Formule de Héron

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, sert à calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle ...



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Trigonométrie - Mathématiques élémentaires - Aire - Géométrie du triangle

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Notations usuelles dans un triangle

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, sert à calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

avec

s = \frac 12 (a+b+c) \,

s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

Démonstration

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

\cos\gamma = \frac{aˆ2+bˆ2-cˆ2}{2ab}

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

A \, = \frac 12 ab\sin\gamma\,
=\frac 12ab\sqrt{1-\cosˆ2\gamma}\,
=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,
=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{cˆ2-aˆ2-bˆ2}{2ab}\right)\left(1+\frac{cˆ2-aˆ2-bˆ2}{2ab}\right)}
=\frac14\sqrt{\left((a+b)ˆ2-cˆ2\right)\left(cˆ2-(a-b)ˆ2\right)}
=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,

On obtient la formule de Héron en substituant

a = 2s-b-c\,

dans la formule ci-dessus.

Mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension particulièrement petite comparé aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que <img class=.

Généralisation

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui sert à déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est indispensable. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné selon la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.

Voir aussi

Liens externes

Les liens suivants sont en anglais :

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