Espace vectoriel

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique donnant la possibilité en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires.



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Espace vectoriel - Structure algébrique

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite «linéaire», c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires... (source : fr.wikiversity)
  • Soit E un K- espace vectoriel. Est -ce que E possède "peu" ou "beaucoup" de sous- espaces... La totalité des solutions d'un dispositif linéaire homogène (S) de p... (source : wims.unicaen)
  • Il faut montrer que A est un sous- espace vectoriel de Rˆ3.... toute combinaison linéaire c (ax+by) appartient à ton ensemble pour a, b, c non nul.... Il faut faire attention aussi, un espace vectoriel est entre autre un... (source : forums.futura-sciences)

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique donnant la possibilité en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) pourvue d'une action compatible de K (voir la définition exacte). Les éléments de E sont nommés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Définitions

Espace vectoriel

Giuseppe Peano, qui exposa la première définition axiomatique d'un espace vectoriel en 1888

Soit K un corps commutatif. La définition des espaces vectoriels repose sur la structure de corps[SL 1], [RG 1] mais le lecteur peut lire K comme le corps des réels[Art 1] ou celui des complexes. Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel[SL 2], est un ensemble E, dont les éléments sont nommés vecteurs, pourvu de deux lois :

ces deux lois étant assujetties aux relations suivantes.

1. La loi «+» est commutative et associative. Elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0E, nommé vecteur nul. Tout vecteur v a un opposé, noté -v. C'est à dire, (E, +) est un groupe abélien, pour tous vecteurs u, v et w de E :
u+v = v+u u+ (v+w) = (u+v) +w
0E +v = v u+ (-u) = 0E
2. La loi «•» est distributive à gauche comparé à la loi «+» de E, distributive à droite comparé à l'addition du corps K, et associative à droite comparé à la multiplication dans K. Enfin, l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour la loi externe «•»[1], c'est-à-dire qu'on a les identités suivantes pour tous vecteurs u, v de E, et pour tous scalaires λ, μ, ν :
λ • (u + v) = (λ • u) + (λ •v) (λ + µ) • u = (λ • u) + (µ • u)
(λμ) • u = λ • (µ • u) 1 • u = u

De l'axiome 1, il découle que E est obligatoirement non vide. L'axiome 2 implique[Art 2] que l'élément neutre additif «0K» du corps K, qui est absorbant sur K, est par conséquent «absorbant» à gauche pour la loi • (le produit par un vecteur quelconque vaut 0E). On en déduit aussi que 0E est absorbant à droite pour la loi •. Enfin, -v, l'opposé de v est le produit de v par le scalaire -1, ce qui résulte toujours de l'axiome 2. On a par conséquent pour tout vecteurs u de E, et tout scalaire λ :

0Ku = 0E λ • 0E = 0E -1 • u = -u

Si K = \mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}, on parle respectivement d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

Combinaison linéaire

Article détaillé : Combinaison linéaire.

Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la combinaison linéaire, c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de cœfficients (scalaires). La combinaison linéaire[NB 1] d'une famille de vecteurs (x_i)_{\,i\,\in\, I} ayant pour cœfficients (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} est le vecteur de E donné[Art 3] par :

\sum_{\,i\,\in\, I}\lambda_i\, x_i.

Quand la totalité d'indexation \ I est illimité, il est indispensable de supposer que le support de la famille (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} soit fini. Rappelons que le support est la totalité des indices i pour lesquels λi est non nul. L'intérêt de la structure d'espace vectoriel réside en la possibilité d'effectuer des combinaisons linéaires.

Sous-espace vectoriel

Article détaillé : Sous-espace vectoriel.
Deux plans vectoriels de l'espace R3 en jaune et en vert, qui s'intersectent selon une droite vectorielle en bleu.

Un sous-espace vectoriel[RG 2] de E est une partie non vide F de E stable par addition vectorielle et multiplication par un scalaire, ou de manière équivalente, stable par combinaisons linéaires. Une partie F est un sous-espace vectoriel ssi elle vérifie les deux propriétés suivantes :

Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille quelconque (finie ou illimitée) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel[Art 4] mais l'union, même finie, n'en est pas un généralement. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est la partie

\ F+G=\left\{x+y \ / \ (x,y) \in F\times G \right\},

qui est toujours un sous-espace vectoriel de E. C'est le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de E contenant F et G. Cette construction se généralise à une famille quelconque de sous-espaces vectoriels.

Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits en somme directe quand leur intersection est l'espace nul. Leur somme est alors notée F \oplus G. Les sous-espaces vectoriels F et G sont dits supplémentaires (l'un de l'autre) dans E s'ils sont en somme directe et que F \oplus G = E. L'axiome du choix permet d'assurer l'existence d'un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel, mais il n'y a jamais unicité (sauf dans le cas du sous-espace nul ou de l'espace total). Si E est la somme directe de F et G, tout vecteur de E se décompose alors de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à F et l'autre à G. D'une façon plus générale, une famille de sous-espaces vectoriels (Fi) est dite en somme directe dans E si tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme une somme \sum x_i avec pour tout i, x_i \in F_i. Cette définition implique que les sous-espaces vectoriels Fi soient d'intersection nulle deux à deux et que leur somme soit égale à E mais la réciproque est fausse.

Exemples

Translations

Article détaillé : plan affine de Desargues.
Les translations forment un espace vectoriel sur un corps approprié.

Sans disposer d'une définition des espaces vectoriels, une approche envisageable de la géométrie plane se fonde sur l'étude d'un plan affine de Desargues P. Il comporte des points et des droites, avec une relation d'appartenance nommée incidence, dont les propriétés donnent un sens à l'alignement des points et au parallélisme des droites. On nomme homothétie-translation toute transformation de P préservant l'alignement et envoyant toute droite sur une droite parallèle. Hormis l'identité (reconnue à la fois comme une homothétie et une translation), une telle transformation fixe au plus un point ; elle est nommée homothétie si elle fixe un point O, qui est alors son centre ; elle est nommée une translation sinon. La totalité des homothéties de centre fixé O forment un groupe commutatif pour la loi de composition, indépendant de O à isomorphisme près, noté K*. Il est envisageable d'adjoindre un élément 0 pour former un corps K, dont la loi d'addition est toujours définie à partir de P. Tout scalaire non nul λ correspond à une unique homothétie de centre O, et on dit que λ est son rapport. La totalité des translations de P forme un K-espace vectoriel, ses lois étant les suivantes :

Le vecteur nul est l'identité. L'opposé d'un vecteur représenté par une translation t est le vecteur défini par t-1.

Une présentation détaillée est donnée dans plan affine de Desargues. Ces considérations permettent de faire le lien entre une approche moderne de la géométrie fondée sur l'algèbre linéaire, et une approche axiomatique.

Produits et sommes directes

Articles détaillés : Produit et Somme directe.

Soit une famille (Ei) de K-espaces vectoriels indexée par la totalité I. Les familles (vi) de vecteurs vi appartenant respectivement à Ei forment un ensemble, noté \prod E_i. Les lois suivantes en font un K-espace vectoriel, nommé produit[NB 2] \prodEi de la famille (Ei)  :

Le vecteur nul est la famille (0) i constituée par les vecteurs nuls des espaces Ei. Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou non. Une famille (vi) dans \prod E_i est à support fini[NB 4] s'il y a un nombre au plus fini d'indices i pour lesquels vi est non nul. Les familles à support fini forment un sous-espace vectoriel de \prod E_i, nommé la somme directe des espaces Ei et qui se note \bigoplus E_i.

Tout corps K se présente comme un K-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de K fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire. En prenant la famille Ei=K, on forme son produit KI et sa somme K (I) respectivement, tous deux étant des K-espaces vectoriels. KI est l'espace des fonctions[RG 3] de I dans K. L'intérêt des espaces K (A) reposent sur les propriétés suivantes :

A titre d'exemple, pour I=\emptyset, K (\emptyset) est l'espace nul, un espace vectoriel qui ne contient qu'un seul vecteur, le vecteur nul. Un ensemble fini I={1, ..., n} sert à former l'espace vectoriel[RG 4] Kn des n-uplets d'éléments de K, l'addition se fait terme à terme et la multiplication par un scalaire est distribuée sur chaque terme. Autre exemple, KN est l'espace des suites dans K, et K (N) le sous-espace des suites à support fini. Quand I est le produit cartésien [[1 ; n]]\times[[1 ; p]], alors le produit KI est noté \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), qui est l'espace des matrices à n lignes et p colonnes à cœfficients dans K.

