Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par



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  • Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Fonction de répartition d'une variable... Fonction génératrice des moments ; fonction caractéristique... (source : www-irma.u-strasbg)

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par

\begin{align}
\varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[eˆ{itX}\right]
\\
&=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right].
\end{align}

Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur près suivant la convention) de la densité. Il arrive qu'on prenne


D'une façon plus générale, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur par

\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[eˆ{i \langle u , X \rangle}\right]\,

où est le produit scalaire de u avec X.


Quand la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par

G(z)=\mathbb{E}\left[zˆX\right]

avec z complexe (lorsque cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc

\phi_{X}(t)=G\left(eˆ{it}\right);

cette fonction G est par conséquent en fait un prolongement de


Propriétés de la fonction caractéristique


En appliquant alors la transformée de Fourier à φX + Y cela sert à retrouver la loi de X+Y.


\phi_X(t)=\sum_{k=0}ˆ{\infty}\frac{iˆk \mu_k}{k!}tˆkμk est le moment d'ordre k.
1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phiˆ{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[Xˆ2\right]=-\,\phiˆ{\prime\prime}_X(0)
\textrm{Var}(X)=-\,\phiˆ{\prime\prime}_X(0)+\phiˆ{\prime 2}_X(0).
\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,eˆ{itb}.

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