Fonction de référence

En mathématiques, une fonction de référence est une fonction étudiée pour sa simplicité, son exemplarité ou pour servir de support à l'étude d'une famille plus large de fonctions.



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Fonction de référence - Mathématiques élémentaires

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

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En mathématiques, une fonction de référence est une fonction étudiée pour sa simplicité, son exemplarité ou pour servir de support à l'étude d'une famille plus large de fonctions.

Fonctions carré, sinus et inverse
Trois fonctions de référence

Les fonctions de référence les plus souvent étudiées sont les fonctions affines, fonctions puissances (surtout la fonction carré, quelquefois étendue à la totalité des fonctions du second degré), les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus), etc.

Décomposition en fonctions de référence

Principe

Il est envisageable de décomposer certaines fonctions en fonctions de référence, en exprimant cette fonction comme la somme ou la composée de fonctions de référence. On peut ensuite utiliser les théorèmes relatifs à la composée ainsi qu'à la somme de deux fonctions pour connaître les propriétés de la fonction étudiée.

Exemple

Considérons la fonction f définie sur \Rˆ{+*} par :

f(x)=\frac{1}{xˆ2+\sqrt x}

Il est envisageable de la décomposer en fonctions de référence ainsi :

f=g\circ (h+l)

Où g est la fonction inverse, h la fonction carré et l la fonction racine carrée.

Utilisations

Dérivation

Principe
Articles connexes : Opérations_sur_les_dérivées et Dérivée.

On peut calculer la dérivée d'une fonction en la décomposant en fonctions de référence, en utilisant les propriétés des opérations sur les dérivées, à savoir, entre autres, pour toutes fonctions f et g dérivables sur un intervalle I :

(f+g)'=f'+g'∼
(fg)' = f'g + fg'∼

et pour toute fonction f dérivable sur I et toute fonction g dérivable sur f (I)

(g \circ f)' = (g' \circ f)\cdot f'
Exemple

Considérons la fonction f définie sur \Rˆ{+*} par :

f(x)=\frac{1}{xˆ2+\sqrt x}

Elle se décompose en fonctions de référence ainsi :

f=g\circ (h+l)

D'où :

f'=[g\circ (h+l)]'=[g'\circ (h+l)]\times (h+l)'

f'=[g'\circ (h+l)]\times (h'+l')

Avec :

h(x)=xˆ2∼ d'où h'(x)=2x∼

l(x)=\sqrt x d'où l'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}

g(x)=\frac{1}{x} d'où g'(x)=\frac{-1}{xˆ2}

(h'+l')(x)=h'(x)+l'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt x}

(h+l)(x)=xˆ2+\sqrt x

g'\circ(h+l)=\frac{-1}{(xˆ2+\sqrt x)ˆ2}

D'où :

f'(x)=\frac{-1}{(xˆ2+\sqrt x)ˆ2}\times (2x+\frac{1}{2\sqrt x})

Intégration

Principe

On peut calculer l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle en la décomposant en fonctions de référence dont on connait l'intégrale, puis en appliquant les propriétés des intégrales, à savoir :

\int_{a}ˆ{b} (f(x) + g(x))\, \mathrm dx = \int_{a}ˆ{b} f(x)\, \mathrm dx + \int_{a}ˆ{b} g(x)\, \mathrm dx

\forall \lambda \in \mathbb R, \int_{a}ˆ{b} \lambda\,f(x)\, \mathrm dx = \lambda\,\int_{a}ˆ{b} f(x)\, \mathrm dx

En revanche, cette méthode ne s'applique pas aux fonctions composées.

Fonctions associées à une fonction de référence

Principe

Une fonction est dite associée à une fonction de référence dès qu'elle est obtenue par composées de cette fonction avec des fonctions affines.

Exemples

Voir aussi

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