Fonction carré

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

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Mathématiques élémentaires

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés

Signe: La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, $y=x\times x$ on a nécessairement deux fois le même signe à droite; par conséquent y est supérieur ou égal 0. Et s'annule seulement en 0.

Parité: Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que $f (x) = f (- x)$ . En effet avec la remarque précédente $(-x)\times(-x)=x\times x$ .

Résolution d'équation de type x² = a

Article détaillé : équation du second degré.

Lorsque $x 2 = a$ , il y a trois cas envisageables :

$a < 0$ : Aucune solution dans la totalité des réels R (voire solutions irréelles)
$a = 0$ : Une solution, x = 0
$a > 0$ : Deux solutions, $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$

A titre d'exemple, si $x 2 = 9$ alors $x = 3$ ou $x = - 3$ , car $32 = (- 3) 2 = 9$ .

Cas de $a < 0$ et solutions complexes (voir l'article détaillé sur le Nombre Complexe): Si $a < 0$ , il n'existe aucune solution réelle, c'est-à-dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution (s) irréelle (s), c'est-à-dire complexe (s). Supposons que $a = - 9$ . On a alors :

$a = -1 \times 9$

Sachant que

x 2 = a

, on déduit ce qui suit :

$x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}$

Puisque $\sqrt{-1}$ est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui sert à désigner par conséquent la racine carrée de -1. Ainsi on a :

x = 3 i

De façon plus générale, pour

x 2 = a

et avec

a < 0

, on a $x = \sqrt{|a|} \times i$ .

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est $2 x$ , c'est une fonction affine impaire, et par conséquent une fonction linéaire. Elle est par conséquent positive sur $\mathbb{R}ˆ+$ , si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. A l'inverse, elle est négative sur $\mathbb{R}ˆ-$ par conséquent la fonction carré est décroissante sur cet intervalle. Comme elle est nulle en zéro, la fonction carré est constante en zéro.

Intégrale

Article détaillé : Méthode de Simpson.

Article connexe : Calcul numérique d'une intégrale.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte quand on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

$\int_{a}ˆ{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

Donc pour la fonction carré définie par $f (x) = x 2$ , on a :

$\int_{a}ˆ{b} f(x) dx = \frac{b-a}{3}(aˆ2+ab+bˆ2)$

Primitive

Article connexe : Primitive#Primitives_courantes.

La fonction carré possède comme primitives l'ensemble des fonctions g définies par, pour C une constante :

$g(x)=\frac{xˆ3}{3}+C$

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). On remarque quoique l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini en plus l'infini et en moins l'infini.

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