Fraction

Une fraction, en mathématiques, est de manière naïve un certain nombre de parts reconnus après la division d'un nombre entier en parts identiques.



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Définitions :

  • Portion, partie d'un tout; (Mathématiques) Quantité qui contient un certain nombre de parties de l'unité, et dont l'expression est ... (source : fr.wiktionary)
  • qui ne peut se simplifier davantage; numérateur et dénominateur sont premiers entre eux, simplification. (source : villemin.gerard.free)
Un gâteau coupé en quatre dont une part a été retirée. Les trois autres parts apparaissant à l'image.

Une fraction, en mathématiques, est de manière naïve un certain nombre de parts reconnus après la division d'un nombre entier en parts identiques. A titre d'exemple, la fraction \frac{56}{8} sert à désigner le quotient de 56 par 8. Elle est égale à 7 car 7×8 = 56. Dans cette fraction, 56 est nommé le numérateur et 8 le dénominateur.

Les nombres qu'on peut représenter par des fractions de nombres entiers sont nommés nombres rationnels. La totalité des rationnels est noté \mathbb Q.

Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si (A, +, . ) est un anneau commutatif unitaire intègre, on peut créer le corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par ressemblance aux fractions d'entiers relatifs) \frac{a}{b} et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification, ... ) que les fractions de \mathbb Q.

Sens courant de la fraction

Définition de la fraction

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d \neq 0. Elle est représentée comme suit :

n/d ou nd ou \frac{n}{d}

Exemple : \frac{3}{7} veut dire qu'on divise 3 par 7; on prononce cette fraction «trois septièmes» et c'est pour cela que 3 est le numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes) tandis que 7 est le dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on travaille. Si on mange les 3/7 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts qu'on mange tandis que 7 indique le nombre total de parts, par conséquent l'unité reconnue...

On trouve aussi quelquefois la notation

n : d

ou encore

n ÷ d

les deux points remplaçant la barre de fraction (cette notation est à éviter) . deux points ( :) veut dire que le resultat de la fraction sera un nombre entier,  :- veut dire qu'il sera décimal

Modélisation d'une fraction

Pour comprendre et établir les règles de maniements des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une longueur d'un côté d'un polygone, fréquemment un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie ainsi qu'à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont fabriqués de manière abstraite à partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe la totalité des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelle. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.

La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, servant à généraliser les résultats au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Représenter une fraction

L'objectif ici est de visualiser une fraction n/d

La fraction peut être représentée par un dessin. Fréquemment une forme géométrique qu'on divise en plusieurs parties.

Fractions dont n < d

1° Le dénominateur d indique le nombre de parties identiques à dessiner dans la forme géométrique.
2° Le numérateur n indique le nombre de parties identiques utilisées.
Exemple :
Choisissons un rectangle comme forme géométrique et la fraction 34
Le dénominateur est 4 par conséquent le rectangle sera divisé en 4 parties identiques

     
     

Le numérateur est 3 par conséquent seules 3 parties identiques seront utilisées.

     
     

Autre possibilité : Fraction3 4.svg

Fractions dont n > d

Cette fraction sera équivalente au quotient de n/d, (qui représentera le nombre d'unité) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.

Exemple : pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1.
Le quotient est 2 par conséquent 2 unités, le reste 1 par conséquent 2 1/3.

Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un schéma unique, nous utiliserons par conséquent plusieurs formes géométrique semblables : Fraction7 3.svg

Prendre une fraction d'une quantité

Pour prendre les 23 de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :

750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Par conséquent 23 de 750 = 500

Prendre ab de c revient à diviser c par b ainsi qu'à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, lorsque on connaît les règles de calcul sur les fractions, Prendre ab de c revient à multiplier ab par c. D'une façon plus générale, on constate que le "de" est remplacé par une multiplication. Il en est de même lorsque on calcul 75% de c, on doit juste calculer 75% multiplié par c. En effet, 75% est une fraction : 75% = 75100 = 0, 75.

Fractions équivalentes

Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente.

Exemple : Fraction2 3.svg (on a multiplié 2/3 par 2/2)

Généralement, les fractions nd et n'd' sont équivalentes dès que n × d'= d × n'.

Exemple : Fraction6 9.svg

\frac{4}{6}=\frac{6}{9} car 6 \times 6 = 4 \times 9\, (on nomme ces deux produits les produits en croix).

Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre mais le plus grand envisageable. Ce nombre se nomme le PGCD (plus grand commun diviseur) de n et d. Après réduction, la fraction est dite irréductible.

Pour effectuer certaines opérations entre fractions, l'ensemble des dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que l'ensemble des dénominateurs soient semblables. Ce dénominateur sera le plus petit nombre envisageable qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre se nomme le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération se nomme diminuer au même dénominateur
Exemple :

\frac{3}{4}=\frac{3 \times 3\times 3\times 5}{4 \times 3\times 3\times 5}= \frac{135}{180}
\frac{1}{6}=\frac{1 \times 2\times 3\times 5}{6 \times 2\times 3\times 5}= \frac{30}{180}
\frac{5}{9}=\frac{5 \times 2\times 2\times 5}{9 \times 2\times 2\times 5}= \frac{100}{180}
\frac{14}{15}=\frac{14 \times 2\times 2\times 3}{15 \times 2\times 2\times 3}= \frac{168}{180}

Comparaison de fractions

Exemple : Fraction comp1.svg
<img class=Fraction comp2.svg
\frac{2}{7} < \frac{5}{7}
Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.
La comparaison des numérateurs donne 2 < 5
  • Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours diminuer les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs : Comparaison de 1/4 et 2/5
1/4 =5/20 et 2/5 = 8/20. Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5


Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale comme par exemple 1/4 = 0, 25 et 2/5 = 0, 4, 0, 25 < 0,4 donc 14 < 25.

