Espérance conditionnelle
L'espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, surtout utilisé dans des domaines tels que l'étude des martingales et l'intégration stochastique.
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- et on l'appellera espérance conditionnelle de Y sachant X. On peut caractériser la variable aléatoire hˆ* (X) =\mathbb{E} [Y/ en utilisant la relation (71) :... (source : public.enst-bretagne)
- L'espérance conditionnelle. Quand on travaille avec des variables aléatoires (v. a. s) discrètes on introduit la notion de proba- bilité conditionnelle par... (source : ceremade.dauphine)
L'espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, surtout utilisé dans des domaines tels que l'étude des martingales et l'intégration stochastique.
Définition générale
On se place dans le cas général d'un espace de probabilité . Pour définir l'espérance conditionnelle, il faut une sous-tribu
, ainsi qu'une variable aléatoire intégrable X. Alors il existe une variable aléatoire intégrable et
-mesurable Z telle que
E (XU) = E (ZU)
pour toute variable aléatoire U bornée et -mesurable. On note alors
. Cette notation est bien définie car si une variable aléatoire Y satisfait aussi cette propriété, alors Y = Z presque sûrement.
Cas spécifiques
Cette définition inclut plusieurs définitions données de manières plus immédiates.
- On peut définir la probabilité conditionnelle d'un évènement E par
- On peut aussi définir l'espérance conditionnellement à une variable aléatoire, par le biais de la tribu génèrée par cette variable aléatoire : E (X | Y) = E (X | σ (Y) )
Interprétation
On peut interpréter l'espérance conditionnelle comme une projection, comme meilleure approximation. En effet, l'espérance conditionnelle possède la propriété suivante :
pour toute variable aléatoire Y intégrable -mesurable. C'est-à-dire que
est , parmi les variables aléatoires intégrables
-mesurables la plus proche de X pour la distance induite par le produit scalaire
. Ceci est spécifiquement visible avec la notion de martingale.
Propriétés
L'espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes
- L'espérance conditionnelle est linéaire :
- Son espérance vaut :
- Itération :
si
- Monotonie : Si
, alors
- Convergence monotone : si Xn converge en décroissant vers X, alors
converge vers
- Indépendance : Si X est indépendant de
, alors
- Si Z est
-mesurable, alors
- Inégalité de Jensen : si φ est une fonction convexe et φ (X) est intégrable, alors
Voir aussi
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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