Entier sans facteur carré

En mathématiques et plus exactement en arithmétique modulaire, un entier sans facteur carré est un entier divisible par aucun carré parfait, excepté 1.

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La probabilité pour qu'un entier soit sans facteur carré est . Démo : On définit Q (x) pour x réel comme le nombre des entiers k inférieurs à x et qui sont ... (source : pi314)
Définition d'un carré. § Nombre n égal au produit d'un entier a par lui-même... Tout nombre est le produit d'un carré par un nombre sans facteur carré... (source : villemin.gerard.free)

En mathématiques et plus exactement en arithmétique modulaire, un entier sans facteur carré est un entier divisible par aucun carré parfait, excepté 1. A titre d'exemple, 10 est sans facteur carré mais 18 ne l'est pas, comme il est divisible par $9 = 3ˆ2\,$ . Les petits nombres sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

Caractérisation équivalente des nombres sans facteur carré

L'entier n est sans facteur carré si et uniquement si dans la décomposition en facteurs premiers de n, aucun nombre premier n'apparait plus d'une fois. Un autre point de vue équivalent est que pour chaque diviseur premier p de n, le nombre premier p ne divise pas $\frac{n}{p}\,$ . Une autre formulation est la suivante : n est sans facteur carré si et uniquement si dans chaque décomposition n=ab, les facteurs a et b sont premiers entre eux.

Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de l'entier n est au plus égale à 1. On dit aussi quelquefois qu'un tel nombre est quadratfrei. On rappelle que pour tout nombre premier $p$ et tout entier naturel $n$ , la valuation $p$ -adique de $n$ (quelquefois notée $ν p (n)$ ) est égale, par définition, à l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en produit de nombres premiers.

Ainsi, si $n=\Pi_{k=1...s}(p_kˆ{\alpha_k})$ , on a $\nu_{p_k}(n)=\alpha_k$ , et $n$ est quadratfrei équivaut à $\forall p\in\mathcal P,\nu_p(n)\in \{ 0, 1 \}$ .

L'entier naturel n est sans facteur carré si et uniquement si $\mu(n) \ne 0\,$ , où $\mu\,$ représente la fonction de Möbius.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et uniquement si l'ensemble des groupes abéliens d'ordre n sont isomorphes, ce qui est le cas si et uniquement si tous sont cycliques. Ceci découle du théorème de Kronecker.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et uniquement si l'anneau factoriel $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\,$ (voir Anneau Z/nZ) est un produit de corps. Ceci découle du théorème des restes chinois et le fait qu'un anneau de la forme $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\,$ est un corps si et uniquement si k est un nombre premier.

Pour chaque entier naturel n, la totalité de l'ensemble des diviseurs positifs de n devient un ensemble partiellement ordonné si nous utilisons la divisibilité comme relation d'ordre. Cet ensemble partiellement ordonné est toujours un treillis distributif. C'est une algèbre booléenne si et uniquement si n est sans facteur carré.

Soit l'entier naturel donné n, définissons le radical de l'entier n par

$m = \operatorname{rad}(n)\,$ ,

égal au produit des nombres premiers p divisant n. Alors, les nombres sans facteur carré n sont précisément les solutions de $n = \operatorname{rad}(n)\,$ .

Distribution des nombres sans facteur carré

Si $Q(x)\,$ représente le nombre d'entiers sans facteur carré entre 1 et x, alors

$Q(x) = \frac{6x}{\piˆ2} + O(\sqrt{x})$

(voir pi et notation grand O). La densité naturelle asymptotique des nombres sans facteur carré est donc

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\piˆ2} = \frac{1}{\zeta(2)}$

où $\zeta\,$ est la fonction zêta de Riemann.

De même, si $Q(x,n)\,$ représente le nombre d'entiers sans n-ième puissance entre 1 et x, on peut montrer

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.$

Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation :	Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs :	Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
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