Fonction inverse
En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante ...
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- Propriété : La fonction inverse est par conséquent une fonction impaire, sa représentation graphique est symétrique comparé à l'origine O du repère.... (source : ac-grenoble)
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En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante :
.
Variations
Cette fonction est strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur la totalité des réels strictement positifs, avec 0 comme valeur interdite. On prendra garde de ne pas dire que la fonction est strictement décroissante sur car si a < 0 < b, on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b
La fonction inverse n'admet pas de racine, ni de maximum ou minimum.
C'est une fonction impaire.
Dérivée de la fonction inverse
La dérivée de la fonction inverse est la fonction f'définie par :
.
Pour tout a réel non nul,
Donc
La fonction f est par conséquent dérivable en tout point de et
Illustration :

La dérivée de au point d'abscisse 1 vaut
par conséquent la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1, 1) vaut -1.
Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction inverse se nomme une hyperbole.
L'hyperbole admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses) et une verticale (l'axe des ordonnées).
A l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction :
- une asymptote verticale, qui a pour équation :
;
- une asymptote horizontale, qui a pour équation :
.
On remarque d'autre part que cette hyperbole possède pour centre de symétrie le point O ce qui confirme le fait que la foncton inverse est une fonction impaire.
On remarque enfin que, dans un repère orthonormal, cette hyperbole possède un axe de symétrie D :y = x. En effet le point M (x ; y) appartient à (H) si et uniquement si le point M' (y ; x) appartient à (H). (y=1/x équivaut à x= 1/y). Cette propriété graphique sert à remarquer que la fonction inverse est sa propre réciproque . Ou bien toujours, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.
Primitives de la fonction inverse
La recherche d'une primitive de la fonction inverse s'est faite tardivement. La primitive de la fonction inverse définie sur qui s'annule en 1 se nomme fonction logarithme népérien et est définie par :
.
On considère la fonction
- D'une part,
donc
- D'autre part,
- Donc
D'où
∎CQFD
Fonction inverse abstraite
On peut définir généralement une fonction inverse f dans un groupe par
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