Formule de Wald

Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose


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Théorème de mathématiques - Probabilités

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  • Formule de Wald. Si X1 et T admettent les moyennes (espérances) m et t, alors E[ S|T] = mT et E[S] = mt. Démonstration. Prouvons va premi`ere assertion. On a... (source : iecn.u-nancy)
  • ... La proposition suivante concerne la marche aléatoire arrêtée à un temps d'arrêt, elle généralise l'identité E (Sn) = n PROPOSITION 3.2 (Formule de Wald).... (source : books.google)

Théorème

Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose

S_n=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n},\quad S_N=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N}=\sum\ X_n\ 1\!\!1_{1\le n\le N}.

Formule de Wald — On suppose que :

  • est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes,
  • les et sont intégrables,

et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :

  • est un temps d'arrêt adapté à la suite. En d'autres termes l'événement est entièrement déterminé par

ou bien :

Alors on a :

\mathbb{E}\left[S_N\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_1\right].

Formulation générale

On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, mais aussi l'indépendance de la suite dans la formulation suivante :

Hypothèse — Il existe une filtration telle que :

Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix et le second jeu d'hypothèses découle du choix

Encore d'une façon plus générale, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas spécifiques de la formule d'arrêt pour les martingales.

Démonstration

La variable aléatoire

Z=\sum\ |X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}

est intégrable. En effet

\{n\le N\}ˆ{c}=\{n-1\ge N\}=\bigcup_{k=0}ˆ{n-1}\{N=k\}\in\mathcal{F}_{n-1}.

Ainsi, pour en vertu de l'hypothèse d'indépendance entre la tribu et la variable

\mathbb{E}\left[|X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_n|\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_1|\right]\,\mathbb{P}\left(n\le N\right).

Or est intégrable si et uniquement si la série de terme général est convergente (et la somme de cette série est). En vertu du théorème de Beppo-Levi, et de l'hypothèse d'intégrabilité faite sur N, la variable Z est intégrable, et on peut par conséquent s'en servir comme majorant pour appliquer le théorème de convergence dominée ou le théorème de Fubini à  :

\begin{align} \mathbb{E}\left[S_{N}\right]&=\mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(n\le N\right) \\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\mathbb{E}\left[N\right]. \end{align}

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