Équation

Une équation est une question, une égalité entre deux quantités algébriques. Cette égalité contient des inconnues. Résoudre l'équation, c'est trouver les valeurs des inconnues qui rendent vraie l'égalité.



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Mathématiques élémentaires - Équation

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Définitions :

  • Expression de la condition d'égalité établie entre deux quantités algébriques; Quantité variable, mais déterminable par le calcul, qu... (source : fr.wiktionary)
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Mathématiques élémentaires
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Probabilités
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Une équation est une question, une égalité entre deux quantités algébriques. Cette égalité contient des inconnues. Résoudre l'équation, c'est trouver les valeurs des inconnues qui rendent vraie l'égalité.

En voici des exemples :

Inconnue

Article détaillé : Inconnue (mathématiques) .

L'inconnue (ou les inconnues s'il y en a plusieurs) peuvent s'appeler comme on le souhaite, il est préférable de choisir un nom courant et facile à retenir au vu de la chose désignée, par exemple :

Les inconnues peuvent être des fonctions ou tout autre objet mathématique :

La totalité des nombres utilisés n'est pas obligatoirement ℝ, il peut être étendu à ℂ ou limité à ℕ, ou alors concerner des objets non numériques comme des transformations du plan ou des objets algébriques abstraits.

Résolution des équations

Les équations se résolvent en respectant quelques règles de bon sens, qu'on peut interpréter comme déjà données par Euclide dans ses Éléments, les notions communes. Note : c'est une interprétation car Euclide ne traite pas d'équation (elles lui sont postérieures), c'est une application de ces notions communes aux équations modernes. D'ailleurs les deux dernières mises en italiques ne sont pas dans ses Éléments, elles sont ici parce qu'elles sont dans le même style que les autres.

  1. Les grandeurs identiques à une même grandeur, sont identiques entr'elles.
    Donc si a=b et si b=c alors a=c, c'est la transitivité de l'égalité
  2. Si à des grandeurs identiques, on ajoute des grandeurs identiques, les touts seront égaux.
    Ce qui veut dire qu'on a le droit d'ajouter des quantités identiques de chaque côté d'une égalité
  3. Si à des grandeurs identiques, on retranche des grandeurs identiques, les restes seront égaux.
    C'est la même chose que ci-dessus mais pour la soustraction
  4. Si à des grandeurs identiques, on multiplie des grandeurs identiques, les produits seront égaux.
    Il faut prendre garde à ne pas multiplier par zéro sous peine de vite écrire des égalités sans intérêt
  5. Si à des grandeurs identiques, on divise des grandeurs identiques, les quotients seront égaux.
    Il faut prendre garde à ne pas diviser par zéro, et par conséquent étudier les valeurs du quotient en conséquence

En réalité, ces transformations sont des fonctions qui ne changent pas les solutions de l'équation. En d'autres termes, les solutions de l'équation d'origine et celles de l'équation après utilisation d'une notion commune sont les mêmes. Ce n'est pas le cas de l'ensemble des fonctions, la fonction carré en est le premier exemple rencontré.

Enfin, l'ensemble des manipulations algébriques ou numériques habituelles sont autorisées dans chacun des membres de l'équation (factorisation, développement, réduction... ).

Les premières méthodes de résolution d'équations utilisent des raisonnements géométriques issus principalement des résultats simples de la géométrie du triangle et du carré. Ces méthodes sont développées dans l'article algèbre géométrique.

Résolution d'équations spécifiques

Pour aller plus loin

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