Espérance conditionnelle

L'espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, surtout utilisé dans des domaines tels que l'étude des martingales et l'intégration stochastique.

Définition générale

On se place dans le cas général d'un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Pour définir l'espérance conditionnelle, il faut une sous-tribu $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ , ainsi qu'une variable aléatoire intégrable $X$ . Alors il existe une variable aléatoire intégrable et $\mathcal{G}$ -mesurable $Z$ telle que

$E (X U) = E (Z U)$

pour toute variable aléatoire $U$ bornée et $\mathcal{G}$ -mesurable. On note alors $Z=E(X|\mathcal{G})$ . Cette notation est bien définie car si une variable aléatoire $Y$ satisfait aussi cette propriété, alors $Y = Z$ presque sûrement.

Cas spécifiques

Cette définition inclut plusieurs définitions données de manières plus immédiates.

On peut définir la probabilité conditionnelle d'un évènement $E$ par $\mathbb{P}(E|\mathcal{G}) = E(1_E|\mathcal{G})$

On peut aussi définir l'espérance conditionnellement à une variable aléatoire, par le biais de la tribu génèrée par cette variable aléatoire : $E (X | Y) = E (X | σ (Y) )$

Interprétation

On peut interpréter l'espérance conditionnelle comme une projection, comme meilleure approximation. En effet, l'espérance conditionnelle possède la propriété suivante :

$E((X-E(X|G))ˆ2) \le E((X-Y)ˆ2)$

pour toute variable aléatoire Y intégrable $\mathcal{G}$ -mesurable. C'est-à-dire que $E(X|\mathcal{G})$ est , parmi les variables aléatoires intégrables $\mathcal{G}$ -mesurables la plus proche de $X$ pour la distance induite par le produit scalaire $(X,Y)\mapsto E(X\, Y)$ . Ceci est spécifiquement visible avec la notion de martingale.

Propriétés

L'espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes

L'espérance conditionnelle est linéaire : $E(aX+bY|\mathcal{G}) = a E(X|\mathcal{G}) + b E(Y|\mathcal{G})$
Son espérance vaut : $E(E(X|\mathcal{G})) = E(X)$
Itération : $E(E(X|\mathcal{G})|H) = E(X|H)$ si $H \subset \mathcal{G}$
Monotonie : Si $X \le Y$ , alors $E(X|\mathcal{G}) \le E(Y|\mathcal{G})$
Convergence monotone : si $X n$ converge en décroissant vers $X$ , alors $E(X_n|\mathcal{G})$ converge vers $E(X|\mathcal{G})$
Indépendance : Si X est indépendant de $\mathcal{G}$ , alors $E(X|\mathcal{G})=E(X)$
Si Z est $\mathcal{G}$ -mesurable, alors $E(XZ|\mathcal{G})=ZE(X|\mathcal{G})$
Inégalité de Jensen : si $φ$ est une fonction convexe et $φ (X)$ est intégrable, alors $E(\phi(X)|G) \ge \phi(E(X|G))$

Voir aussi

Probabilité conditionnelle

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