Écriture décimale, écriture fractionnaire

Toute fraction possède un développement décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de n par d.

1/4 = 0, 25
2/3 = 0, 666... (période 6)
17/7 = 2, 428571428571... (période 428571)

Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.

Cas du nombre décimal

Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10n où n est le nombre de chiffres après la virgule :

0,256 = \frac{256}{1000}=\frac{32}{125}
15,16 = \frac{1516}{100}=\frac{379}{25}

Cas du développement décimal infini

Article détaillé : Développement décimal périodique.

On débute par se débarrasser de la partie entière : 3, 4545... = 3 + 0, 4545...

cas du développement décimal périodique simple

Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période débute immédiatement après la virgule.
0, 666 ou 0, 4545 ou 0, 108108
Comme numérateur, il suffit d'utiliser la période alors que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.
Exemple : 0, 4545
Période 45 par conséquent numérateur = 45
Période composée de deux chiffres par conséquent dénominateur = 99
Fraction = 45/99 ou 5/11 donc : 3, 4545... = 3 + 5/11 = 38/11

Sinon : Posons x pour 0, 4545454545...

100x=45, 4545454545 par conséquent 99x=45 par conséquent x = 45/99

Cas du développement décimal périodique mixte

Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne débute pas immédiatement après la virgule.
0, 8333 ou 0, 14666
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Exemple : 0, 36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 - 36 = 36945
Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.

Exemple 1 : dans la valeur 0, 36981981, la période 981 est constituée de 3 chiffres par conséquent le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 se compose de deux chiffres. Finalement nous aurons :
0, 36981981 = 36945/99900 ou 821/2220

Exemple 2 : 1,24545...= \frac{1245-12}{990}=137/110

Opérations sur les fractions

Addition et soustraction

Pour un dénominateur commun

Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.

Exemple d'une somme :

Fraction sum1.svg
Fraction sum2.svg

Exemple d'une différence :

Fraction diff.svg

Pour un dénominateur différent

Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.
Exemple : Fraction sum3.svg

A = \frac{1}{6} + \frac{4}{9}
A = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}
A = \frac{11}{18}

Multiplication

La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi.

\frac {2}{15} \times \frac {7} {11} = \frac {2 \times 7} {15 \times 11} = \frac {14} {165}

En voici une explication, basée sur une compréhension intuitive des fractions.

On peut comprendre sept onzièmes comme sept fois un onzième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit \frac {7} {11} comme {7} \times \frac {1}{11}. Ainsi multiplier \frac {2}{15} par \frac {7} {11} revient à effectuer \frac {2}{15} \times 7 \times \frac {1} {11} = \frac {2 \times 7}{15} \times \frac {1}{11}.
Mais multiplier par un onzième revient à diviser par 11, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 11 (les parts sont 11 fois plus petites), soit : \frac {2 \times 7} {15 \times 11} .

Autres fractions

  • fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
  • fraction unitaire : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier positif.
  • fraction égyptienne : fraction qui est la somme de fractions unitaires, toutes différentes.
  • fraction décimale : fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
  • fraction composée  : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions : \frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}=\frac{19}{15} \times \frac{6}{5} = \frac{38}{25}
  • fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels (a0, a1, a2, a3, ..., ak, ... ) de la manière suivante a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}
  • fraction rationnelle : fraction constituée à partir de l'anneau des polynômes à cœfficients dans \mathbb R.
  • fonction rationnelle : quotient de deux fonctions polynômes
  • Corps des fractions : corps construit à partir d'un anneau commutatif unitaire intègre et dans lequel on pourra effectuer des divisions.

Usage

Tandis que les Français utilisent volontiers les chiffres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent fréquemment exprimer les parties non entières par des fractions — probablement à cause de la différence culturelle (songer par exemple à la popularité du système métrique et du système impérial dans les deux cultures). A titre d'exemple, ils diront d'une personne qu'elle mesure 5 pieds ⅔ et non pas 5, 67 pieds.

Problèmes historiques

  1. J'ai trouvé une pierre mais je ne l'ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j'ai pesé le tout et j'ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l'origine le poids de la pierre? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
  2. Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
  3. Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
  4. Supposons qu'on ait 9 tiges d'or jaune et 11 tiges d'argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout justes égaux. Si on échange entre elles une de leurs tiges, l'or devient plus léger de 13 liang [unité de masse]. On demande combien pèsent respectivement une tige d'or et une tige d'argent. (les Les neuf chapitres sur l'art mathématique, problème 7.17)
  5. Une lance a la moitié et le tiers dans l'eau et neuf paumes à l'extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)

Voir aussi

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