Fonction inverse

En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante ...

Variations

Cette fonction est strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur la totalité des réels strictement positifs, avec 0 comme valeur interdite. On prendra garde de ne pas dire que la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb Rˆ*$ car si a < 0 < b, on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b

La fonction inverse n'admet pas de racine, ni de maximum ou minimum.

C'est une fonction impaire.

Dérivée de la fonction inverse

La dérivée de la fonction inverse est la fonction f'définie par :

$f':\begin{cases}\mathbb{R}ˆ*\to\mathbb{R}ˆ* \\x\mapsto \displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{xˆ2}\end{cases}$ .

Démonstration

Pour tout a réel non nul,

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}$

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}$

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{a-a-h}{a(a+h)}\cdot\dfrac{1}{h}$

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}$

Donc

$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{-1}{aˆ2}$

La fonction f est par conséquent dérivable en tout point de $\mathbb Rˆ*$ et $f'(a) =- \dfrac{1}{aˆ2}$

Illustration :

Representation tangent 11 fonction inverse.png

La dérivée de $y = \dfrac{1}{x}$ au point d'abscisse 1 vaut $-\dfrac {1}{1ˆ2} = -1$ par conséquent la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1, 1) vaut -1.

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction inverse se nomme une hyperbole.

L'hyperbole admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses) et une verticale (l'axe des ordonnées).

A l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction :

une asymptote verticale, qui a pour équation : $AV : \,x=0$ ;
une asymptote horizontale, qui a pour équation : $AH :\, y=0$ .

On remarque d'autre part que cette hyperbole possède pour centre de symétrie le point O ce qui confirme le fait que la foncton inverse est une fonction impaire.

On remarque enfin que, dans un repère orthonormal, cette hyperbole possède un axe de symétrie D :y = x. En effet le point M (x ; y) appartient à (H) si et uniquement si le point M' (y ; x) appartient à (H). (y=1/x équivaut à x= 1/y). Cette propriété graphique sert à remarquer que la fonction inverse est sa propre réciproque $f \circ f = Id_{\mathbb Rˆ*}$ . Ou bien toujours, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.

Primitives de la fonction inverse

La recherche d'une primitive de la fonction inverse s'est faite tardivement. La primitive de la fonction inverse définie sur $]0 ; + \infty[$ qui s'annule en 1 se nomme fonction logarithme népérien et est définie par : $\ln:\begin{cases}]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\\x\mapsto \ln x\end{cases}$ .

Démonstration

On considère la fonction $f(x)=eˆ{\ln(x)}∼$

D'une part, $(eˆ{\ln(x)})'=(\ln x)' \cdot eˆ{\ln(x)} (car (eˆ{u})'=u' \cdot eˆu∼)$

donc $(eˆ{\ln(x)})'=(\ln x)' \cdot x∼$

D'autre part, $(eˆ{\ln(x)})'=(x)'=1∼$
Donc $1=(\ln x)' \cdot x∼$

D'où $(\ln x)'=\frac{1}{x}∼$

∎CQFD