Fonction

En mathématiques élémentaires, plus de 90 % des fonctions rencontrées sont des fonctions numériques, mais la notion de fonction ne se limite pas à celle-ci.



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  • Jusqu'en Terminale (FR) et même après, l'étude de fonctions est une part importante... d'une étude de fonction est consacrée à l'étude du domaine de définition, ... Ceci est la totalité de définition de la fonction Formule mathématique... perdre une partie ou alors la totalité des points attribués à cette difficulté.... (source : daskoo)
  • tions en algébriques et en transcendantes, les fonctions algébriques... Une fonction est dite résoluble si sa variation sur tout ensemble parfait est ... (source : books.google)
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Mathématiques élémentaires
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En mathématiques élémentaires, plus de 90 % des fonctions rencontrées sont des fonctions numériques, mais la notion de fonction ne se limite pas à celle-ci.

Les fonctions

Les fonctions sont des outils. Pour être une fonction il faut respecter des règles scrupuleuses. Elles ont de nombreuses propriétés. Nous présentons ici les bases.

Les règles

En mathématiques élémentaires, la première de ces règles (pourtant essentielle) est fréquemment oubliée par les élèves car les exemples qui sont proposés se limitent à quelques ensembles de départ et d'arrivée naturels dans le contexte de travail (ensemble des réels pour les fonctions numériques, ensemble des points du plan pour les fonctions ponctuelles)

Cependant elle reste importante.

Image, antécédent

Si à un élément a, on fait correspondre un élément b,

Exemple : f(x)=\sqrt{x}-1 Avec x = 0, 1, 4, 9, on a f(0)=-1 , \;f(1)=0 , \;f(4)=1 , \;f(9)=2

on dira
1 est l'image de 4 par f
9 est un antécédent de 2 par f

Remarque : par une fonction, une même image peut avoir plusieurs antécédents. Par contre, chaque antécédent n'a qu'une seule image

Exemples

Une fonction est par conséquent un outil ayant un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée, faisant correspondre aux éléments du premier des éléments du second.

Exemple 1

Une fonction sert à transformer un nombre réel en un autre par exemple, en lui appliquant une suite d'opérations qui doit rester semblable pour chaque nombre.

Dans ce cas la totalité de départ est \mathbb{R}, la totalité de définition est la totalité des réels pour lesquels on peut appliquer la suite d'opérations, et la totalité d'arrivée est \mathbb{R}.

Si la suite d'opérations consiste à élever au carré, ôter 4 et prendre l'inverse, on crée une fonction

l'image de 3 est \dfrac{1}{5}, les antécédents de \dfrac{1}{5} sont 3 et − 3

Exemple 2

Une fonction permet aussi d'associer des points à d'autres points à partir de considérations géométriques.

Dans ce cas la totalité de départ est la totalité des points du plan (ou de l'espace), la totalité d'arrivée est la totalité des points du plan (ou de l'espace)

Par exemple si A et B sont deux points différents, on peut associer, à tout point M non localisé sur (AB) le point N tel que AMBN soit un parallélogramme

Nom

Les fonctions fréquemment utilisées finissent par porter des noms spécifiques (sin, cos... ), les autres se nomment f, g, etc. L'image d'un élément a pour la fonction f est alors notée f (a) .

Notation

Pour résumer toutes ces informations, on utilise l'écriture suivante

\begin{matrix}f: & D & \rightarrow A\\ & x & \mapsto y\\\end{matrix} avec y = f (x) D représente la totalité de départ et A la totalité d'arrivée.

La recherche du domaine de définition, si ce dernier est plus petit que la totalité de départ, reste faire.

Quelquefois, on se contente de l'écriture abusive y = f (x) en oubliant tout le reste. Ce qui peut conduire quelquefois à des confusions dangereuses si on simplifie trop vite, comme le signalait Gottlob Frege dans Qu'est-ce qu'une fonction ?.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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