Espérance mathématique

L'espérance mathématique est, en probabilités, une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire.



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L'espérance mathématique est , en probabilités, une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire.

Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte).

Exemple de la roulette française : en jouant un numéro plein, vous avez 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois votre mise initiale[1]. Votre espérance de gain est donc :

\frac{1}{37}\times (mise\times 35) -\frac{36}{37}\times (mise) \simeq -0,027\times mise

Ce résultat indique qu'en moyenne, vous perdrez 2, 7% de votre mise à chaque partie au profit du casino. Quand l'espérance est égale à 0, le jeu est dit équitable.

Espérance mathématique et choix rationnel

Occasionnellemen, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Néenmoins l'espérance de ce jeu vous est particulièrement favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36; on obtient donc :

\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient précisément sur ce «en moyenne» : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que assez rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut par conséquent avoir suffisamment d'argent pour participer à la plupart de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre la plupart de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est par conséquent pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son «paradoxe de Saint Petersbourg», le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications spécifiques (économie, assurance, finance, jeux)

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique forme alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins particulièrement grandes à défaut d'illimitées.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, alors que le gain - si gain il y a - sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut par conséquent valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.

Aspect mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E (X) et se lit espérance de X.

L'espérance se calcule, comme la variance, à partir des moments d'une variable aléatoire.

Formules

L'espérance est définie pour les variables aléatoires à valeurs dans R (ou C) de la manière suivante :

(la convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes)

Propriétés

Constantes

L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante; par exemple, si b est une constante, alors E (b) = b.

Monotonie

Si X et Y sont des variables aléatoires tels que X \le Y presque sûrement, alors  \mathbb{E}(X) \le \mathbb{E}(Y).

Linéarité

L'espérance \mathbb{E} est un opérateur linéaire étant donné que

\mathbb{E}(1)= 1,
\mathbb{E}(X + Y)= \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)\,
\mathbb{E}(aX)= a \mathbb{E}(X)\,

En combinant les résultats qui ont précédé, on peut obtenir :

\mathbb{E}(aX + b)= a \mathbb{E}(X) + b\,
\mathbb{E}(a X + b Y) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)\,

pour deux variables aléatoires quelconques X et Y (qui doivent être définies sur le même espace probabiliste) et pour deux nombres réels a et b.

Loi de l'espérance itérée

Définition —  \mathbb{E}(X|Y)(y) \equiv \mathbb{E}(X|Y=y) \equiv \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).

qui veut dire que \mathbb{E}(X|Y)(y) est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie

Propriété —  \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right)=\mathbb{E}(X)


\mathbb{E}(X) = \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right).

Espérance et produit

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas le produit, c'est-à-dire que \mathbb{E}(X Y) est non obligatoirement égal à \mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y). L'égalité est vraie cependant dès que les variables X et Y sont indépendantes. L'absence de la multiplicativité amène à étudier les Covariance et corrélation.

Espérance d'une fonctionnelle

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général :

\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \mathrm{d}P \neq g(\mathbb{E}(X)),

Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves).

Estimation

On utilise fréquemment comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur :

Caractère central

On considère souvent l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.
En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique comparé à a, alors E (X) = a.

Mais ce point de vue n'est plus valable quand la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi spécifiquement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E (X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0, 6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0, 33. Les valeurs de X ne se répartissent par conséquent pas équitablement de part et d'autre de l'espérance.

Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire réelle

X étant une variable aléatoire réelle, une fonction f supposée régulière définit une nouvelle variable aléatoire f\circ X notée f (X) dont l'espérance, quand elle existe, s'écrit en remplaçant k par f (k) ou x par f (x) dans les formules précédentes (théorème de transfert).


Variable aléatoire discrète : \mathbb E[f(X)] = \sum_{k=-\infty}ˆ{+\infty} f(k)\ \mathbb P_X(k)

Variable aléatoire continue : \mathbb E[f(X)] = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x)\ p_X(x)\ dx

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes eˆ{i \theta X}\, (où \theta \in \mathbb{R}) dont l'espérance mathématique est [la valeur en θ de] la transformée de Fourier inverse de la densité de probabilité :

\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[eˆ{i \theta X}\right]\,

Il s'agit de la Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série :\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[\sum_{k=0}ˆ\infty {(i \theta X)ˆk \over {k !}}\right]

ou, si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière :

\phi_X(\theta) = \sum_{k=0}ˆ\infty {(i \theta)ˆk \over {k !}} \mathbb E\left[Xˆk\right]

Notes et références

  1. En cas de victoire, on reçoit 36 fois la mise. Le gain vaut par conséquent ce bénéfice moins la mise d'origine, c'est-à-dire qu'on aura alors réellement gagné 35 fois cette mise.

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