Entier relatif / Nombre entier

En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel pourvu d'un signe positif ou négatif qui indique sa position comparé à zéro sur un axe orienté.



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En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel pourvu d'un signe positif ou négatif qui indique sa position[1] comparé à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… alors que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro lui-même est par conséquent l'unique nombre à la fois positif et négatif[2].

Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (autre que zéro) «après la virgule».

Les entiers relatifs permettent d'exprimer un bilan de variation d'unités (positif pour un gain, négatif pour une perte) ou une position sur un axe orienté discret, comparé à un point origine. Ils donnent un sens à la différence de deux entiers naturels quelconques.

L'ensemble des entiers relatifs est noté[3] «Z», lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, progressivement supplantée par la graphie manuscrite avec une double barre oblique : «ℤ». La présence d'un astérisque en exposantZ*») sert à désigner généralement la totalité des entiers relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée quelquefois[4] pour la totalité des éléments inversibles, c'est-à-dire la paire d'entiers {−1; 1}. La notation «Z» sert à désigner la totalité des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation «Z+», remplacée par la notation «N» des entiers naturels par identification.

Cet ensemble est (complètement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est aussi pourvu des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion d'anneau en algèbre.

Les entiers relatifs sont quelquefois[5] nommés entiers rationnels, suivant l'expression rational integer en anglais, et comme cas spécifiques d'entiers algébriques sur le corps de nombres des rationnels. On trouve cette appellation chez Nicolas Bourbaki[6]et certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques modernes, parmi lesquels Georges Papy.

La droite des nombres
La droite des nombres sert à représenter les entiers relatifs

Motivation

La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre l'ensemble des équations de la forme :

a + x = b, où x est l'inconnue et a et b sont des paramètres.

Dans la totalité des entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution.

5 + x = 8 si et uniquement si x = 3
9 + x = 4 n'a pas de solution dans la totalité des entiers naturels. Elle possède une solution dans la totalité des entiers relatifs qui est -5.

Fragments d'histoire

La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens comme l'Arybhatiya du mathématicien indien Âryabhata (476 - 550) où sont définies les règles d'additions et de soustractions. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes. Quelques siècles plus tard, dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa (940 - 998), on voit apparaïtre des produits de nombres négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre reste toujours attaché à des quantités physiques et le nombre négatif n'a guère de statut légal. al Khuwarizmi (783 - 850) par exemple, dans son ouvrage la Transposition et la réduction préfère traiter 6 types d'équations du second degré au lieu d'envisager des soustractions.

En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue généralement à Simon Stevin (1548 - 1620) la fameuse règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert (1717 - 1783) lui-même dans l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.

«Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à - 1[7], & que le rapport entre 1 & -1 est différent du rapport entre - -1 & 1, sont dans une double erreur : 1 (... ) Il n'y a par conséquent point réellement & totalement de quantité négative isolée : - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. » (D'Alembert, dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers)

Il faut attendre toujours deux siècles et l'avènement du formalisme pour voir apparaître une construction formelle de la totalité des entiers relatifs à partir de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels

C'est à Richard Dedekind (1831 - 1916) qu'on doit cette construction. Lui-même utilisait la lettre K pour désigner la totalité des entiers relatifs. Plusieurs autres conventions ont eu cours, jusqu'à ce que Nicolas Bourbaki popularise l'usage de la lettre \mathbb{Z}, d'origine de l'allemand Zahlen (nombre) [8]

Règles opératoires

Dans un nombre relatif, on distingue son signe (+ ou -) et sa valeur absolue : - 3 a pour valeur absolue 3.

Addition

La somme de deux entiers de même signe s'obtient en additionnant les deux valeurs absolues et en conservant le signe commun

(-3) + (-5) = -8 écriture qu'on abrège en -3 - 5 = - 8 supprimant le signe opératoire +

La somme de deux entiers relatifs de signe contraire s'obtient en calculant la différence entre les deux valeurs absolue et en lui affectant le signe de l'entier ayant la plus grande valeur absolue

(+3) + (-5) = - 2 écriture qu'on abrège en 3 - 5 = - 2

Multiplication

Le résultat d'une multiplication se nomme un produit. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est toujours positif (+) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues :

(+3) × (+4) = +12 qu'on abrège en 3 × 4 = 12
(-3) × (-7) = + 21 = 21

(le + n'étant pas obligatoire si le produit n'est pas négatif)

Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est toujours négatif (-) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues

(+7) × (- 4) = - 28

Règle des signes

plus multiplié par plus, donne produit plus.
moins multiplié par moins, donne produit plus
moins multiplié par plus ou plus multiplié par moins donne produit moins

Ensemble des entiers

Construction

La totalité Z des entiers relatifs peut être vu comme le symétrisé du semi-anneau N des entiers naturels.

Article détaillé : Construction des entiers relatifs.
Une représentation d'une construction des entiers relatifs
Une représentation d'une construction des entiers relatifs

Structure

La totalité des entiers relatifs, pourvu de ses lois d'addition et de multiplication, est le prototype de la notion d'anneau. Il s'agit même d'un anneau euclidien, en référence à la division euclidienne. Il est par conséquent aussi principal et factoriel.

Il peut être pourvu de la topologie discrète associée à la distance usuelle induite par la valeur absolue de la différence, qui en fait un espace métrique complet. Les seules autres distances compatibles avec la structure d'anneau sont les distances p-adiques, où p est un nombre premier.

La structure de groupe additif (Z, +) est un groupe monogène sans torsion, c'est-à-dire un groupe abélien libre de rang 1.

La totalité Z est complètement ordonné pour la relation d'ordre usuelle.

Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable illimité.

Extensions

La totalité Z des entiers relatifs se plonge dans la totalité des nombres décimaux, noté D, qui lui même est une partie de la totalité des nombres rationnels noté Q.

La notion d'entier est étendue par la définition des entiers algébriques, qui sont aux divers corps de nombres ce que les entiers relatifs sont au corps des rationnels. Les entiers rationnels, c'est-à-dire les entiers algébriques du corps des rationnels, sont par conséquent précisément les entiers relatifs.

Pour chacune des distances p-adiques, le complété de Z est un anneau des entiers p-adiques noté Zp, dont le corps de fraction est le corps des nombres p-adiques, noté Qp et qui contient Q.

Notes et références

  1. De cette position relative à zéro vient l'adjectif «relatif» appliqué à ces entiers.
  2. Selon certaines conventions différentes, en vigueur surtout dans les pays anglo-saxons, l'entier zéro n'est ni positif ni négatif (cf (en) Zero).
  3. De l'allemand Zahlen, «nombres».
  4. La confusion est évitée avec l'usage de la croix de multiplication en exposant : «Z×».
  5. Mais le programme officiel de l'agrégation de mathématiques, et les sujets correspondants, utilisent l'appellation plus courante en France "entiers relatifs".
  6. Cf par exemple Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre I, § 2, n°5 (p. 28 d'une vieille version accessible en ligne) ou R. Godement, Cours d'algèbre, § 5, n°8.
  7. paradoxe classique : si -1 < 1 alors les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse : l'inverse de -1 est -1 et l'inverse de 1 est 1 donc -1 > 1. paradoxe qui provient de la phrase incomplète "les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse ", il faudrait préciser "les inverses de deux nombres de même signe sont rangés dans l'ordre inverse". Voir l'article fonction inverse pour plus d'informations.
  8. (en) Earliest Uses of Symbols of Number Theory

Voir aussi

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