Filtration

En mathématiques, une filtration sur un ensemble est une suite de parties croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un espace filtré est un ensemble pourvu d'une filtration compatible avec sa structure.



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Théorie des ensembles - Probabilités

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En mathématiques, une filtration sur un ensemble est une suite[1] de parties croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un espace filtré est un ensemble pourvu d'une filtration compatible avec sa structure.

Les filtrations sont utilisées surtout en algèbre pour ramener par exemple l'étude d'un espace vectoriel de dimension illimitée à celle d'une suite d'espaces de dimension finie, en topologie pour décomposer un espace topologique avec CW-complexes finis, mais également en théorie des probabilités pour définir entre autres certaines classes de processus stochastiques, comme les martingales, ou encore les chaines de Markov.

À partir d'une suite de parties il est envisageable de construire une filtration croissante et une filtration décroissante associées. Inversément, dans certaines catégories, les quotients successifs des termes de la filtration permettent de définir un gradué associé.

Algèbre

Une filtration d'un espace vectoriel est une suite de sous-espaces vectoriels croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un drapeau est un cas spécifique de filtration sur un espace vectoriel de dimension finie.

Étant donné un endomorphisme sur un espace vectoriel, la suite des noyaux (respectivement, des images) des puissances itérées de cet endomorphisme forment deux filtrations décroissantes de l'espace vectoriel.

Une filtration (Ai) sur une algèbre est généralement supposée compatible avec la multiplication :

A_i \cdot A_j \subset A_{i+j}.

Théorie des probabilités

En théorie des probabilités, une filtration est une suite croissante de tribus sur un ensemble. Cet ensemble est généralement un espace probabilisé dont la tribu est génèrée par celles de la filtration.

Ainsi, sur la totalité Ω des suites à valeurs dans un ensemble (par exemple fini), pour tout entier naturel n il est envisageable de définir la tribu Fn génèrée par les ensembles de suites ayant les mêmes n premiers termes. La suite de ces tribus définit alors une filtration F sur la totalité des parties de Ω.

Notes et références

  1. D'une façon plus générale, il peut s'agir d'une famille complètement ordonnée.

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