Les fonctions R->R continues forment un R-espace vectoriel, noté \mathcal C0 (R, R).

Autres exemples

Article détaillé : Exemples d'espaces vectoriels.

Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie :

Application linéaire

Article détaillé : Application linéaire.
Les fonctions linéaires \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}, rencontrées au collège, sont des exemples d'applications linéaires.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application f de E vers F est dite linéaire[Art 5] si elle est additive et commute à la multiplication par les scalaires[NB 5] :

\forall (x,y) \in Eˆ2, \ f( x+y)= f(x)+f(y),
\forall \lambda\in \mathbf{K},\ f(\lambda x)=\lambda f(x).

C'est à dire, f préserve les combinaisons linéaires[NB 6], [Art 6], c'est-à-dire : pour toute famille finie (v_i)_{i\in I} de vecteurs et pour toute famille (\lambda_i)_{i\in I} de scalaires,

f\left[\sum_{i\in I}\lambda_iv_i\right]=\sum_{i\in I}\lambda_if(v_i).

La totalité des applications linéaires de E dans F est noté \mathcal L(E,F) dans cet article. Il peut aussi être noté[NB 7] Hom (E, F) ou encore Hom_{\mathbf{K}}(E,F). La somme de deux applications linéaires, ou la multiplication d'une application linéaire par un scalaire, est toujours une application linéaire. Donc, \mathcal L(E,F) est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de E dans F. La composée d'applications linéaires de E dans F et de F dans G est une application linéaire de E dans G. Quand \ F=E, ces applications sont nommées endomorphismes de E et on note leur ensemble L (E) . Un isomorphisme[Art 7] d'espaces vectoriels est une application linéaire bijective. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. La totalité des automorphismes de E est le groupe linéaire noté \ GL(E).

L'application naturelle de \mathcal M_{m,n}(\mathbf{K}) dans \mathcal L(\mathbf{K}ˆn,\mathbf{K}ˆm), qui à toute matrice A associe l'application linéaire X\mapsto AX, est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Noyau et image

Article détaillé : Noyau (algèbre) .
Dans R3, un plan est le noyau d'une forme linéaire.

Pour toute application linéaire f de E dans F,

Une application linéaire est injective si et uniquement si son noyau est l'espace nul. Le graphe de f est la totalité des couples (x, f (x) ) où x parcourt E. C'est un sous-espace vectoriel G de E\oplus F, dont l'intersection avec E\oplus 0 est Ker (f) .

Forme linéaire

Articles détaillés : Forme linéaire et espace dual.

Une forme linéaire[NB 10] ou covecteur[RG 6] sur un K-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans le corps K vu comme espace vectoriel. Les formes linéaires sur E forment un K-espace vectoriel nommé l'espace dual[NB 11] de E et noté E*. Le noyau d'une forme linéaire est nommé hyperplan.

Sur l'espace vectoriel E des applications continues de [0, 1] dans R, l'intégrale de Riemann f\mapsto \int_0ˆ1 f est une forme linéaire[RG 7].

Espace vectoriel quotient

Soit F un sous-espace vectoriel de E. L'espace quotient E/F (c'est-à-dire la totalité des classes d'équivalence de E pour la relation «uv si et uniquement si u-v appartient à F», pourvu des opérations définies naturellement sur les classes) est un espace vectoriel tel que la projection E \rightarrow E/F (qui associe à u sa classe d'équivalence) soit linéaire de noyau F.
Un sous-espace vectoriel G de E est un supplémentaire de F si et uniquement si la restriction de la projection induit un isomorphisme de G sur E/F.

Famille de vecteurs et dimension

Indépendance linéaire

Article détaillé : Indépendance linéaire.

