Espace de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule.



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Espace de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien <·,·> par la formule \| x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}. C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et uniquement si sa norme vérifie l'égalité

\| x + y\|ˆ2 + \| x - y\|ˆ2 = 2 ( \| x\|ˆ2 + \| y\|ˆ2),

qui veut dire que la somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme).

Dans le cas réel le produit scalaire est défini par

\langle x,y  \rangle = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|ˆ2 -\| x - y\|ˆ2\bigr).

Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par

\langle x,y  \rangle = \langle x,y  \rangle_1+ i \langle x,iy  \rangle_1,

\langle x,y  \rangle_1 = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|ˆ2 -\| x - y\|ˆ2\bigr)

et i est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels (0, 1) ).

Dans un espace de Hilbert de dimension illimitée, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite illimitée de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est par conséquent au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.

En mécanique quantique, l'état d'un dispositif est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Exemples d'espaces de Hilbert

En réalité, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à \ellˆ2, voir l'article sur les bases de Hilbert.

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