Fonction de masse

En théorie des probabilités, la fonction de masse est la fonction qui donne la probabilité pour qu'une variable aléatoire discrète soit précisément égale à une valeur donnée.

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tion de la fonction de probabilité. Or il y a plusieurs expériences aléatoires.... La fonction de masse est définie comme étant /y (y) φ Pr (Y φ y) pour... (source : wwwdim.uqac)

En théorie des probabilités, la fonction de masse^[1] (ou encore loi de probabilité) est la fonction qui donne la probabilité pour qu'une variable aléatoire discrète soit précisément égale à une valeur donnée. Une fonction de masse se distingue d'une densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support se compose des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0, 20, 0, 50 et 0, 30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables S ⊆ R. Alors, la fonction de masse f_X (x) pour X est donnée par

$f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash Snd{cases}$

Les valeurs f_X (x) sont définies pour l'ensemble des valeurs réelles, y compris celles qui ne sont jamais prises par X ; ces valeur se voient simplement assigner une probabilité nulle.

La fonction de masse doit d'autre part se sommer à l'unité :

$\sum_{x \in S} f_X(x) = 1$

Utilisations

La fonction de masse permet :

de calculer la fonction de répartition et , d'une façon plus générale, d'évaluer la probabilité d'un événement aléatoire. Il s'agit pour cela de décomposer cet événement en événements élémentaires et de sommer leur probabilités données par la fonction de masse;
calculer les moments de la variable aléatoire X. A titre d'exemple, l'espérance se donne par

$E(X) = \sum_{x \in S} x f_X(x)$

et la variance par

$Var(X) = \sum_{x \in S} [x-E(X)]ˆ2 f_X(x)$

sous condition de convergence de ces séries.

Exemples

Soit X le résultat d'un lancer à pile ou face, identifiant 0 à pile et 1 à face ; la probabilité que X = x est de 0, 5 sur l'espace des états {0, 1} (c'est une distribution de Bernoulli) ; la fonction de masse est

$f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}nd{cases}$

On constate que la somme des valeurs de la fonction de masse sur le support est bien égale à l'unité.

On peut définir des fonctions de masse pour l'ensemble des variables aléatoires discrètes, comme les variables de distribution uniforme, binomiale, binomiale négative, géométrique, hypergéométrique, ou de Poisson.

Notes et références

↑ C'est une traduction littérale du terme anglais mass function

Johnson, N. L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition) . Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p. 36)

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