Une famille (v_i)_{i\in I} de vecteurs de E est dite libre (sur \mathbb{K}) ou encore les vecteurs de cette famille sont dits linéairement indépendants[SL 3], si toute combinaison linéaire d'éléments à cœfficients non tous nuls est non nulle. Cette condition équivaut à ce que l'unique combinaison linéaire nulle d'éléments de (v_i)_{i\in I} est celle dont l'ensemble des cœfficients sont nuls. Dans le cas opposé, la famille est dite liée et les vecteurs la constituant sont dits linéairement dépendants. Comme une combinaison linéaire porte sur un nombre fini de termes, une famille illimitée est libre ssi toute sous-famille finie est libre[NB 12]

La famille vide est linéairement indépendante[SL 4]. Un couple (u1, u2) de vecteurs est liée[SL 5] ss'il existe un scalaire \ \alpha tel que \ u_2 = \alpha\, u_1 ou un scalaire \ \beta tel que \ u_1 = \beta\, u_2. Sous cette condition, les deux vecteurs u1 et u2 sont dis colinéaires. Si (u, v) est un couple de vecteurs libre, alors (u, v), (u+v, v) et (u, u+v) sont des couples de vecteurs non colinéaires, mais la famille (u, v, u+v) n'est pas libre pour tout autant.

Sous-espace vectoriel génèré

Le sous-espace vectoriel génèré par une famille (v_i)_{i\in I}, noté[Art 9] Span (vi), est le plus petit sous-espace contenant l'ensemble des vecteurs de cette famille[Art 10]. De manière équivalente, c'est la totalité des combinaisons linéaires des vecteurs vi. La famille génère E, ou encore est génératrice, si E est le sous-espace vectoriel génèré.

Une base[SL 6] de E est une famille libre maximale ou, et c'est équivalent, une famille génératrice minimale. L'existence d'une base pour tout K-espace vectoriel E se déduit du théorème de la base incomplète[NB 13], [SL 7] et est équivalente à l'axiome du choix. Néanmoins, il existe des preuves spécifiques à la dimension finie[Art 11], [RG 8]. Une famille \mathcal{B} d'éléments de E est une base si et uniquement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de \mathcal{B}.

Définition de la dimension

Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel.

Etant donné un espace vectoriel E sur un corps K, l'ensemble des bases de E ont le même cardinal[NB 14], nommé dimension[SL 8], [Art 12] de E. Si E admet une famille génératrice finie, alors la dimension est finie, et l'ensemble des bases de E admettent le même nombre d de vecteurs, où d est la dimension de E.

Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a[SL 9] : dim E = dim V + dim E/V.

Pour tous sous-espaces vectoriels U et W de E, on a[SL 10] :dim U + dim W = dim (U+W) + dim (U∩W).

Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie

Article détaillé : Espace vectoriel de dimension finie.

Par ce qui précède, un espace vectoriel est de dimension finie ssi il est génèré par une partie finie[SL 11]. Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n.

\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2.
Cette relation est connue sous le nom de formule de Grassmann.
Il existe une unique base \ \mathcal{B}ˆ{*}=\left(eˆ*_1,..ˆ*_n\right) de \ Eˆ* telle que \forall (i,j) \in {\left\{1,...,n \right\}}ˆ2,\ eˆ*_i(e_j)=\delta_{ij},
\ {\delta}_{ij} est le symbole de Kronecker.
On dit tandis que \ \mathcal{B}ˆ* est la base duale associée à \ \mathcal{B}.
\rm rang(A)=\dim(\mathcal{C}(A))=\dim(\mathcal{L}(A))

Structures connexes

Structures relatives

Structures algébriques

Structures topologiques et géométriques

Historique

La notion d'espace vectoriel naît conceptuellement de la géométrie affine avec l'introduction des coordonnées dans un repère du plan ou de l'espace courant. Vers 1636, les mathématiciens français Descartes et Fermat donnèrent les bases de la géométrie analytique en associant la résolution d'une équation à deux inconnues à la détermination graphique d'une courbe du plan.

Pour parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs[E 1]. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques[E 2] par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints quand ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.

