qui ont un développement de «décimales» binaire fini.

Le pouce est généralement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière identique, les divisions habituelles du gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de l'ensemble des fractions dyadiques est dense dans la totalité des nombres réels; un nombre réel quelconque x peut être arbitrairement approché tout autant qu'on veut par des rationnels dyadiques de la forme

\lfloor 2ˆn x \rfloor / 2ˆn.

Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans un certain sens, plutôt «petit», c'est pourquoi il apparaît parfois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction dyadique :

\frac{a}{2ˆb}+\frac{c}{2ˆd}=\frac{2ˆ{d-b}a+c}{2ˆd} \quad (d\ge b)
\frac{a}{2ˆb}-\frac{c}{2ˆd}=\frac{2ˆ{d-b}a-c}{2ˆd} \quad (d\ge b)
\frac{a}{2ˆb}-\frac{c}{2ˆd}=\frac{a-2ˆ{b-d}c}{2ˆb} \quad (d< b)
\frac{a}{2ˆb}\times \frac{c}{2ˆd} = \frac{ a \times c}{2ˆ{b+d}}.

Par contre, le résultat de la division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, généralement, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de la totalité des nombres rationnels \mathbb{Q}\,. Algébriquement, ce sous-anneau est la localisation des entiers \mathbb{Z}\, comparé à la totalité des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui débute en générant l'ensemble des fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres illimités, illimitétésimaux et autres.

Solénoïde dyadique

Article détaillé : Solénoïde (mathématiques) .

Comme groupe abélien additif, la totalité des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes cycliques illimités

2ˆ{-n}\mathbb{Z};

pour n = 0, 1, 2, .... Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, appelément la limite inverse du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

\zeta \rightarrow \zetaˆ2.

Le groupe topologique résultant D est nommé le solénoïde dyadique.

Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite illimitée de nombres complexes :

q_0, q_1, q_2, \ldots\,, avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour l'ensemble des i > 0,
q_iˆ2 = q_{i-1}.

L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.

Comme espace topologique, c'est un continuum indécomposable.

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