Formule de Wald
Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Formule de Wald. Si X1 et T admettent les moyennes (espérances) m et t, alors E[ S|T] = mT et E[S] = mt. Démonstration. Prouvons va premi`ere assertion. On a... (source : iecn.u-nancy)
- ... La proposition suivante concerne la marche aléatoire arrêtée à un temps d'arrêt, elle généralise l'identité E (Sn) = n PROPOSITION 3.2 (Formule de Wald).... (source : books.google)
Théorème
Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose

Formule de Wald — On suppose que :
- est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes,
- les et sont intégrables,
et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :
- est un temps d'arrêt adapté à la suite. En d'autres termes l'événement est entièrement déterminé par
ou bien :
- est indépendant de la suite.
Alors on a :
![\mathbb{E}\left[S_N\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_1\right].](illustrations/45901918e020c2b1725229e6a62eb19b.png)
Formulation générale
On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, mais aussi l'indépendance de la suite dans la formulation suivante :
Hypothèse — Il existe une filtration telle que :
- est un temps d'arrêt adapté à la filtration ;
- la suite est adaptée à la filtration ;
- pour tout la tribu et la variable sont indépendants.
Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix et le second jeu d'hypothèses découle du choix
Encore d'une façon plus générale, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas spécifiques de la formule d'arrêt pour les martingales.
La variable aléatoire

est intégrable. En effet

Ainsi, pour en vertu de l'hypothèse d'indépendance entre la tribu et la variable
![\mathbb{E}\left[|X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_n|\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_1|\right]\,\mathbb{P}\left(n\le N\right).](illustrations/35695f10f8bf4b1cf49476822d4f7ef8.png)
Or est intégrable si et uniquement si la série de terme général est convergente (et la somme de cette série est). En vertu du théorème de Beppo-Levi, et de l'hypothèse d'intégrabilité faite sur N, la variable Z est intégrable, et on peut par conséquent s'en servir comme majorant pour appliquer le théorème de convergence dominée ou le théorème de Fubini à :
![\begin{align}
\mathbb{E}\left[S_{N}\right]&=\mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(n\le N\right)
\\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\mathbb{E}\left[N\right].
\end{align}](illustrations/5c0a14fd782a25ece7a72e2e3f883c98.png)
A voir
Pages liées
- Temps d'arrêt
- Martingale
- Abraham Wald
Bibliographie
- Abraham Wald, «On Cumulative Sums of Random Variables», dans The Annals of Mathematical Statistics, vol. 15, no 3, September 1944, p. 283–296 [texte intégral lien DOI]
- (en) [ Williams], Probability With Martingales, Cambridge University Press, 14 février 1991, 272 p. (ISBN 978-0521406055)
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