La notion de vecteur est reprise avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces respectifs  \mathbb{R}ˆ2 et  \mathbb{R}ˆ4 . Le traitement par combinaison linéaire se retrouve dans les systèmes d'équations linéaires, définis par Laguerre dès 1867.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha aussi les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits pourvus d'opérations[E 3]. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'algèbre. On y retrouve néanmoins les concepts de dimension et d'indépendance linéaire, mais aussi le produit scalaire apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — surtout la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel[E 4] vers la fin du XIXe siècle.

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse de doctorat en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction entre l'analyse fonctionnelle naissante et l'algèbre se fait sentir, surtout avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension illimitée.

Références et sources

Principaux ouvrages dsur l'algèbre linéaire utilisés :

  • (fr) Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Tome 2, Algèbre linéaire
  1. Définition 3, page A-II-3
  2. Les produits illimités sont définis dans la section 5
  3. Equation (17), page A-II-10
  4. A support fini, défini page A-II-3, pour les familles de scalaires
  5. Définition 4, page A-II-4
  6. Equation (5), page A-II-4
  7. Notation adoptée par Nicolas Bourbaki, page A-II-6
  8. Remarques page A-II-7
  9. Conoyau : terme défini page A-II-7
  10. Forme linéaire : terme mentionné page A-II-40
  11. Paragraphe 7, section 5 pp. 102-106
  12. Proposition 18, page A-II-26
  13. Théorème 2, page A-II-95
  14. Théorème 3, page A-II-96
  15. Proposition 9, page A-II-101
  1. Corps défini au chapitre II, espace vectoriel au chapitre II. La théorie des corps fait l'objet des chapitre VII à XII ; les notions d'algèbre étant présentées des chapitres XIII à XVIII.
  2. Définition donnée page 86
  3. Linéairement indépendant, expression utilisée page 89
  4. (3.14), page 92
  5. Proposition 3.7, page 89
  6. Définition page 90
  7. Théorème 2, page 85
  8. Théorème 3, page 86
  9. Théorème 4, page 87
  10. Exercice 6, page 92.
  11. Proposition 3.12, page 91
  12. Théorème 5, page 89
  • (fr) R. Godemont, Cours d'algèbre, 1966
  1. Le chapitre 8 porte sur les anneaux et corps, et le chapitre 10 sur les modules et espaces vectoriels
  2. Les sous-espaces vectoriels sont l'objet du chapitre 10, paragraphe 3, page 168
  3. Exemple 4, pages 166-167
  4. Exemple 1, pages 165-166
  5. Exemple 6, page 167
  6. Les termes forme linéaire et covecteurs sont cités dans l'exemple 3 page 189.
  7. Exemple 6, page 191
  8. Démonstration, pages 238-240
  9. Exemple 1, page 247
  10. Corollaire 1, page 250
  • (en) Michæl Artin, Algebra 1991
  1. Le chapitre 3, consacré aux espaces vectoriels, présente en premier lieu les espaces vectoriels Rn avant de donner une définition la structure de corps.
  2. Proposition 1.7, page 81
  3. Equation 3.1, page 87
  4. Exercice 1.2, page 104
  5. Les transformations linéaires sont étudiées au chapitre 4
  6. Formule (1.2), page 109
  7. Définition 2.13, page 87
  8. Formule (1.5), page 110
  9. Notation utilisée pages 88 et 100
  10. Définition page 100, pour les familles illimitées
  11. A titre d'exemple, preuve de la proposition 3.15, page 92
  12. Définition 3.18, page 93
  13. Proposition 6.9, p. 103
  14. Proposition 3.20, page 93

Sources consultées et utilisées :

  1. cette condition est indispensable, comme le montre le contre-exemple suivant. Si on prend par exemple E = K, et que la loi externe est définie comme l'opération toujours nulle (λ•u = 0 pour tout λ de K et tout u de E), alors l'ensemble des autres axiomes sont satisfaits sauf ce dernier.

Autres articles et livres cités, surtout sources historiques :

  1. B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargœmetrie, 1804
  2. A. Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
  3. H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre
  4. G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, 1888

Liens externes

Ces liens, libres d'accès, apportent des compléments sur l'algèbre linéaire et les espaces vectoriels.

Lectures complémentaires


Liens externes

Recherche sur Amazone (livres) :



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